2022年吉林省長春市榆樹中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知全集，則集合{1，6}=

（

）

A．

B．

C．

D．參考答案：C略2.某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實現(xiàn)翻番。為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：

則下面結(jié)論中不正確的是A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半?yún)⒖即鸢福篈解答：假設(shè)建設(shè)前收入為，則建設(shè)后收入為，所以種植收入在新農(nóng)村建設(shè)前為%，新農(nóng)村建設(shè)后為；其他收入在新農(nóng)村建設(shè)前為，新農(nóng)村建設(shè)后為，養(yǎng)殖收入在新農(nóng)村建設(shè)前為，新農(nóng)村建設(shè)后為故不正確的是A.

3.在[0,2]上任取兩個數(shù)a,b則函數(shù)無零點的概率為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D4.若直線2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）過點（1，﹣2），則+最小值（）A．2 B．6 C．12 D．3+2參考答案：D【考點】7G：基本不等式在最值問題中的應(yīng)用．【分析】根據(jù)直線2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）過點（1，﹣2），建立m，n的關(guān)系，利用基本不等式即可求+的最小值．【解答】解：∵直線2mx﹣ny﹣2=0（m＞0，n＞0）過點（1，﹣2），∴2m+2n﹣2=0，即m+n=1，∵+=（+）（m+n）=3++≥3+2，當(dāng)且僅當(dāng)=，即n=m時取等號，∴+的最小值為3+2，故選：D．5.設(shè)表示不同的直線，表示不同的平面，給出下列四個命題：

①若∥，且則；

②若∥，且∥.則∥；

③若，則∥m∥n；④若且n∥,則∥m.其中正確命題的個數(shù)是

A．1

B．2

C．3

D．4參考答案：B6.函數(shù)y=cos2（x﹣）+sin2（x+）﹣1是(

)A．周期為的函數(shù) B．周期為的函數(shù)C．周期為π的函數(shù) D．周期為2π的函數(shù)參考答案：C【考點】兩角和與差的正弦函數(shù)．【專題】函數(shù)思想；綜合法；三角函數(shù)的求值．【分析】由三角函數(shù)公式化簡已知函數(shù)，由周期公式可得．【解答】解：由三角函數(shù)公式化簡可得y=cos2（x﹣）+sin2（x+）﹣1=+﹣1=cos（2x﹣）﹣cos（2x+）=（cos2x+sin2x）﹣（cos2x﹣sin2x）=sin2x，∴函數(shù)的周期為T==π，故選：C．【點評】本題考查兩角和與差的正弦函數(shù)，涉及三角函數(shù)的周期性，屬基礎(chǔ)題．7.已知函數(shù)，若方程有四個不同的解，，，，且，則的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B試題分析：畫出圖象可得，則，所以.由圖象，，所以選B.考點：1.函數(shù)圖象；2.函數(shù)與方程；8.已知變量滿足約束條件則的最大值為

(A) (B)

(C)

(D)參考答案：

答案：B解析：本小題主要考查線性規(guī)劃問題。作圖(略)易知可行域為一個三角形,其三個頂點為

驗證知在點時取得最大值2.9.函數(shù)的部分圖象如圖，則A.；

B.；

C.；

D.。參考答案：C10.，則的值為(

)

A．

B．

C．

D．－參考答案：A略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.6個學(xué)生站成一排，學(xué)生甲與學(xué)生乙相鄰，學(xué)生甲與學(xué)生丙不相鄰，則不同的排法有．參考答案：192【考點】排列、組合的實際應(yīng)用．【分析】先利用捆綁法，再利用間接法，即可得出結(jié)論．【解答】解：學(xué)生甲與學(xué)生乙相鄰，利用捆綁法，有A55A22=240種，學(xué)生甲與學(xué)生乙相鄰，同時學(xué)生甲與學(xué)生丙相鄰，有2A44=48種，所以不同的排法有240﹣48=192種，故答案為：192．12.若對任意滿足不等式組的、，都有不等式x－2y＋m≤0恒成立，則實數(shù)m的取值范圍是____________參考答案：13.已知四面體的外接球的球心在上,且平面，,若四面體的體積為,則該球的體積__________.

