第三章時間響應分析3.1時間響應及其組成3.2典型輸入信號3.3一階系統(tǒng)的時間響應3.4二階系統(tǒng)的時間響應3.5二階系統(tǒng)的性能指標3.6系統(tǒng)誤差分析與計算教學重點：時間響應、性能指標、穩(wěn)態(tài)誤差的分析計算教學難點：性能指標與系統(tǒng)特征參數、結構參數間關系穩(wěn)態(tài)誤差的分析與計算1.掌握一階系統(tǒng)的時間響應；2.掌握二階系統(tǒng)的時間響應；3.掌握欠阻尼二階系統(tǒng)瞬態(tài)響應性能指標；4.掌握控制系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)偏差與穩(wěn)態(tài)誤差的分析計算。本章教學大綱經典控制論分析系統(tǒng)性能的方法時域分析法：根軌跡法：時間響應分析根據系統(tǒng)的微分方程，以拉氏為數學工具，直接解算出系統(tǒng)的輸出量隨時間變化的規(guī)律，并由此來確定系統(tǒng)的性能。頻域分析法：頻率特性分析特點：1）是一種直接分析方法，易于接受，而且也是一種比較準確的方法，能夠提供系統(tǒng)時間響應的全部信息。2）是一種需求解系統(tǒng)輸出的解析法，比較煩瑣，適合低階系統(tǒng)（3階以下）。3）最基本的分析方法，學習復域法、頻域法的基礎。3.1時間響應及其組成1.定義

系統(tǒng)在輸入信號的作用下，其輸出隨時間的變化過程稱為系統(tǒng)的時間響應。它反映系統(tǒng)本身的固有特性與系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)歷程。2.組成按振動性質分自由響應強迫響應按振動來源分零輸入響應零狀態(tài)響應零狀態(tài)響應瞬態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應若系統(tǒng)穩(wěn)定一般情況下，設系統(tǒng)的動力學方程為：式中：

si（i=1,2,···,n）為方程的特征根。自由響應強迫響應零輸入響應零狀態(tài)響應方程的解一般形式為：零狀態(tài)響應（零初始狀態(tài)下，完全由輸入所引起）。零輸入響應（系統(tǒng)無輸入，完全由初始狀態(tài)所決定）。例子-3，-4是系統(tǒng)傳遞函數的極點（特征根）零狀態(tài)響應零輸入響應強迫響應自由響應瞬態(tài)響應——系統(tǒng)在某一輸入信號作用下，其輸出從初始狀態(tài)到穩(wěn)定狀態(tài)的響應過程。穩(wěn)態(tài)響應——時間t趨于無窮大時，系統(tǒng)的輸出狀態(tài)。

通常將時間響應中實際輸出與理想輸出的誤差進入系統(tǒng)規(guī)定的誤差帶之前的過程稱為瞬態(tài)響應過程，之后的過程稱為穩(wěn)態(tài)響應。穩(wěn)態(tài)響應偏離系統(tǒng)希望值的程度可用來衡量系統(tǒng)的精確程度表征系統(tǒng)的準確性和抗干擾的能力。瞬態(tài)響應反映了系統(tǒng)的動態(tài)性能

