線性代數(shù)模型第1頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月有些復(fù)雜問(wèn)題，往往給人以變幻莫測(cè)的感覺(jué)，難以掌握其中的奧妙。當(dāng)我們把思維擴(kuò)展到線性空間，利用線性代數(shù)的基本知識(shí)建立模型，就可以掌握事物的內(nèi)在規(guī)律，預(yù)測(cè)其發(fā)展趨勢(shì)。線性代數(shù)模型西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第2頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Durer魔方德國(guó)著名的藝術(shù)家AlbrechtDurer(1471--1521)于1514年曾鑄造了一枚名為“MelencotiaI”的銅幣。令人奇怪的是在這枚銅幣的畫面上充滿了數(shù)學(xué)符號(hào)、數(shù)學(xué)數(shù)字和幾何圖形。這里我們僅研究銅幣右上角的數(shù)字問(wèn)題。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第3頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1Durer魔方16321351011896712415141特點(diǎn)每行之和、每列之和、對(duì)角線之和、四個(gè)小方塊之和、中心方塊之和都相等，為確定的數(shù)34。所出現(xiàn)的數(shù)是1至16的自然數(shù)。四角之和、中間對(duì)邊之和均為34。最下邊一行中心數(shù)為1514，正是制幣的時(shí)間。問(wèn)題是否還存在具有這些（或部分）性質(zhì)的魔方？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第4頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月06118910601509119960711891070160911997108010015014011050407020160901201303060定義如果4×4數(shù)字方，它的每一行、每一列、每一對(duì)角線及每個(gè)小方塊上的數(shù)字之和都為一確定的數(shù)，則稱這個(gè)數(shù)字方為Durer魔方。R=C=D=S西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第5頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月你想構(gòu)造Durer魔方嗎？如何構(gòu)成所有的Durer魔方？Durer魔方有多少？2Durer魔方的生成集所有的Durer魔方的集合為D0000000000000000O=1111111111111111E=R=C=D=S=0R=C=D=S=4西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第6頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月a11a12a13a14a21a22a23a24a31a32a33a34a41a42a43a44A=b11b12b13b14b21b22b23b24b31b32b33b34b41b42b43b44B=類似于矩陣的加法和數(shù)乘，定義魔方的加法和數(shù)乘。易驗(yàn)證，D加法和數(shù)乘封閉，且構(gòu)成一線性空間。記M={所有的4×4數(shù)字方}，則其維數(shù)為16。而D是M的子集，則D是有限維的線性空間。根據(jù)線性空間的性質(zhì)，如果能得到D的一組基，則任一個(gè)Durer方均可由這組基線性表示。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第7頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由0,1數(shù)字組合，構(gòu)造所有的R=C=D=S=1的魔方。共有8個(gè)，記為Qi,i=1,2,…,8。Q1=1000001000010100Q2=1000000101000010Q3=Q4=00011000001001000001010010000010西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第8頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月Q5=0010100001000001Q6=0100001010000001Q7=0010010000011000Q8=0100000100101000西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第9頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月易知?jiǎng)t線性相關(guān)。而由0000000000000000=線性無(wú)關(guān)。任一Durer方可由它們線性表示。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第10頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：1Durer方有無(wú)窮多個(gè)。2Durer方可由線性組合得到。AlbrechtDurer的數(shù)字方的構(gòu)成：=16321351011896712415141西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第11頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3Durer方的應(yīng)用推廣（1）要求數(shù)字方的所有數(shù)字都相等?；鶠?維空間（2）要求行和、列和、每條主對(duì)角線及付對(duì)角線數(shù)字和都相等。基為5維空間1010101001010101西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第12頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0110100101101001100101101001011001011010101001011100001111000011西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第13頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例1721116161122-3127621126712R=C=H=N=46H主對(duì)角線，N付對(duì)角線數(shù)字和。（3）要求行和、列和及兩條對(duì)角線數(shù)字和相等。8維空間Q。基為D是Q的7維子空間。01-10000000000-110西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第14頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月例679812657510967779R=C=D=30（4）要求行和、列和數(shù)字相等。