線性二次型最優(yōu)控制問題第1頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月1主要內(nèi)容5.1線性二次型性能指標(biāo)5.2狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題5.3輸出調(diào)節(jié)器問題5.4跟蹤問題第2頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月25.1線性二次型性能指標(biāo)性能指標(biāo)具有鮮明的物理意義。最優(yōu)解可以寫成統(tǒng)一的解析表達(dá)式。所得到的最優(yōu)控制規(guī)律是狀態(tài)變量的反饋形式，便于計(jì)算和工程實(shí)現(xiàn)。

可以兼顧系統(tǒng)性能指標(biāo)的多方面因素：快速性、能量消耗、終端準(zhǔn)確性、靈敏度和穩(wěn)定性等。許多控制問題都可作為線性二次型最優(yōu)控制問題來處理。

線性二次型最優(yōu)控制問題：線性系統(tǒng)具有二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題，具有以下特性：線性二次型最優(yōu)控制問題在實(shí)踐上得到了廣泛而成功的應(yīng)用！

第3頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月3問題5.1.1

給定線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方程

Yr(t)表示預(yù)期輸出變量，則有

e(t)=

Yr(t)－Y(t)

稱為誤差向量。

其中，X(t)是n維狀態(tài)變量，U(t)是m維控制變量，Y(t)是r維輸出變量，A(t)是nn時(shí)變矩陣，B(t)是nm時(shí)變矩陣。假設(shè)1rmn，U(t)不受約束。（5.1.1）第4頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月4

選擇最優(yōu)控制U*(t)使下列二次型性能指標(biāo)為最小——線性二次型最優(yōu)控制問題。其中,S:rr半正定對稱常數(shù)矩陣，Q(t):rr半正定對稱時(shí)變矩陣，R(t):mm正定對稱時(shí)變矩陣.終端時(shí)間tf是固定的，終端狀態(tài)X(tf)自由。（5.1.2）第5頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月5若C(t)=I（單位矩陣），Yr(t)=0，則

于是性能指標(biāo)變?yōu)榫€性二次型最優(yōu)控制問題的幾種特殊情況問題歸結(jié)為：用不大的控制能量，使系統(tǒng)狀態(tài)X(t)保持在零值附近——狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。第6頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月6線性二次型最優(yōu)控制問題的幾種特殊情況若Yr=0，則

于是性能指標(biāo)變?yōu)?/p>

這時(shí)問題歸結(jié)為：用不大的控制能量，使系統(tǒng)輸出Y(t)保持在零值附近——輸出調(diào)節(jié)器問題。

第7頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月7若Yr(t)0，則于是性能指標(biāo)可寫為

這時(shí)問題轉(zhuǎn)化為：用不大的控制量，使系統(tǒng)輸出Y(t)緊緊跟隨Yr(t)的變化——跟蹤問題。

第8頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月8

性能指標(biāo)的物理意義

性能指標(biāo)中的第一部分稱作終端代價(jià)，用它來限制終端誤差e(tf)

，以保證終端狀態(tài)X(tf)具有適當(dāng)?shù)臏?zhǔn)確性。性能指標(biāo)中的第二部分稱作過程代價(jià)，用它來限制控制過程的誤差e(t)，以保證系統(tǒng)響應(yīng)具有適當(dāng)?shù)目焖傩浴５?頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月9性能指標(biāo)中的第三部分

