第第2曲共4堀南開大學(xué)897《運(yùn)籌學(xué)》考研商學(xué)院考研真題南開大學(xué)2011年碩士研究生入學(xué)考試試4學(xué)院;14。商學(xué)院考試科目:897運(yùn)籌學(xué)（商學(xué)院）專業(yè)：管理科學(xué)與工程注意;請(qǐng)將所者瞽案寫在專用雪題紙上,等在此試遨上無數(shù)率試卷可僅用計(jì)算器..某廠生產(chǎn)A.B兩種產(chǎn)品.需經(jīng)過金「和裝配兩個(gè)車間加匕有美數(shù)摳加強(qiáng)I所示.產(chǎn)品B無論生產(chǎn)批量大小，每件產(chǎn)品出產(chǎn)成本總為4州元”產(chǎn)睛A的忝產(chǎn)成本好大線性:第I伴第第70件，每件成本為200元;從第71件開始,每件成本為I州元日試建立線性整數(shù)規(guī)劃模型.使設(shè)廠生產(chǎn)產(chǎn)品的總利澗最大。（本題共15分）表I「附定知1小時(shí)/件）產(chǎn)品忠有效1忖AB車間金工43480裝配25500售價(jià)（元/件）丸05卻現(xiàn)有一個(gè)畿性規(guī)劃問題（P1：ma^Z|=C*

AX<h

,工人

萬之0其對(duì)偶問題的理優(yōu)圈為y= 另仃一綬性規(guī)劃（電力niax3?=CXAX<b^-dX之0其中1M=03”…MJ”求證：m日x%《maxE|+F?小，本題共15分）某「廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙、內(nèi)3種產(chǎn)M,番產(chǎn)他需要花設(shè)備A,b,q上進(jìn)打珊電其所需加?!小時(shí)戮，設(shè)符的有皴臺(tái)時(shí)和單位產(chǎn)品的利潤(rùn)如表n所示. —用?奧共“血產(chǎn)品甲乙 兩諛條有效臺(tái)時(shí)數(shù)f每月）ArJ4 2600 1B21 2- 400C13 2800單位產(chǎn)品利潤(rùn)1萬元）24 3證問答卜一面二個(gè)問譙；.如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，可使T廠獲得顯大利洞？.若每月可租用其也『.廠的A設(shè)備360臺(tái)時(shí)，租金200萬元，問是否租用這種設(shè)備？若租用?能為企業(yè)帶來冬少收襦？.若另外有一種產(chǎn)品.它需要設(shè)備A.氏C的臺(tái)時(shí)數(shù)分別為2、L4,單位產(chǎn)品利得為4萬元，假定各設(shè)飴的仃效臺(tái)時(shí)數(shù)不變，投產(chǎn)這種產(chǎn)品在經(jīng)濟(jì)上整否今舞？（本眶共2。分.其中第一小疆10分，后兩小感各5分）四.某科學(xué)試臉可用J；才,3出三套不同儀器申的任一套去定I心每做完…次試驗(yàn)后，加果卜一次仍川原來的儀罌，娜需要利凌儀器進(jìn)行爵衣整修而中斷試驗(yàn)：如班卜歡損川另外-嚏儀媚，則需I拆裝儀照，也要中斷試臉。假定一次試爆時(shí)間出任何-娶釵端的翻修M間擢K，因此套儀器i懈卜米陶?次內(nèi)m就使用時(shí)，不會(huì)由「整修諭曲響求找“a那或需換成/僅繇所需中際成臉何時(shí)同為小如表3所示.現(xiàn)要敬4次試臉,問應(yīng)如何安排使用儀甥的即!序.使總的中斷成噎的時(shí)間城??？（本題央20分）/儀器1 t*3*10914六儀器9崎103”658h、泉施野號(hào)晦出靖提W種植某種作物的決策向凰如果更早種.乂不遇而徐，則收入為45H兀;如遇需凍，則檢入僅為10萬元，般軸揀的概率為。乩如不JR*靈不遇置源.則收入為代萬無：即使遇霜凍.受災(zāi)也輕+收入為"和承遇窟禰的整率為0.3己知：⑴該農(nóng)場(chǎng)的決策者認(rèn)為：“以翎%的機(jī)會(huì)用45萬元.