10維空間W?；鶠?10-110-10-10010-1100000100-1-100100000100100000010010西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第15頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（5）對(duì)數(shù)字沒(méi)有任何要求的數(shù)字方16維空間M空間維數(shù)015781016思考能否構(gòu)造出其他維數(shù)的數(shù)字方？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第16頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)完成下面的Durer方61494887116798597R=C=D=S=30R=C=D=S=100西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第17頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)構(gòu)造你自己認(rèn)為有意義的Durer方。6798125586119467710西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第18頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月植物基因的分布設(shè)一農(nóng)業(yè)研究所植物園中某植物的的基因型為AA、Aa和aa。研究所計(jì)劃采用AA型的植物與每一種基因型植物相結(jié)合的方案培育植物后代。問(wèn)經(jīng)過(guò)若干年后，這種植物的任意一代的三種基因型分布如何？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第19頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1建模準(zhǔn)備植物遺傳規(guī)律？動(dòng)植物都會(huì)將本身的特征遺傳給后代，這主要是因?yàn)楹蟠^承了雙親的基因，形成了自己的基因?qū)?，基因?qū)痛_定了后代所表現(xiàn)的特征。常染色體遺傳的規(guī)律：后代是從每個(gè)親體的基因?qū)χ懈骼^承一個(gè)基因，形成自己的基因?qū)?，即基因型。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第20頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月如果考慮的遺傳特征是由兩個(gè)基因A、a控制的，那末就有三種基因?qū)Γ洖锳A、Aa和aa。金魚(yú)草花的顏色是由兩個(gè)遺傳因子決定的，基因型為AA的金魚(yú)草開(kāi)紅花，Aa型的開(kāi)粉紅花，而aa型的開(kāi)白花。人類眼睛的顏色也是通過(guò)常染色體來(lái)控制的。基因型為AA，或Aa型的人眼睛顏色為棕色，而aa型的人眼睛顏色為藍(lán)色。這里AA，Aa表示同一外部特征，我們認(rèn)為基因A支配基因a，即基因a對(duì)A來(lái)說(shuō)是隱性的。如西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第21頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月父體-母體的基因?qū)A-AAAA-AaAA-aaAa-AaAa-aaaa-aa后代基因?qū)A11/201/400Aa01/211/21/20aa0001/41/21雙親體結(jié)合形成后代的基因型概率矩陣西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第22頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2假設(shè)分別表示第n代植物中基因型為AA,Aa,aa的植物占植物總數(shù)的百分率。第n代植物的基因型分布為表示植物基因型初始分布。假設(shè)1西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第23頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)2植物中第n-1代基因型分布與第n代分布的關(guān)系由上表確定。父體-母體的基因?qū)A-AAAA-AaAA-aa后代基因?qū)A11/20Aa01/21aa0003建模西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第24頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第25頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4求解模型關(guān)鍵計(jì)算特征值為1，1/2，0，M可對(duì)角化，即可求出可逆對(duì)角矩陣P，使PMP-1為對(duì)角型矩陣。特征值為1，1/2，0的特征向量分別為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第26頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第27頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第28頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時(shí)，經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，培育出來(lái)的植物基本上呈現(xiàn)AA型。5結(jié)論西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第29頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題1若不選用AA型植物與每種植物結(jié)合的方案，而是采用將相同基因型植物相結(jié)合，則情形怎樣？父體-母體的基因?qū)A-AAAa-Aaaa-aa后代基因?qū)A11/40Aa01/20aa01/41在極限狀態(tài)下，后代僅具有基因型AA和aa。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第30頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月遺傳疾病是常染色體的基因缺陷由父母代傳給子代的疾病。常染色體的隱性疾病西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第31頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月常染色體遺傳的正?；蛴洖锳，不正?