稱作控制代價(jià)，用它來限制控制U(t)的幅值及平滑性，以保證系統(tǒng)安全運(yùn)行。同時(shí)，它對限制控制過程的能源消耗也能起到重要的作用，從而保證系統(tǒng)具有適當(dāng)?shù)墓?jié)能性。整個(gè)性能指標(biāo)物理意義：使系統(tǒng)在控制過程中的動(dòng)態(tài)誤差與能量消耗，以及控制結(jié)束時(shí)的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差綜合最優(yōu).第10頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月10（1）二次型性能指標(biāo)是一種綜合型性能指標(biāo)，它可以兼顧終端狀態(tài)的準(zhǔn)確性、系統(tǒng)響應(yīng)的快速性、系統(tǒng)運(yùn)行的安全性及節(jié)能性各方面因素。說明：（2）線性二次型最優(yōu)控制問題的實(shí)質(zhì)是：用不大的控制能量，來保持較小的輸出誤差，以達(dá)到控制能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。（3）控制時(shí)間的起點(diǎn)t0及終點(diǎn)tf，可能是由實(shí)際問題決定的客觀參數(shù)，也可能是由設(shè)計(jì)者決定的主觀參數(shù)——設(shè)計(jì)者必須把希望達(dá)到的目標(biāo)和t0、tf的選擇聯(lián)系起來。第11頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月11（3）不同目標(biāo)之間，往往存在著一定矛盾。為能盡快消除誤差并提高終端準(zhǔn)確性，就需較強(qiáng)的控制作用及較大的能量消耗；而抑制控制作用的幅值和降低能耗，必然會(huì)影響系統(tǒng)的快速性和終端準(zhǔn)確性——合理折衷。（4）無論容許控制如何選擇，性能指標(biāo)中各項(xiàng)的數(shù)值始終具有相同的符號(hào)。以極小值作為最優(yōu)標(biāo)準(zhǔn)，結(jié)合問題的物理性質(zhì)，各項(xiàng)符號(hào)均取正值。第12頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月12性能指標(biāo)中加權(quán)矩陣S，Q(t)和R(t)

（1）加權(quán)矩陣中的各個(gè)元素之間的數(shù)值比例關(guān)系，將直接影響系統(tǒng)的工作品質(zhì)。提高S陣中某一元素的比重，說明更加重視與該元素對應(yīng)的狀態(tài)分量的終端準(zhǔn)確性；提高Q(t)陣中某一元素的比重，說明希望與之對應(yīng)的狀態(tài)分量具有較好的快速響應(yīng)特性（較小的暫態(tài)誤差）；提高R(t)陣中某一元素的比重，意味著需要更有效地抑制與之相應(yīng)的控制分量的幅值及由它引起的能量消耗。安排各加權(quán)陣的各個(gè)元素之間的關(guān)系，十分重要且十分困難！第13頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月13（2）S取半正定，Q(t)

取半正定，R(t)必須取正定。將S陣取為半正定，以便保證終端代價(jià)的非負(fù)性，但容許不考慮與之相應(yīng)的終端誤差。Q(t)取半正定，以便保證暫態(tài)誤差總和的非負(fù)性，但容許不考慮與之相應(yīng)的暫態(tài)誤差。R(t)必須取正定，因?yàn)榭刂拼鷥r(jià)實(shí)際上反映控制過程的能量消耗。只要U(t)不為零，控制過程中能量消耗當(dāng)然不應(yīng)等于零。第14頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月14（3）由于終端代價(jià)只表示終端時(shí)刻tf時(shí)的性能，因此，S應(yīng)為常數(shù)陣。至于Q(t)及R(t)，可能取為常數(shù)陣，也可能取為時(shí)變陣——為了適應(yīng)控制過程的特殊需要。在控制過程的初期出現(xiàn)的較大誤差，并非系統(tǒng)品質(zhì)不佳所致，而是由系統(tǒng)的初始條件引起的，因此，不必過分重視這種誤差，以免引起控制作用U(t)不必要的過大沖擊；控制過程的后期的誤差直接與控制效果相關(guān)，必須給予足夠的重視。只有把Q(t)和R(t)取為時(shí)變陣，才能適應(yīng)控制過程的這類時(shí)變需求。為了防止模型的失調(diào)，也需要Q(t)及R(t)具有時(shí)變性質(zhì)。第15頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月15對容許控制U(t)和終態(tài)X(tf)的說明（1）在線性二次型問題的定義中，并沒有直接提出對控制作用U(t)的不等式約束，但這并不等于在物理上不需要對U(t)進(jìn)行必要的限制。實(shí)際上，用適當(dāng)選擇Q(t)和R(t)數(shù)值比例的方法，同樣可以把U(t)的幅值限制在適當(dāng)?shù)姆秶畠?nèi)。這樣，就可以在保持閉環(huán)系統(tǒng)線性性質(zhì)的前提下，實(shí)現(xiàn)對U(t)的限制。（2）在定義問題時(shí)，也沒有直接提出對終態(tài)X(tf)的要求。實(shí)際上，對終態(tài)的要求，是利用性能指標(biāo)的終端代價(jià)來反映的，性能指標(biāo)中的終端代價(jià)用于限制終端誤差，它表明期望終態(tài)X(tf)盡量靠近誤差信號(hào)e(t)=0所對應(yīng)的狀態(tài)。第16頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月165.2

狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題問題5.2.1

給定線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件其中X(t)是n維狀態(tài)變量，U(t)是m維控制變量，A(t)是nn時(shí)變矩陣，B(t)是nm時(shí)變矩陣。性能指標(biāo)是

其中，Q(t)是nn非負(fù)定對稱的時(shí)變矩陣，R(t)是mm正定對稱的時(shí)變矩陣，tf是給定的有限終端時(shí)刻，X(tf)是自由的終端狀態(tài)，控制函數(shù)U(t)不受約束。（5.2.1）一、有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題（5.2.2）第17頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月17要求確定最優(yōu)控制函數(shù)U*(t)，使性能指標(biāo)

達(dá)到最小值。該最優(yōu)控制問題是以較小的控制能量為代價(jià)，使?fàn)顟B(tài)變量X(t)保持在零值附近——狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題；考慮到終端時(shí)間tf是有限的，故稱為有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題；相應(yīng)的最優(yōu)控制U*(t)稱為最優(yōu)調(diào)節(jié)作用或最優(yōu)調(diào)節(jié)器。第18頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月18解：

構(gòu)造Hamilton函數(shù)

因?yàn)榭刂坪瘮?shù)U(t)本身不受約束，所以有

（5.2.3）應(yīng)用最小值原理來求解：最優(yōu)調(diào)節(jié)作用是協(xié)態(tài)變量(t)的線性函數(shù)。由于協(xié)態(tài)變量在實(shí)際系統(tǒng)中不存在，也無法檢測到，式（5.2.3）的最優(yōu)調(diào)節(jié)作用在工程上難以實(shí)現(xiàn)。第19頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月19

其中，P(t)是nn待定的時(shí)變矩陣。對上式兩邊求導(dǎo)數(shù)，得

為了便于在工程上實(shí)現(xiàn)，需將調(diào)節(jié)作用U(t)表示成系統(tǒng)狀態(tài)變量X(t)的函數(shù)。令：規(guī)范方程為：第20頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月20由于X(t)是任意的，所以有

由于終端狀態(tài)X(tf)是自由的，故相應(yīng)的協(xié)態(tài)變量的終端值為

所以，矩陣?yán)杩ㄌ?Riccati)微分方程矩陣?yán)杩ㄌ?Riccati)微分方程的邊界條件（5.2.4）又考慮第21頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月21P(t)的3個(gè)重要性質(zhì)由微分方程理論的存在與唯一性定理，可以證明P(t)存在而且唯一。對于任意的t[t0，tf]，

P(t)均為對稱陣，即P(t)＝PT(t)。若R(t)是正定矩陣，Q(t)是半正定矩陣，則P(t)（t0ttf）是半正定矩陣；若R(t)是正定矩陣，Q(t)是正定矩陣，則P(t)（t0ttf）是正定矩陣。證明附后第22頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月22對于任意的t[t0，tf]，

P(t)均為對稱陣，即P(t)＝PT(t)證明：將矩陣Riccati微分方程(5.2.4)兩邊轉(zhuǎn)置，得：且邊界條件為：也就是說，待定的時(shí)變矩陣P(t)及其轉(zhuǎn)置PT(t)滿足相同的微分方程和相同的邊界條件。根據(jù)微分方程解的唯一性定理，得P(t)＝PT(t)。由P(t)的對稱性可知，式（5.2.4）中雖包含有n２個(gè)標(biāo)量方程，但是，其中只有n(n+1)/2個(gè)方程是獨(dú)立的。

第23頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月23若R是正定矩陣，Q是半正定矩陣，則P(t)（t0ttf）是半正定矩陣；若R是正定矩陣，Q是正定矩陣，則P(t)（t0ttf）是正定矩陣。