卻％的機(jī)姿得10萬元”和“德兼35JjX"二淅對(duì)It來說沒行轆別：⑵該農(nóng)場(chǎng)的決策者認(rèn)為：“以5。%的機(jī)會(huì)得45萬元.50%的機(jī)會(huì)得35萬元”和〃穩(wěn)獲40萬元”一者對(duì)其來說沒有差別：（3）該農(nóng)場(chǎng)的洪策者認(rèn)為；“以50皈的機(jī)會(huì)得35允元,50唏的機(jī)會(huì)得10萬元.和〃穩(wěn)獲25萬元”二者對(duì)其來說沒有差別.問題如下：L 說明該決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度,按期望效用最大的原則.該決策者應(yīng)做何種決策？2. 按期望收益最大的原則，謖決策者乂應(yīng)做何種狀策？（本服共2。分，其中第一小題10分*第二小題10分）八、某產(chǎn)枯從倉(cāng)庫(kù)局（*123）運(yùn)往市場(chǎng)為（產(chǎn)12,3,4）脩貨,已知各倉(cāng)庫(kù)的可供應(yīng)量、各布場(chǎng)的需求地及從4倉(cāng)庫(kù)到B,市場(chǎng)路徑上的容地如求4所示（表中數(shù)字0表示兩點(diǎn)之間無直接通路）,請(qǐng)制定一個(gè)調(diào)運(yùn)方案使從各倉(cāng)建調(diào)運(yùn)產(chǎn)品總量撮多.（本題共20分）表471場(chǎng)一量倉(cāng)鏟國(guó)場(chǎng)當(dāng)氏可供應(yīng)期430100402G飽00105。20月32010105100需求量20206020七、某公司生產(chǎn)兩種小型摩托車，其中甲型完全由木公司制造「而乙型是進(jìn)口零件由公司裝配而成，這兩種產(chǎn)亂每輛所需的制造、裝配及檢驗(yàn)時(shí)間她卜表5所刃h表5產(chǎn)品工序銷卷價(jià)格（元/桶）制造裝配校驗(yàn)一甲型《小時(shí)/軸）2053650乙型（小時(shí)/輛）076725瞥周場(chǎng)大生產(chǎn)能力（小時(shí)）1208040每小忖4-產(chǎn)成本（元）12810如果公司經(jīng)營(yíng)目標(biāo)的斯史值和優(yōu)先等級(jí)如卜'；PI:每周的總利潤(rùn)至少為3000元；P2：每周甲邸車型少生產(chǎn)5輛;第J頁(yè)共4火第第4W妹。貞第第4W妹。貞P3；盡量減少各道工序的空余時(shí)間?三道匚序的枚系數(shù)和它們的每小■時(shí)成本成比例，目不允許加班。請(qǐng)建立這個(gè)問題的運(yùn)籌學(xué)模型（不用求解靠（共臨分）八、案例分析：需要多少個(gè)瓶務(wù)人員？某高科技公司的MIS中心處現(xiàn)本公司信息系統(tǒng)的維護(hù)服務(wù).公司苴他部門機(jī)員打電話到信息中心進(jìn)行海詢和服務(wù)請(qǐng)求，不過如果恰巧所有服務(wù)人近都在忙時(shí)時(shí)陜，該職員就必須等待。該中心每小時(shí)平均接受到40個(gè)服務(wù)請(qǐng)求，服務(wù)諾求的刎達(dá)服從洎松分布u每個(gè)請(qǐng)求的平場(chǎng)服務(wù)時(shí)間是3分鐘，旦服從負(fù)指數(shù)分布&信息中心服勢(shì)人員每小時(shí)的平均I：資是15元。公司職員每小時(shí)為公司創(chuàng)造的收益是25元，（如果謖職員在期待或正在接受MIS維護(hù)服務(wù)］則這段時(shí)間內(nèi)該職員不為公司創(chuàng)造任何收益）.我們已經(jīng)通過軟件計(jì)算出撒務(wù)中心的服務(wù)人員個(gè)數(shù)與③恃接受MIS維護(hù)服務(wù)的平均職員數(shù)（不包括正荏接收M1S維護(hù)服務(wù)的職員）以及平均等待時(shí)間（不包括接受MIS維護(hù)服務(wù)的時(shí)間）之間的關(guān)系，如卜衣6:表6.