；蛴洖閍，并以AA、Aa和aa分別表示正常人，隱性患者和顯性患者的基因型。若在開(kāi)始的一代人口中AA、Aa和aa基因型的人所占百分比為a0，b0，c0，討論在下列兩種情況下第n代的基因型分布。1控制結(jié)合：顯性患者不能生育后代，正常人與隱性患者必須與正常人結(jié)合生育后代；2自由結(jié)合：這三種基因的人任意結(jié)合生育后代。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第32頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月父體-母體的基因?qū)A-AAAa-AA后代基因?qū)A11/2Aa01/2西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第33頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第34頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時(shí)，即經(jīng)過(guò)足夠長(zhǎng)的時(shí)間后，隱性患者消失。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第35頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)題2若采用隨機(jī)結(jié)合的方式，各基因型的分布及變化趨勢(shì)如何？在美國(guó)，以鐮狀網(wǎng)性貧血癥為例。如果黑人中有10%的人是隱性患者，在隨機(jī)結(jié)合的情況下，計(jì)算隱性患者的概率從25%降到10%需要多少代？在控制結(jié)合下，經(jīng)過(guò)這么多代，隱性患者的概率相應(yīng)下降到多少？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第36頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月思考在中國(guó)的婚姻政策中有一項(xiàng)控制近親（指直系血緣關(guān)系在三代以內(nèi)）結(jié)婚的限制。試用常染色體的隱性病模型分析這項(xiàng)政策的深遠(yuǎn)意義。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第37頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)血友病也是一種遺傳疾病，得這種病的人由于體內(nèi)沒(méi)有能力生產(chǎn)血凝塊因子而不能使出血停止。很有意思的是，雖然男人和女人都會(huì)得這種病，但只有女人才有通過(guò)遺傳傳遞這種缺損的能力。若已知某時(shí)刻的男人和女人的比例為1:1.2，試建立一個(gè)預(yù)測(cè)這種遺傳疾病逐代擴(kuò)散的數(shù)學(xué)模型。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第38頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月森林管理問(wèn)題森林管理問(wèn)題西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第39頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月森林中的樹(shù)木每年都要有一批砍伐出售。為了使這片森林不被耗盡且每年都有所收獲，每當(dāng)砍伐一棵樹(shù)時(shí)，應(yīng)該就地補(bǔ)種一棵幼苗，使森林樹(shù)木的總數(shù)保持不變。被出售的樹(shù)木，其價(jià)值取決于樹(shù)木的高度。開(kāi)始時(shí)森林中的樹(shù)木有著不同的高度。我們希望能找到一個(gè)方案，在維持收獲的前提下，如何砍伐樹(shù)木，才能使被砍伐的樹(shù)木獲得最大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第40頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月題目要求做什么？給出什么條件？

重要關(guān)系的描述，數(shù)據(jù)及其說(shuō)明尋找條件與問(wèn)題的聯(lián)系。1.確定設(shè)計(jì)變量和目標(biāo)變量；2.確定目標(biāo)函數(shù)的表達(dá)式；3.尋找約束條件。關(guān)于審題如果已判斷該題是某類問(wèn)題，按此類問(wèn)題的要求尋找線索建模。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系如：優(yōu)化模型第41頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月森林中的樹(shù)木每年都要有一批砍伐出售。為了使這片森林不被耗盡且每年都有所收獲，每當(dāng)砍伐一棵樹(shù)時(shí)，應(yīng)該就地補(bǔ)種一棵幼苗，使森林樹(shù)木的總數(shù)保持不變。被出售的樹(shù)木，其價(jià)值取決于樹(shù)木的高度。開(kāi)始時(shí)森林中的樹(shù)木有著不同的高度。我們希望能找到一個(gè)方案，在維持收獲的前提下，如何砍伐樹(shù)木，才能使被砍伐的樹(shù)木獲得最大的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第42頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1建模分析目標(biāo)函數(shù)：被砍伐樹(shù)木的經(jīng)濟(jì)價(jià)值。決策變量：被砍伐的樹(shù)木的數(shù)量。約束條件：持續(xù)收獲，總數(shù)不變。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第43頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2模型假設(shè)按高度將樹(shù)木分為n類：第一類，高度為幼苗，其經(jīng)濟(jì)價(jià)值第k類，高度為每棵樹(shù)木的經(jīng)濟(jì)價(jià)值第n類，高度為每棵樹(shù)木的經(jīng)濟(jì)價(jià)值假設(shè)1記為第t年開(kāi)始時(shí)森林中各類樹(shù)木的數(shù)量。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第44頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月每年砍伐一次，為了維持每年都有穩(wěn)定的收獲，只能砍伐部分樹(shù)木，留下的樹(shù)木和補(bǔ)種的幼苗，其高度狀態(tài)應(yīng)與初始狀態(tài)相同。設(shè)分別是第1，2，…，n類樹(shù)木在采伐時(shí)砍伐的棵數(shù)。假設(shè)2西北大學(xué)數(shù)學(xué)系設(shè)森林中樹(shù)木的總數(shù)是s，即根據(jù)土地面積和每棵樹(shù)木所需空間預(yù)先確定的數(shù)。