參考答案：14.設(shè)非零向量與夾角是，且||=|+|，則的最小值是．參考答案：．【分析】由可知=﹣，根據(jù)數(shù)量積的定義可得=﹣||||，從而得出||=||，計算的平方得出關(guān)于t的函數(shù)，從而得出最小值．【解答】解：∵，∴=+2+，即=﹣=﹣||2，∵=||||cos=﹣||||，∴﹣||2=﹣||||，即||=||，∴（）2==t2﹣2t+4=（t﹣1）2+3，∴當(dāng)t=1時，取得最小值．故答案為．15.函數(shù)f（x）=|x2﹣a|在區(qū)間[﹣1，1]上的最大值為M（a），則M（a）的最小值是．參考答案：【考點】帶絕對值的函數(shù)．【專題】計算題．【分析】由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此討論M（a）的值域只需在x∈[0，1]這一范圍內(nèi)進(jìn)行，結(jié)合二次函數(shù)的單調(diào)性及a的正負(fù)及1的大小分類討論求解M（a）．【解答】解：由題意可得函數(shù)f（x）為偶函數(shù)，因此討論M（a）的值域只需在x∈[0，1]這一范圍內(nèi)進(jìn)行；①當(dāng)a≤0時，f（x）=x2﹣a，函數(shù)f（x）在[0，1]單調(diào)遞增，M（a）=f（1）=1﹣a≥1．②當(dāng)1＞a＞0時，函數(shù)f（x）在[0，]上單調(diào)遞減，在[，1]上單調(diào)遞增，所以f（x）在[0，]內(nèi)的最大值為M（a）=f（0）=a，而f（x）在[，1]上的最大值為M（a）=f（1）=1﹣a．由f（1）＞f（0）得1﹣a＞a，即0＜a＜．故當(dāng)a∈（0，）時，M（a）=f（1）=1﹣a＞，同理，當(dāng)a∈[，1）時，M（a）=f（0）=a≥．③當(dāng)a≥1時，函數(shù)在[0，1]上為減函數(shù)，所以M（a）=f（0）=a≥1．綜上，M（a）=1﹣a，（當(dāng)a＜時）；M（a）=a，（當(dāng)a≥時）．所以M（a）在[0，]上為減函數(shù)，且在[，1]為增函數(shù)，易得M（a）的最小值為M（）=．故答案為：．【點評】本題主要考查了偶函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，其實由分析可得M（a）=f（0）或f（1），所以可直接通過比較f（0）與f（1）的大小得出M（a）的解析式從而求解．16.在中，是的中點，點列（）在線段上，且滿足，若，則數(shù)列的通項公式

參考答案：

17.用a，b，c表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：①若 ②若；③若；④若其中真命題的序號是

。參考答案：①④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分13分）已知．（1）若存在單調(diào)遞減區(qū)間，求實數(shù)的取值范圍；（2）若,求證：當(dāng)時，恒成立；（3）設(shè)，證明：.參考答案：（1）當(dāng)時，∴.

∵有單調(diào)減區(qū)間，∴有解，即∵，∴有解.（?。┊?dāng)時符合題意；（ⅱ）當(dāng)時，△，即?！嗟娜≈捣秶?

——4分

（2）證明：當(dāng)時，設(shè)，∴.∵，討論的正負(fù)得下表：∴當(dāng)時有最大值0.即恒成立.∴當(dāng)時，恒成立.

——8分（3）證明：∵，∴

由（2）有∴.

——13分19.（13分）已知點分別是射線，上的動點，為坐標(biāo)原點，且的面積為定值2．（I）求線段中點的軌跡的方程；（II）過點作直線，與曲線交于不同的兩點，與射線分別交于點，若點恰為線段的兩個三等分點，求此時直線的方程．參考答案：解析：（I）由題可設(shè)，，，其中.則

1分∵的面積為定值2，∴.

2分，消去，得：．

4分由于，∴，所以點的軌跡方程為（）．5分（II）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為．由消去得：，

6分設(shè)點、、、的橫坐標(biāo)分別是、、、，∴由得

8分解之得：．∴.

9分由消去得：，由消去得：，∴.

10分由于為的三等分點，∴.