證明：對于任意非零的初態(tài)X(t)(t0ttf)，性能指標(biāo)的最小值為：

由于R是正定的，若Q是半正定的，則式（5.2.5）右端大于等于零，于是故P(t)是半正定的。

（5.2.5）若Q是正定矩陣，則式（5.2.5）右端大于零，于是所以P(t)是正定的。第24頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月24命題5.2.1

問題5.2.1的最優(yōu)調(diào)節(jié)作用必為如下形式的狀態(tài)反饋其中，P(t)是矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠?/p>

滿足邊界條件的對稱解。滿足初始條件的解。并且狀態(tài)最優(yōu)軌線X*(t)是狀態(tài)方程第25頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月25若令，則有其中，K(t)稱為反饋增益矩陣。構(gòu)成一個(gè)狀態(tài)反饋?zhàn)顑?yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)，如圖所示。

第26頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月26

說明：設(shè)U(t)是任意的控制作用，X(t)是相應(yīng)于U(t)的狀態(tài)軌線，性能指標(biāo)

除了依賴于U(t)之外，還依賴于狀態(tài)初值X(t0)。因此，性能指標(biāo)可記為

特別是當(dāng)控制作用為最優(yōu)值U*(t)時(shí)，性能指標(biāo)記為

第27頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月27命題5.2.2

有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)控制U*(t)的充要條件是：

且性能指標(biāo)的最小值為：（證明略）命題5.2.3

有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題的最優(yōu)控制U*(t)存在且唯一。證明：1．存在性由于U*(t)=－R－1BTP(t)X(t)，而P(t)是存在的，故U*(t)亦存在。2．唯一性應(yīng)用反證法。（略）第28頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月28定理5.2.1

給定線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程

其中，U(t)不受約束。其中，P(t)是矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠虧M足邊界條件的唯一對稱解。則最優(yōu)控制存在且唯一，最優(yōu)控制的充要條件是：初始條件X(t0)=X0，性能指標(biāo)為：第29頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月29并且，當(dāng)Q為半正定對稱矩陣時(shí)，P(t)(t0ttf)是半正定對稱矩陣；而當(dāng)Q為正定對稱矩陣時(shí)，P(t)是正定對稱矩陣。

滿足初始條件X(t0)=X0的解。狀態(tài)最優(yōu)軌線是下列狀態(tài)方程性能指標(biāo)的最小值為第30頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月30定理5.2.1的幾點(diǎn)說明：線性二次型最優(yōu)控制律是一個(gè)線性狀態(tài)反饋控制律，便于實(shí)現(xiàn)閉環(huán)最優(yōu)控制；只要時(shí)間區(qū)間[t0,tf]是有限的,Riccati方程的解P(t)就是時(shí)變的,最優(yōu)反饋系統(tǒng)為線性時(shí)變系統(tǒng),即使矩陣A,B,Q,R為常數(shù)矩陣——線性定常系統(tǒng)且Q,R為常數(shù)矩陣,P(t)仍時(shí)變.第31頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月31如果給定線性時(shí)變系統(tǒng)定理5.2.1應(yīng)作如何調(diào)整？性能指標(biāo)為：邊界條件由P(tf)=S改為P(tf)=0即可。

第32頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月32Riccati方程為非線性矩陣微分方程P(t)的解析解P(t)的數(shù)值解第33頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月33例5.2.1

泛函求極值

試求矩陣Riccati微分方程的解析解P(t)以及Kalman增益K(t)。s.t.第34頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月34例5.2.2

泛函求極值

試求Kalman增益K(t)，并觀察tf對K(t)的影響。s.t.第35頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月35（1）（2）（3）第36頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月36>>

%(1)tf=10,P(tf)=k=0>>S=dsolve('Dp=p+p^2-2,p(10)=0')>>t=0:0.1:10;>>K=double(subs(S));>>plot(t,K,'k');axis([0,10,0,2])>>xlabel('t(sec.)')>>ylabel('K(t)')>>gtext('t_f=10,k=0')>>holdon用MATLAB繪制K(t):第37頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月37例5.2.3

設(shè)調(diào)節(jié)對象的狀態(tài)方程為：其中s≥0，q>0，r>0，要求確定最優(yōu)調(diào)節(jié)作用和狀態(tài)最優(yōu)軌線。