服務(wù)員數(shù)（人）23456平均等待接受赧務(wù)的職員數(shù)（人）35.27ossy01740.04DQ89平均瞥然時(shí)間（小時(shí)）0翩890,0220.004,00010.0002請(qǐng)分析卜麗兩個(gè)同匙：.如果公母絆理希跑職員等待優(yōu)霜維護(hù)服務(wù)（排隊(duì)建計(jì)和服務(wù)等特）的平均時(shí)間不要超過5分鐘，則該信恩中心被少需要聘用蕓少個(gè)服務(wù)人員？2,加果公司經(jīng)理考慮甥H腹務(wù)人員后成本以及閃為筆猾■或出也接受MIS維沙服外造成的企業(yè)損失成本，把兩者成本之和盡證小?則此時(shí)該信息中心需要求優(yōu)多少個(gè).服務(wù)人員？（本題共25分，其中第一小題他分，第一小題15分）南開大學(xué)897運(yùn)籌學(xué)（商學(xué)院）考研真題及詳解一、某廠生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，需經(jīng)過金工和裝配兩個(gè)車間加工，有關(guān)數(shù)據(jù)如表l所示。產(chǎn)品B無論生產(chǎn)批量大小，每件產(chǎn)品生產(chǎn)成本總為400元。產(chǎn)品A的生產(chǎn)成本分段線性：第1件至第70件，每件成本為200元；從第71件開始，每件成本為190元。試建立線性整數(shù)規(guī)劃模型，使該廠生產(chǎn)產(chǎn)品的總利潤(rùn)最大。（本題共15分）表1解：設(shè)x1,x2為產(chǎn)品A、B的個(gè)數(shù)， 。則建立線性整數(shù)規(guī)劃模型如下：二、現(xiàn)有一個(gè)線性規(guī)劃問題（P1）maxz1=CX其對(duì)偶問題的最優(yōu)解為Y*=（y1，y2，y3，…，ym）。另有一線性規(guī)劃（p2）：maxz廣CX其中，d=（d1,d2，…，dm）T。求證：maxz24maxz1+Y*d。證：?jiǎn)栴}1的對(duì)偶問題為：?jiǎn)栴}2的對(duì)偶問題為：易見，問題1的對(duì)偶問題與問題2的對(duì)偶問題具有相同的約束條件，從而，問題1的對(duì)偶問題的最優(yōu)解一定是問題2的對(duì)偶問題的可行解。令問題2的對(duì)偶問題的最優(yōu)解為 ，貝U 。因?yàn)樵瓎栴}與對(duì)偶問題的最優(yōu)值相等，所以三、某工廠計(jì)劃生產(chǎn)甲、乙、丙3種產(chǎn)品，各產(chǎn)品需要在設(shè)備A、B、C上進(jìn)行加工，其所需加工小時(shí)數(shù)、設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)和單位產(chǎn)品的利潤(rùn)如表2所示。表2請(qǐng)回答下面三個(gè)問題：（本題共20分，其中第一小題10分，后兩小題各5分）.如何安排生產(chǎn)計(jì)劃，可使工廠獲得最大利潤(rùn)？.若每月可租用其他工廠的A設(shè)備360臺(tái)時(shí)，租金200萬元，問是否租用這種設(shè)備?若租用.能為企業(yè)帶來多少收益？.若另外有一種產(chǎn)品，它需要設(shè)備A、B、C的臺(tái)時(shí)數(shù)分別為為2、1、4,單位產(chǎn)品利潤(rùn)為4萬元，假定各設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)數(shù)不變，投產(chǎn)這種產(chǎn)品在經(jīng)濟(jì)上是否合算?解：1.設(shè)生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品各為x1,x2,x3單位.，則由題意得加入松弛變量后，利用單純形法計(jì)算如下：cj243000CBXBbx1x2x3x4x5x6