11分解之得.

12分經(jīng)檢驗，此時恰為的三等分點，故所求直線方程為.13分20.已知函數(shù)，（Ⅰ）解不等式：；（Ⅱ）若對任意的，都有，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.參考答案：（Ⅰ）由得.……………5分（Ⅱ）∵的值域為，∴對任意的，都有，使得成立，

……………7分∵≥所以實數(shù)的取值范圍是.……………10分21.下圖為某地區(qū)2012年1月到2013年1月鮮蔬價格指數(shù)的變化情況:

記本月價格指數(shù)上月價格指數(shù).規(guī)定：當(dāng)時，稱本月價格指數(shù)環(huán)比增長；當(dāng)時，稱本月價格指數(shù)環(huán)比下降；當(dāng)時，稱本月價格指數(shù)環(huán)比持平.(Ⅰ)比較2012年上半年與下半年鮮蔬價格指數(shù)月平均值的大?。ú灰笥嬎氵^程）；(Ⅱ)直接寫出從2012年2月到2013年1月的12個月中價格指數(shù)環(huán)比下降的月份.若從這12個月中隨機(jī)選擇連續(xù)的兩個月進(jìn)行觀察，求所選兩個月的價格指數(shù)都環(huán)比下降的概率;(Ⅲ)由圖判斷從哪個月開始連續(xù)三個月的價格指數(shù)方差最大.(結(jié)論不要求證明)參考答案：（Ⅰ）上半年的鮮疏價格的月平均值大于下半年的鮮疏價格的月平均值.--------------------4分（Ⅱ）從2012年2月到2013年1月的12個月中價格指數(shù)環(huán)比下降的月份有4月、5月、6月、9月、10月.

------------------------------------------6分設(shè)“所選兩個月的價格指數(shù)均環(huán)比下降”為事件A，--------------------------------------7分在這12個月份中任取連續(xù)兩個月共有11種不同的取法，------------------------------8分其中事件A有（4月，5月），（5月，6月），（9月，10月），共3種情況.---------9分∴

-----------------------------------------10分（Ⅲ）從2012年11月開始，2012年11月,12月,2013年1月這連續(xù)3個月的價格指數(shù)方差最大.

略22.（13分）已知橢圓=1（a＞b＞c＞0，a2=b2+c2）的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，若以F2為圓心，b﹣c為半徑作圓F2，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于（a﹣c）．（1）證明：橢圓上的點到點F2的最短距離為a﹣c；（2）求橢圓的離心率e的取值范圍；（3）設(shè)橢圓的短半軸長為1，圓F2與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A、B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F2截得的弦長s的最大值．參考答案：考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的應(yīng)用．專題： 計算題；證明題；壓軸題．分析： （1）設(shè)橢圓上任一點Q的坐標(biāo)為（x0，y0），根據(jù)Q點到右準(zhǔn)線的距離和橢圓的第二定義，求得x0的范圍，進(jìn)而求得橢圓上的點到點F2的最短距離（2）可先表示出|PT|，進(jìn)而可知當(dāng)且僅當(dāng)|PF2|取得最小值時|PT|取得最小值，根據(jù)≥（a﹣c）求得e的范圍．（3）設(shè)直線的方程為y=k（x﹣1），與拋物線方程聯(lián)立方程組消去y得，根據(jù)韋達(dá)定理可求得x1+x2和x1x2，代入直線方程求得y1y2，根據(jù)OA⊥OB，可知=0，∴k=a，直線的方程為ax﹣y﹣a=0根據(jù)圓心F2（c，0）到直線l的距離，進(jìn)而求得答案．解答： 解：（1）設(shè)橢圓上任一點Q的坐標(biāo)為（x0，y0），Q點到右準(zhǔn)線的距離為d=﹣x0，則由橢圓的第二定義知：=，∴|QF2|=a﹣，又﹣a≤x0≤a，∴當(dāng)x0=a時，∴|QF2|min=a﹣c．（2）依題意設(shè)切線長|PT|=∴當(dāng)且僅當(dāng)|PF2|取得最小值時|PT|取得最小值，∴≥（a﹣c），∴0＜≤，從而解得≤e＜，故離心率e