性能指標(biāo)為第38頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月38由積分方程

得

其中 第39頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月39最優(yōu)調(diào)節(jié)作用:狀態(tài)最優(yōu)軌線:第40頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月40最優(yōu)調(diào)節(jié)的閉環(huán)系統(tǒng)方框圖：第41頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月41r=1.00.2P(t)1.000.5t0.4r=0.5r=0.1r=0.02P(t)變化曲線第42頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月42r=1000.5x(t)1.000.5t1.0r=1.0r=0.2r=0.02x(t)變化曲線第43頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月430.5-3-5-1r=0.02r=0.1r=1tu(t)u(t)變化曲線第44頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月44不同終端時(shí)刻tf下的p(t)曲線S=10.2P(t)1059t30.40.61.00.8S=0tf=1tf=3tf=5tf=9tf越大，P(t)保持恒定值的時(shí)間區(qū)間越大。只要把tf取得足夠大，在[t0,tf]的大部分時(shí)間內(nèi)，P(t)可視為恒定。第45頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月45例5.2.4

設(shè)調(diào)節(jié)對象的狀態(tài)方程為：

求最優(yōu)控制u*(t)使得性能指標(biāo)為最小。性能指標(biāo)為：初始條件為：并通過Simulink畫出x1,x2及u在[0,3s]內(nèi)變化曲線。求矩陣Riccati微分方程的解P(t)。第46頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月46Riccati方程為非線性矩陣微分方程，通常無法獲得其解析解，只能采用計(jì)算機(jī)逆時(shí)間方法求數(shù)值解！微分方程個(gè)數(shù)？第47頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月47例5.2.5

泛函求極值

s.t.試求矩陣Riccati微分方程的解P(t)。第48頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月481、在已定義好的用戶目錄下，建立M文件，用來存入微分方程（組），無初始條件。2、把用戶目錄設(shè)置為當(dāng)前目錄。3、建立M文件,用函數(shù)ode45求解微分方程，并畫出P(t)。在MATLAB中求解上述微分方程步驟：第49頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月49第50頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月50二、無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題中，所得到最優(yōu)調(diào)節(jié)作用是狀態(tài)變量的線性函數(shù)，可以實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋的閉環(huán)控制。但是，其反饋增益矩陣卻是時(shí)變的。工程實(shí)現(xiàn)上是極不方便的。定常的反饋增益矩陣，易于工程實(shí)現(xiàn)。當(dāng)線性定常系統(tǒng)是完全可控的，并且終端時(shí)刻tf趨于無限時(shí)，就可得到非時(shí)變的狀態(tài)調(diào)節(jié)器，此時(shí)的反饋增益矩陣是一個(gè)定常矩陣。

1、無限時(shí)間定常狀態(tài)調(diào)節(jié)器

第51頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月51問題5.2.2

給定完全可控線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件以及性能指標(biāo)

其中Q和R都是定常對稱正定矩陣。假定U(t)不受約束，要求確定最優(yōu)調(diào)節(jié)作用U*(t)，使性能指標(biāo)達(dá)到最小值。

注意：終端時(shí)刻tf為無限值，故稱為無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，也稱為非時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題。

第52頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月52由定理5.2.1可知，對于給定的系統(tǒng)使性能指標(biāo)達(dá)到最小值的最優(yōu)調(diào)節(jié)作用為

其中，P(t)是矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠虧M足邊界條件的正定對稱解。無限時(shí)間的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題，可看作有限時(shí)間的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題中，令tf時(shí)的極限情況來處理：第53頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月53可以證明：正定對稱矩陣P(t)的每個(gè)元素pij(t)(i，j=1,2,3…,n)隨時(shí)間變化的情況如下圖所示。當(dāng)tf很大時(shí)，隨著t的減小pij(t)將達(dá)到穩(wěn)定值，并且隨著tf的增加，此穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間區(qū)間將加寬。當(dāng)tf時(shí)，此穩(wěn)態(tài)值的時(shí)間區(qū)間也將趨于無窮大。

而當(dāng)給定的系統(tǒng)完全可控時(shí)

第54頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月54當(dāng)tf時(shí)，矩陣?yán)杩ㄌ嵛⒎址匠叹娃D(zhuǎn)化為矩陣?yán)杩ㄌ幔≧iccati）代數(shù)方程：