假設(shè)3第45頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月假設(shè)4每一棵幼苗從種植以后都能生長(zhǎng)到收獲，且在一年的生長(zhǎng)期內(nèi)樹(shù)木最多只能生長(zhǎng)一個(gè)高度級(jí)，即第k類的樹(shù)木可能進(jìn)入k+1類，也可能留在k類。設(shè)是經(jīng)一年的生長(zhǎng)期后，從第k類的樹(shù)木中進(jìn)入k+1類的比例，則是在一個(gè)生長(zhǎng)期內(nèi)留在第k類中的樹(shù)木的比例。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第46頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3建模先看沒(méi)有砍伐時(shí)樹(shù)木生長(zhǎng)規(guī)律西北大學(xué)數(shù)學(xué)系變形，矩陣形式第47頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義高度狀態(tài)向量和生長(zhǎng)矩陣：則沒(méi)有砍伐時(shí)樹(shù)木生長(zhǎng)方程為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第48頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月再考慮有砍伐和補(bǔ)種時(shí)的情形根據(jù)問(wèn)題的要求，要維持持續(xù)收獲，即生長(zhǎng)期末的狀態(tài)減去收獲采伐的量再加上補(bǔ)種的幼苗數(shù)應(yīng)等于生長(zhǎng)期開(kāi)始的量西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第49頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月各式相加后，得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第50頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月再記則西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第51頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第52頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月所收獲樹(shù)木的價(jià)值問(wèn)題西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第53頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4模型求解利用線性規(guī)劃的理論和方法，得如下結(jié)論：砍伐某一類樹(shù)木而不砍伐其他類的樹(shù)木時(shí)，可獲得最大收益。利用這一結(jié)論，設(shè)被砍伐的樹(shù)木為第k類，則根據(jù)所建模型，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第54頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月根據(jù)所建模型，得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第55頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)果表明：森林從幼苗開(kāi)始長(zhǎng)到第k年為止開(kāi)始收獲，此時(shí)樹(shù)木高度分布為初始分布。從第k年開(kāi)始后每年砍伐一次，均砍伐第k類高度的樹(shù)木。因此，森林中沒(méi)有高于或等于k類高度的樹(shù)木。問(wèn)題：從幼苗開(kāi)始長(zhǎng)到哪一年收獲為最佳？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第56頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第57頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)森林中各參數(shù)給定時(shí)，分別計(jì)算f

k

的值，再比較選出最大的即可。同時(shí)可計(jì)算出相應(yīng)的砍伐量。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第58頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5算例已知森林具有6年的生長(zhǎng)期，其參數(shù)如下。求出最優(yōu)采伐策略。解得故全部收獲第3類樹(shù)木，可獲得最大收益為14.7s。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第59頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月6進(jìn)一步思考1持續(xù)養(yǎng)魚(yú)問(wèn)題2企業(yè)持續(xù)發(fā)展問(wèn)題3經(jīng)濟(jì)（社會(huì)）持續(xù)發(fā)展問(wèn)題西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第60頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月馬氏鏈簡(jiǎn)介（MarkovChain）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第61頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月馬氏鏈（MarkovChain）是隨機(jī)過(guò)程的的一個(gè)特例，專門研究無(wú)后效條件下時(shí)間和狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移問(wèn)題，但在建模過(guò)程中采用線性代數(shù)的方法，因此，也在線性代數(shù)模型中來(lái)學(xué)習(xí)。馬氏鏈簡(jiǎn)介西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第62頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（一）商品的經(jīng)營(yíng)問(wèn)題某商店每月考察一次經(jīng)營(yíng)情況，其結(jié)果用銷路好或銷路壞這兩種狀況之一表示。已知如果本月銷路好，下月仍保持這種狀況的概率為0.5；如果本月銷路壞，下月轉(zhuǎn)變?yōu)殇N路好的概率為0.4。試分析假若開(kāi)始時(shí)商店處于銷路好的狀況，那么經(jīng)過(guò)若干月后能保持銷路好的概率有多大？