0x46003[4]21000x54002120100x68001320012430004x21503/411/21/4000x52505/40[3/2]-1/4100x6350-5/401/2-3/401-101-1004x2200/31/3101/3-1/303x3500/35/601-1/62/300x6800/3－5/300-2/3-1/31－11/600-5/6-2/30因此已得到最優(yōu)解，即不生產(chǎn)產(chǎn)品甲，乙和丙的產(chǎn)量分別為200/3和500/3單位。獲得最大利潤(rùn) （萬元）。.即 ,此時(shí)，各非基變量的檢驗(yàn)數(shù)不發(fā)生變化，故最優(yōu)基B不改變。（萬元）（萬元）為企業(yè)帶來收益300-200=100（萬元）。.設(shè)這種產(chǎn)品產(chǎn)量為x7單位，則約束方程增加一列向量 ，在最終單純形表為故投產(chǎn)這種產(chǎn)品合算。(4)j=3(4)j=3四、某科學(xué)試驗(yàn)可用1#、2#,3#三套不同儀器中的任一套去完成。每做完一次試驗(yàn)后.如果下次仍用原來的儀器，則需要對(duì)該儀器進(jìn)行檢查整修而中斷試驗(yàn)：如果下次換用另外一套儀器，則需拆裝儀器。也要中斷試驗(yàn)。假定一次試驗(yàn)時(shí)間比任何一套儀器的整修時(shí)間都長(zhǎng)，因此一套儀器換下來隔一次再重新使用時(shí)，不會(huì)由于整修而影響試驗(yàn)。設(shè)i#儀器換成j#儀器所需中斷試驗(yàn)的時(shí)間為％，如表3所示?，F(xiàn)要做4次試驗(yàn)，問應(yīng)如何安排使用儀器的順序，使總的中斷試驗(yàn)的時(shí)間最小?(本題共20分)表3解：設(shè)A、B、C分別代表三套儀器1#、2#，3#，Ai表示在第i次實(shí)驗(yàn)中用儀器A，依此類推Bi、Ci，并設(shè)虛擬開始S和結(jié)束點(diǎn)D。則得網(wǎng)絡(luò)圖如圖1所示：圖1求總的中斷試驗(yàn)的時(shí)間最小，即找最短路問題，利用Dijkstra算法計(jì)算如下：(1)j=O,So={S},P(S)=O,vA1,B1,C1到S點(diǎn)距離相同，「?可同時(shí)標(biāo)號(hào)則S1=(S、A1、B1、C1),(2)j=1則S2=(S、A1、B1、C1、A2、B2、C2)(3)j=2,則S3=(S、A1、B1、C1、A2、B2、C2、A3、B3、C3)則54=區(qū)A1、B1、C1、A2、B2、C2、A3、B3、C3、A4、B4、C4),最后標(biāo)號(hào)D,則標(biāo)號(hào)結(jié)束。(5)比較T(A4)、T(B4)、T(C4),可得出，T(B4)最小，逆序追蹤得使總的中斷試驗(yàn)的時(shí)間最小的使用順序是： ，即3#-2#-3#-2#。五、某農(nóng)場(chǎng)考慮是否提早種植某種作物的決策問題，如果提早種，又不遇霜凍，則收入為45元；如遇霜凍，則收入僅為10萬元，遇霜凍的概率為0.4。如不提早種，又不遇霜凍，則收入為35萬元；即使遇霜凍，受災(zāi)也輕，收入為25萬元，遇霜凍的概率為0.2，已知：(1)該農(nóng)場(chǎng)的決策者認(rèn)為：“以50%的機(jī)會(huì)每45萬元，50%的機(jī)會(huì)得10萬元”和“穩(wěn)獲35萬元”二者對(duì)其來說沒有差別：(2)該農(nóng)場(chǎng)的決策者認(rèn)為：“以50%的機(jī)會(huì)得45萬元，50%的機(jī)會(huì)得35萬元”和“穩(wěn)獲40萬元”二者對(duì)其來說沒有差別：(3)該農(nóng)場(chǎng)的決策者認(rèn)為：“以50%的機(jī)會(huì)得35萬元，50%的機(jī)會(huì)得10萬元”和“穩(wěn)獲25萬元”二者對(duì)其來說沒有差別。(南開大學(xué)2011研)問題如下：.說明該決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度，按期望效用最大的原則，該決策者應(yīng)做何種決策?.