所以系統(tǒng)在性能指標(biāo)為性能指標(biāo)可表示為

時(shí)的最優(yōu)調(diào)節(jié)作用為第55頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月55的唯一正定對稱解。定理5.2.2

給定線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件

其中，A，B為定常矩陣，系統(tǒng)（A，B）完全可控，控制函數(shù)U(t)不受約束。性能指標(biāo)為

使性能指標(biāo)J達(dá)到最小值的最優(yōu)調(diào)節(jié)作用為其中,是矩陣?yán)杩ㄌ岽鷶?shù)方程其中,Q和R是定常對稱正定矩陣。第56頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月56滿足初始條件

的解。而狀態(tài)最優(yōu)軌線X*(t)是狀態(tài)方程

性能指標(biāo)的最小值為第57頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月57說明:為保證積分值有限，x和u均要收斂到0。如果系統(tǒng)可控，則可通過狀態(tài)反饋任意配置閉環(huán)極點(diǎn)，使系統(tǒng)AS，即：對于無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器，終端狀態(tài)必須為零，即X()=0。要求系統(tǒng)完全可控,是為了為了保證性能指標(biāo)的積分為有限值，從而保證最優(yōu)解存在；由于X()=0，所以在性能指標(biāo)中設(shè)置終端代價(jià)是多余的。線性定常系統(tǒng)無限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器所構(gòu)造的閉環(huán)系統(tǒng)是時(shí)不變的。第58頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月58證明：利用反證法來證明該定理。定理5.2.3

定理5.2.2中的閉環(huán)最優(yōu)調(diào)節(jié)系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的。

假設(shè)系統(tǒng)不是漸進(jìn)穩(wěn)定的，則A1必具有非負(fù)實(shí)部的特征根。于是，當(dāng)tf時(shí)，狀態(tài)變量X(t)不會(huì)趨于零……令第59頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月59定常矩陣的計(jì)算方法直接求解黎卡提代數(shù)方程首先求解黎卡提微分方程

得到其解為然后令tf，t=0或者tf=0，t－，則可得到。

第60頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月602、無限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器

問題5.2.3

給定線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程和初始條件

及性能指標(biāo)控制向量u(t)無約束.確定最優(yōu)控制u?(t)使指標(biāo)達(dá)到極小.第61頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月61定理5.2.4若系統(tǒng){A(t)，B(t)}完全可控,其中,則存在唯一的最優(yōu)控制：最優(yōu)性能指標(biāo)為：P(t)滿足Riccati矩陣微分方程：正定對稱注意：對于有限和無限時(shí)間時(shí)變狀態(tài)調(diào)節(jié)器，最優(yōu)控制增益都是時(shí)變矩陣，最優(yōu)控制都是時(shí)變的。第62頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月62例5.2.6

二階系統(tǒng)的狀態(tài)方程：最優(yōu)控制u*(t)應(yīng)使性能指標(biāo)取極小值。試求出最優(yōu)控制u*(t)，并繪出最優(yōu)反饋系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖。第63頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月63最優(yōu)控制為最優(yōu)控制為：Riccati代數(shù)方程:第64頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月64系統(tǒng)的最優(yōu)反饋結(jié)構(gòu)圖：第65頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月65例5.2.7

已知系統(tǒng)狀態(tài)方程：性能指標(biāo)已知求最優(yōu)控制u*(t).第66頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月66x1(t)-x2(t)+Riccati代數(shù)方程:第67頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月67以a為參數(shù)的系統(tǒng)根軌跡σa=1.5a=2a=0jωa=1.5a=3a=3a=0第68頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月68狀態(tài)調(diào)節(jié)器穩(wěn)定性能的改善——引入積分作用狀態(tài)調(diào)節(jié)器是一個(gè)比例調(diào)節(jié)器，因而系統(tǒng)最后穩(wěn)定時(shí)存在余差。