若開(kāi)始時(shí)商店處于銷路壞的狀況呢？一正則鏈（RegularChain）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第63頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0123410.50.450.4450.4445？00.50.550.5550.5555？1分析西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第64頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0123400.40.440.4440.4444？10.60.560.5560.5556？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第65頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表示銷路好；表示銷路壞；2符號(hào)說(shuō)明商店的經(jīng)營(yíng)狀況是隨機(jī)的，每月轉(zhuǎn)變一次。建模目標(biāo)是經(jīng)過(guò)一段時(shí)間（若干月）后，經(jīng)營(yíng)狀況如何，即經(jīng)營(yíng)好或經(jīng)營(yíng)壞的概率分別為多少？用隨即變量表示第n個(gè)月的經(jīng)營(yíng)狀況稱為這個(gè)經(jīng)營(yíng)系統(tǒng)的狀態(tài)。用表示第月處于狀態(tài)的概率，即稱為狀態(tài)概率。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第66頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表示已知這月處于狀態(tài)，下月處于狀態(tài)的概率，即稱為狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率。狀態(tài)及轉(zhuǎn)移情況見(jiàn)圖。0.50.40.50.612西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第67頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月3建模令P概率轉(zhuǎn)移矩陣西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第68頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4求解P特征值為1，1/10西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第69頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第70頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5結(jié)論不論初始狀態(tài)如何，經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間后經(jīng)營(yíng)狀態(tài)趨于穩(wěn)定的概率。注意到經(jīng)營(yíng)系統(tǒng)在每個(gè)時(shí)期所處的狀態(tài)是隨機(jī)的，但從這個(gè)時(shí)期到下個(gè)時(shí)期的狀態(tài)按照一定的概率進(jìn)行轉(zhuǎn)移，并且下個(gè)時(shí)期的狀態(tài)只取決于這個(gè)時(shí)期的狀態(tài)和轉(zhuǎn)移概率，與以前各個(gè)時(shí)期的狀態(tài)無(wú)關(guān)。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第71頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月這種性質(zhì)稱為無(wú)后效性，或馬爾可夫（Markov）性，即已知現(xiàn)在，將來(lái)與歷史無(wú)關(guān)。具有無(wú)后效性的，時(shí)間、狀態(tài)均為離散的隨機(jī)轉(zhuǎn)移過(guò)程，通常用馬氏鏈（MarkovChain）模型描述。馬氏鏈模型在經(jīng)濟(jì)、社會(huì)、生態(tài)、遺傳等許多領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，不僅可以解決隨即轉(zhuǎn)移過(guò)程，還可以處理一些確定性系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移問(wèn)題。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第72頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月，當(dāng)它的所有分量是非負(fù)，一般地，一個(gè)行向量且行和為1，稱此向量為概率向量。每行都為概率向量的矩陣，稱為概率轉(zhuǎn)移矩陣。可證明若A,B為概率轉(zhuǎn)移矩陣，則AB也為概率轉(zhuǎn)移矩陣。若P為概率轉(zhuǎn)移矩陣，則Pn也為概率轉(zhuǎn)移矩陣。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第73頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月證明若A,B為概率轉(zhuǎn)移矩陣，而AB=C的第i行，第j列元素為顯然，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第74頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第75頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義1一個(gè)有個(gè)狀態(tài)的馬氏鏈如果存在正整數(shù)使從任意狀態(tài)經(jīng)過(guò)次轉(zhuǎn)移都以大于零的概率到達(dá)狀態(tài)，則稱為正則鏈。定理1若馬氏鏈的轉(zhuǎn)移矩陣為，則它是正則鏈的充要條件是，存在正整數(shù)使（指的每一元素大于零）。特點(diǎn)從任意狀態(tài)出發(fā)經(jīng)過(guò)有限次轉(zhuǎn)移都能到達(dá)另外的任意狀態(tài)。（用這個(gè)定理檢驗(yàn)一個(gè)馬氏鏈?zhǔn)欠駷檎齽t鏈。）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第76頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理2由存在，記作的每一行都是穩(wěn)態(tài)概率如果記那么，有使得當(dāng)時(shí)狀態(tài)概率概率無(wú)關(guān)。正則鏈存在唯一的極限狀態(tài)概率與初始狀態(tài)由又稱為穩(wěn)態(tài)概率。