按期望收益最大的原則，該決策者又應(yīng)做何種決策？。把最低收益值10萬解：1.將最高收益45萬元的效用定為。把最低收益值10萬元的效用定為0，記為圖圖2圖圖2則決策者對(duì)風(fēng)險(xiǎn)的態(tài)度可以表示為：令提早種的期望效用為 ，不提早種的期望效用為。則（萬元）（萬元），所以，決策者的決策應(yīng)為不提早種。2.令提早種的期望收益為，不提早種的期望收益為。（萬元）（萬元），所以，決策者的決策應(yīng)為不提早種。六、某產(chǎn)品從倉(cāng)庫(kù)Ai（i=1,2,3）運(yùn)往市場(chǎng)B.=（j=1,2,3,4）銷售，已知各倉(cāng)庫(kù)的可供應(yīng)量、各市場(chǎng)的需求量及從A1倉(cāng)庫(kù)到B1市場(chǎng)路徑上的容量如表4所示（表中數(shù)字0表示兩點(diǎn)之間無直接通路），請(qǐng)制定一個(gè)調(diào)運(yùn)方案使從各倉(cāng)庫(kù)調(diào)運(yùn)產(chǎn)品總量最多。（南開大學(xué)2011研）表4解：該問題是求最大流問題，由題得網(wǎng)絡(luò)圖，其中S、D是虛擬開始和結(jié)束點(diǎn)，各路徑最大容量如圖2所示，初始流量為0:（1）標(biāo)號(hào)過程表表6①首先給S標(biāo)號(hào)（0,+8）,檢查S,在?。⊿,A1）上， ，則給A1標(biāo)號(hào)（S,20）,同理，標(biāo)號(hào)A2（S,20）,A3（S,100）②任選一點(diǎn)人1進(jìn)行檢查，在?。ˋ1,B1）上， ，則給B1標(biāo)號(hào)（A1,20）③檢查B1，在?。˙1,D）上， ，則給D標(biāo)號(hào)（B1,20），這樣找到了一條增廣鏈，S-A1-B1-D⑵調(diào)整過程，由（1）知， ，得新的可行流量圖，如圖3所示。圖3依據(jù)上述方法，重復(fù)標(biāo)號(hào)及調(diào)整過程，直到不存在增廣鏈為止，最終得最大流量圖，如圖4所示。圖4調(diào)運(yùn)方案如表5所示.表5B1B2B3B4實(shí)際供出量A1101020A210515A3201010545實(shí)際得到量2020202080七、某公司生產(chǎn)兩種小型摩托車，其中甲型完全由本公司制造，而乙型是進(jìn)口零件由公司裝配而成，這兩種產(chǎn)品每輛所需的制造、裝配及檢驗(yàn)時(shí)間如下表6所示。如果公司經(jīng)營(yíng)目標(biāo)的期望值和優(yōu)先等級(jí)如下：P1:每周的總利潤(rùn)至少為3000元；P2:每周甲型車至少生產(chǎn)5輛；P3：盡量減少各道工序的空余時(shí)間，三工序的權(quán)系數(shù)和它們的每小時(shí)成本成比例。且不允許加班。請(qǐng)建立這個(gè)問題的運(yùn)籌學(xué)模型（不用求解）。解：設(shè)每周甲乙兩種車生產(chǎn)數(shù)量分別為x1,x2，由表可知，兩者每輛的生產(chǎn)成本是a和b。則（元）， （元）按決策者所要求的，這個(gè)問題的數(shù)學(xué)模型為八、案例分析：需要多少個(gè)服務(wù)人員？某商科技公司的MIS中心處理本公司信息系統(tǒng)的維護(hù)服務(wù)。公司其他部門職員打電話到信息中心進(jìn)行咨詢和服務(wù)請(qǐng)求，不過如果恰巧所有服務(wù)人員都在忙的時(shí)候，該職員就必須等待。該中心每小時(shí)平均接受到40個(gè)服務(wù)請(qǐng)求，服務(wù)請(qǐng)求的到達(dá)服從泊松分布。每個(gè)請(qǐng)求的平均服務(wù)時(shí)間是3分鐘，且月服從負(fù)指數(shù)分布。信息中心服務(wù)人員每小時(shí)的平均工資是15元。公司職員每小時(shí)為公司創(chuàng)造的收益是25元。（如果該職員在等待或正在接受MIS