設(shè)線性定常系統(tǒng)狀態(tài)方程為設(shè)希望有積分作用的那些狀態(tài)變量構(gòu)成的一個(gè)p維向量，令其中,E為元素為0或1的p×n矩陣。利用構(gòu)成一個(gè)n+p維的增廣狀態(tài)變量:第69頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月69從而得到增廣狀態(tài)方程為其中性能指標(biāo)為最優(yōu)狀態(tài)調(diào)節(jié)器為：從而引進(jìn)了積分作用，使閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差得以改善。第70頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月705.3

輸出調(diào)節(jié)器問題問題5.3.1

給定完全可觀測的線性時(shí)變系統(tǒng)（LTV）的狀態(tài)方程和輸出方程以及性能指標(biāo)

其中，S、Q(t)是半正定對稱矩陣，R(t)是正定對稱矩陣，tf是有限的終端時(shí)刻，控制函數(shù)U(t)不受約束。要求確定最優(yōu)調(diào)節(jié)作用U*(t),使性能指標(biāo)達(dá)到最小值。輸出調(diào)節(jié)器問題:其實(shí)質(zhì)是用不大的控制能量，使輸出變量Y(t)保持在零值附近。1、有限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問題第71頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月71考慮到輸出方程,性能指標(biāo)可寫為：加權(quán)矩陣為S、Q(t)的有限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問題加權(quán)矩陣為S

、

Q(t)的有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題可以利用有限時(shí)間狀態(tài)調(diào)節(jié)器定理5.2.1來求解!第72頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月72注意：要求系統(tǒng){A(t),C(t)}在t0時(shí)刻必須是完全可觀測的！第73頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月73引理:

若系統(tǒng)完全可觀,且S、Q(t)是半正定對稱矩陣，則有:第74頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月74定理5.3.1

已知線性時(shí)變系統(tǒng)的狀態(tài)方程為：性能指標(biāo)為則能使系統(tǒng)從初態(tài) 轉(zhuǎn)移到終態(tài) ，并使性能指標(biāo)最小的最優(yōu)控制存在且唯一：若系統(tǒng){A(t),C(t)}在t0時(shí)刻必須是完全可觀測的，第75頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月75其中， 是n×n對稱矩陣，其值為黎卡提微分方程

的唯一解，滿足的邊界條件為 系統(tǒng)的最優(yōu)軌線是以下微分方程的解：性能指標(biāo)的最小值為第76頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月76最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖x(t)u(t)y(t)C(t)第77頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月77有限時(shí)間輸出調(diào)節(jié)器問題：(1)最優(yōu)輸出調(diào)節(jié)器仍是全狀態(tài)反饋；(2)若系統(tǒng)完全可觀，則可由 經(jīng)狀態(tài)觀測器復(fù)現(xiàn) ；(3)若系統(tǒng)不完全可觀，則部分無法復(fù)現(xiàn)，只能用輸出反饋代之，這樣必然會(huì)丟失部分信息，輸出反饋能達(dá)到的最小性能指標(biāo)總要大于狀態(tài)反饋能達(dá)到的最小性能指標(biāo)，從而使設(shè)計(jì)出的調(diào)節(jié)器為次優(yōu)調(diào)節(jié)器。(4)狀態(tài)調(diào)節(jié)器與輸出調(diào)節(jié)器的Riccati方程不全相同，故其解 也不同，反饋增益矩陣也不同。(5)性能指標(biāo)最小值也不能由輸出向量來確定，只能由狀態(tài)向量確定。第78頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月782、無限時(shí)間的輸出調(diào)節(jié)器問題

性能指標(biāo)為：目標(biāo)為：確定最優(yōu)控制u?，使要求的指標(biāo)達(dá)到極小.給定線性定常系統(tǒng)（LTI）的狀態(tài)方程和輸出方程第79頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月79同時(shí)要求系統(tǒng)(A,B,C)是完全可控和完全可觀測的！無限時(shí)間的狀態(tài)調(diào)節(jié)器問題無限時(shí)間的輸出調(diào)節(jié)器問題第80頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月80線性定常 輸出調(diào)節(jié)器

若系統(tǒng)是完全能控能觀的，使性能指標(biāo)定理5.3.2

已知線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)方程及初始狀態(tài)取最小的最優(yōu)控制 為 第81頁，課件共94頁，創(chuàng)作于2023年2月81性能指標(biāo)的最小值為其中，Q和R是定