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第77頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月上例中西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第78頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月從狀態(tài)出發(fā)經(jīng)次轉(zhuǎn)移，第一次到達(dá)狀態(tài)的概率稱為到的首達(dá)概率，記作，于是為由狀態(tài)第一次到達(dá)狀態(tài)的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。特別地，是狀態(tài)首次返回的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。與穩(wěn)態(tài)概率有密切關(guān)系，即定理3對(duì)于正則鏈西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第79頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（二）信息傳播問(wèn)題一條消息在等人中傳播，傳播的方式是傳給傳給如此繼續(xù)下去，每次傳播都是由傳給每次傳播消息的失真率為即將消息傳給時(shí)，傳錯(cuò)的概率為這樣經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間傳播第n個(gè)人得知消息時(shí)，消息的真實(shí)程度如何？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第80頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第n個(gè)人知道消息可能是真，也可能是假，有兩種狀態(tài)，記為表示消息假；表示消息真；用表示第個(gè)人處于狀態(tài)的概率，即狀態(tài)概率為由題意，狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第81頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由為正則矩陣。求w=?令設(shè)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第82頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月得西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第83頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論長(zhǎng)時(shí)間傳播消息的真實(shí)性趨于穩(wěn)定，且消息的真假概率各半。例1中西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第84頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)迷宮問(wèn)題（1）下面給出一個(gè)迷宮圖。迷宮有兩個(gè)分隔間，分別記為1，2。每個(gè)分隔間粉刷成不同的顏色，試驗(yàn)者把一只老鼠放在迷宮的某個(gè)分隔間內(nèi)，不同的顏色對(duì)老鼠的吸引作用不同，從第i個(gè)分隔間轉(zhuǎn)移到第j個(gè)分隔的概率為（見(jiàn)后）迷宮112西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第85頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月隨后，試驗(yàn)者周期地觀察老鼠的位置。因?yàn)橛^察的時(shí)間是間斷的，試驗(yàn)者不可能確定任何時(shí)刻老鼠的位置，但希望知道，不論運(yùn)動(dòng)過(guò)程如何，在經(jīng)過(guò)較長(zhǎng)的一段時(shí)間后，運(yùn)動(dòng)是否趨于穩(wěn)定？三個(gè)分隔間的情形如何？迷宮2123西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第86頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月思考右圖給出一個(gè)迷宮圖。迷宮3231在第一個(gè)分隔間放進(jìn)實(shí)物，其他兩個(gè)分隔間粉成不同的顏色，老鼠可由一個(gè)分隔間到達(dá)其他分隔間，但當(dāng)?shù)竭_(dá)第一分隔間時(shí)，被實(shí)物吸引，不再運(yùn)動(dòng)到其他分隔間，已知轉(zhuǎn)移矩陣P，長(zhǎng)時(shí)間后，老鼠運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何？迷宮問(wèn)題（2）西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第87頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月二吸收鏈(AbsorbingChain)迷宮問(wèn)題（2）問(wèn)題（1）經(jīng)過(guò)n次觀察后，老鼠處于各個(gè)分隔間的概率？（2）長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)后，老鼠的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)如何？（3）若再增加一個(gè)放食物的分隔間，情況又如何？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第88頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1）分析時(shí)間的離散性每個(gè)時(shí)段狀態(tài)的隨機(jī)性處于第i個(gè)狀態(tài)的概率若轉(zhuǎn)移概率矩陣為P西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第89頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2）馬氏鏈模型可以看出，老鼠從第2，3個(gè)分隔間可以以大于零的概率達(dá)到每個(gè)分隔間，但從第1個(gè)分隔間，不能以大于零的概率達(dá)到其他分隔間。猜測(cè)：最后老鼠停留在第1個(gè)分隔間。3）求解計(jì)算求西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第90頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月記西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第91頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第92頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月由于從第2，3個(gè)分隔間總是以大于零的概率達(dá)到第1個(gè)分隔間，又由記西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第93頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月本例中西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第94頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月4）結(jié)論不論初始老鼠處在那個(gè)分隔間，長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)后，老鼠處在第1個(gè)分隔間的概率為1，其他的概率為零。狀態(tài)1為吸收態(tài)，2，3為非吸收態(tài)。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第95頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月5）問(wèn)題的進(jìn)一步考慮增加一個(gè)放食物的分隔間。注：1，2分隔間放食物，3，4分隔間涂色。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第96頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月記西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第97頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第98頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月初始極限初始極限西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第99頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論若初始老鼠處在1，2分隔間，長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)后，老鼠仍處在1，2分隔間；若初始老鼠處在第3，4分隔間，則經(jīng)長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)動(dòng)后，在分隔間3，4的概率為零，而以正概率分別進(jìn)入1，2分隔間。即無(wú)論初始狀態(tài)如何，經(jīng)過(guò)長(zhǎng)時(shí)間后，都將被吸收態(tài)吸收。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第100頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定義2轉(zhuǎn)移概率的狀態(tài)稱為吸收狀態(tài)。如果馬氏鏈至少包含一個(gè)吸收狀態(tài)，并且從每一個(gè)非吸收狀態(tài)出發(fā)，能以正的概率經(jīng)有限次轉(zhuǎn)移到達(dá)某個(gè)吸收狀態(tài)，那么這個(gè)馬氏鏈稱為吸收鏈。吸收鏈的轉(zhuǎn)移矩陣的標(biāo)準(zhǔn)形式：個(gè)吸收狀態(tài)，其中，階子方陣的特征值滿足一般地個(gè)非吸收態(tài)西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第101頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月表示以任何非吸收態(tài)出發(fā)，經(jīng)過(guò)n步轉(zhuǎn)移后，到達(dá)t個(gè)非吸收狀態(tài)的轉(zhuǎn)移概率。從狀態(tài)出發(fā)經(jīng)次轉(zhuǎn)移，第一次到達(dá)狀態(tài)的概率稱為到的首達(dá)概率，記作，于是為由狀態(tài)第一次到達(dá)狀態(tài)的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。定義西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第102頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理4對(duì)于吸收鏈的標(biāo)準(zhǔn)形式（上面矩陣），可逆，且記列向量，則的第分量是從第被某個(gè)吸收狀態(tài)吸收的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)。（基矩陣）F中的每個(gè)元素，表示從任何非吸收狀態(tài)出發(fā)，過(guò)程到達(dá)每個(gè)非吸收狀態(tài)的平均轉(zhuǎn)移次數(shù)；個(gè)非吸收狀態(tài)出發(fā)，西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第103頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)狀態(tài)是非吸收狀態(tài)，是吸收狀態(tài)，那么首達(dá)概率實(shí)際是經(jīng)次轉(zhuǎn)移被吸收的概率，而則是從非吸收狀態(tài)出發(fā)最終將被吸收狀態(tài)吸收的概率。記，下面的定理給出了計(jì)算的方法。定理5設(shè)吸收鏈的轉(zhuǎn)移矩陣表為標(biāo)準(zhǔn)形式，則西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第104頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)智力競(jìng)賽問(wèn)題甲、乙兩隊(duì)進(jìn)行智力競(jìng)賽。競(jìng)賽規(guī)則為：競(jìng)賽開(kāi)始時(shí)，甲、乙兩隊(duì)各記2分，在搶答問(wèn)題時(shí)，如果加隊(duì)贏得1分，那么甲隊(duì)的總分將累加1分，同時(shí)乙隊(duì)總分將減少1分。當(dāng)甲（或乙）隊(duì)總分達(dá)到4分時(shí)，競(jìng)賽結(jié)束，甲（或乙）獲勝。（1）甲隊(duì)獲勝的概率是多少？（2）競(jìng)賽從開(kāi)始到結(jié)束，分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)移的平均次數(shù)是多少？（３）甲隊(duì)獲得１，２，３分的平均次數(shù)是多少？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第105頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月1）分析表示輪數(shù)每輪得分情況處于第i個(gè)狀態(tài)的概率轉(zhuǎn)移概率矩陣甲設(shè)甲得1分的概率為p0123401234西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第106頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月標(biāo)準(zhǔn)型0412304123西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第107頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第108頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第109頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月（1）甲隊(duì)獲勝的概率（2）競(jìng)賽從開(kāi)始到結(jié)束，分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)移的平均次數(shù)（３）甲隊(duì)獲得１，２，３分的平均次數(shù)分別為西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第110頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月作業(yè)1一個(gè)服務(wù)網(wǎng)絡(luò)由k個(gè)工作站依次串聯(lián)而成，當(dāng)某種服務(wù)請(qǐng)求到達(dá)工作站時(shí)，能處理的概率為，轉(zhuǎn)往下一站處理的概率為，拒絕處理的概率為，滿足。構(gòu)造馬氏鏈模型，確定到達(dá)的請(qǐng)求平均經(jīng)過(guò)多少工作站才能獲得接受處理或拒絕處理的結(jié)果，被接受和拒絕的概率個(gè)多大？西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第111頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2空氣污染問(wèn)題有k個(gè)城市，每一時(shí)刻t=0,1,2,…,的空氣中污染物濃度，從t到t+1，空氣中污染物擴(kuò)散到去的比例是，有擴(kuò)散到k各城市之外的那部分污染物永遠(yuǎn)不再回來(lái)。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第112頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月健康與疾病問(wèn)題人壽保險(xiǎn)公司對(duì)受保人的健康狀況非常關(guān)注，需通過(guò)大量的數(shù)據(jù)對(duì)狀態(tài)轉(zhuǎn)變的概率作出估計(jì)，才能制定出不同年齡、不同健康狀況的人的保險(xiǎn)金和理賠金數(shù)額。假定對(duì)某一年齡段的人，今年健康、明年保持健康狀態(tài)的概率為0.8，即明年轉(zhuǎn)為疾病狀態(tài)的概率為0.2；而今年患病、明年轉(zhuǎn)為健康狀態(tài)的概率為0.7，即明年保持疾病狀態(tài)的概率為0.3。如果一個(gè)人投保時(shí)處于健康狀態(tài)，研究若干年后他分別處于兩種狀態(tài)的概率。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第113頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0.20.70.80.312西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第114頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)計(jì)算0123410.80.780.7780.77787/900.20.220.2220.22222/90123400.70.770.7770.77777/900.30.230.2230.22232/9西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第115頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月0.02問(wèn)題的進(jìn)一步考慮人壽保險(xiǎn)公司考慮到人的死亡情況，把死亡作為第三種狀態(tài)，用表示。0.180.650.80.251230.1西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第116頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)表示狀態(tài)概率，表示狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率，,其值見(jiàn)上圖。第年的狀態(tài)概率可由全概率公式得到：西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第117頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月經(jīng)計(jì)算0123305010.80.7570.72850.26980.1293000.180.1890.18350.06800.0326000.020.0540.08800.66210.83811如果設(shè)初始狀態(tài)概率為則當(dāng)時(shí)，的趨向與上表相同。結(jié)論：不管初始狀態(tài)如何，最終都要轉(zhuǎn)到狀態(tài)3，這代表了另一種重要的馬氏鏈類型。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第118頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月鋼琴銷售的存貯策略問(wèn)題：鋼琴是奢侈品，銷售量很小，商店里一般不會(huì)有多大的庫(kù)存量讓它積壓資金。一家商店根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，平均每周只能售出一架鋼琴，現(xiàn)在經(jīng)理制訂的存貯策略是，每周末檢查庫(kù)存量，僅當(dāng)庫(kù)存量為零時(shí)，才訂購(gòu)3架供下周銷售；否則，不訂購(gòu)。試估計(jì)在這種策略下失去銷售機(jī)會(huì)的可能性有多大，以及每周的平均銷售量是多少。西北大學(xué)數(shù)學(xué)系第119頁(yè)，課件共129頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月問(wèn)題分析：對(duì)于鋼琴的銷售，顧客的到來(lái)是相互獨(dú)立的，在服務(wù)系統(tǒng)中通常認(rèn)為需求量近似服從波松分布，其參數(shù)可由均值為每周銷售1架得到，由此可以算出不同需求量的概率。周末的庫(kù)存可能是0，1，2，3架，而周初的庫(kù)存量只有1，2，3這3種狀態(tài)，每周不同的需求將導(dǎo)致周初庫(kù)存狀態(tài)的變化，于是可用馬氏鏈來(lái)描述這個(gè)過(guò)程。當(dāng)需