表征系統(tǒng)的振蕩特性和快速性ts±△注意：系統(tǒng)的階次n和si取決于系統(tǒng)的固有特性，與系統(tǒng)的初態(tài)無關；由所求得的輸出是系統(tǒng)的零狀態(tài)響應；對于線性定常系統(tǒng)，若x(t)引起的輸出y(t)，則引起輸出為。制作：華中科技大學熊良才、吳波、陳良才3.系統(tǒng)特征根與自由響應的關系制作：華中科技大學熊良才、吳波、陳良才(1)(2)具有負實部的共軛復數特征根，自由響應衰減振蕩，|Im[s]|越大，振蕩加劇，|Re[s]|與衰減所需時間，即響應快速性有關。制作：華中科技大學熊良才、吳波、陳良才(3)(4)具有負實部的共軛復數特征根，|Re[s]|越小，衰減所需時間越長，響應快速性變差。實部為0時，特征根為共軛純虛根，自由響應為等幅振蕩。制作：華中科技大學熊良才、吳波、陳良才(6)(5)具有正實部的共軛復數特征根，|Im[s]|≠0，自由響應為發(fā)散幅振蕩，輸出響應不收斂。制作：華中科技大學熊良才、吳波、陳良才(7)(8)Im[s]=0，具有正實數根，自由響應不振蕩，輸出響應不收斂，（發(fā)散）；具有負實數根，自由響應不振蕩，輸出響應收斂。制作：華中科技大學熊良才、吳波、陳良才特征根實部Re[si]的正負決定自由響應的收斂性.Re[si]<0,自由響應收斂，絕對值越大收斂越快；Re[si]>0,自由響應發(fā)散，絕對值越大發(fā)散越快。特征根虛部Im[si]的大小決定自由響應的振蕩頻率若所有特征根具有負實部系統(tǒng)自由響應收斂系統(tǒng)穩(wěn)定若存在特征根的實部大于零系統(tǒng)自由響應發(fā)散系統(tǒng)不穩(wěn)定若有一對特征根的實部為零其余特征根均小于零系統(tǒng)自由響應最終為等幅振蕩系統(tǒng)臨界穩(wěn)定此時，自由響應為瞬態(tài)響應。制作：華中科技大學熊良才、吳波、陳良才結論：1.

特征根的實部影響自由響應項的收斂性若所有特征根均具有負實部，則系統(tǒng)自由響應收斂(系統(tǒng)穩(wěn)定)若存在特征根的實部為正，則系統(tǒng)自由響應發(fā)散(系統(tǒng)不穩(wěn)定)若存在特征根的實部為零，其余實部為負，則系統(tǒng)的自由響應等幅振蕩(系統(tǒng)臨界穩(wěn)定)2.

特征根的虛部影響自由響應項的振蕩性虛部絕對值越大，自由響應項的振蕩越劇烈。教材P:79Re[si]——穩(wěn)定性，快速性Im[si]——振蕩性，準確性

3.2典型輸入信號

時域分析中，為了比較不同系統(tǒng)的控制性能，需要規(guī)定一些具有典型意義的輸入信號建立分析比較的基礎。這些信號稱為控制系統(tǒng)的典型輸入信號。

對典型輸入信號的要求

形式簡單，便于解析分析；實際中可以實現或近似實現；能夠使系統(tǒng)工作在最不利的情形下?？刂葡到y(tǒng)中的典型輸入信號（時域）序號函數時域圖形原函數象函數例1234單位脈沖信號撞擊后座力電脈沖單位階躍信號開關量等速跟蹤單位斜坡信號單位拋物線信號制作：華中科技大學熊良才、吳波、陳良才三、一階系統(tǒng)的時間響應微分方程傳遞函數1.一階系統(tǒng)單位脈沖響應瞬態(tài)響應穩(wěn)態(tài)響應單位脈沖響應函數與傳遞函數為Laplace變換對過渡過程（調整過程）時間響應與穩(wěn)態(tài)值之間誤差為△之前的過程調整時間ts（過渡過程時間）過渡過程所需的時間△=0.02時，ts=4T;△=0.05時，ts=3T

調整時間ts反映系統(tǒng)響應的快速性。Tts

，時間響應的過渡過程，響應快速性。2.一階系統(tǒng)單位階躍響應瞬態(tài)響應：穩(wěn)態(tài)響應：三、一階系統(tǒng)的時間響應兩個重要的特征點：A點t=T，xo(t)=0.632xo穩(wěn)零點t=0，切線斜率=，切線與穩(wěn)態(tài)值相交對應的時間恰為T?！?0.02時，ts=4T;△=0.05時，ts=3T

時間常數T反映了一階系統(tǒng)的固有特性，T，系統(tǒng)的慣性，系統(tǒng)響應的快速性。結論

例3-1已知某一階系統(tǒng)的單位階躍響應曲線如下，求該系統(tǒng)的傳遞函數G(s)。

解：令故該系統(tǒng)的單位階躍響應xo(t)為由圖知，

且當t=0，切線斜率為，

且當t=0，切線斜率為，

∴T=2s3.一階系統(tǒng)單位斜坡響應瞬態(tài)響應：穩(wěn)態(tài)響應：輸入輸出1t如果輸入函數等于某個函數的導數，則該輸入函數所引起的輸出等于這個函數所引起的輸出的導函數。結論1：4.時間常數對時間響應的影響單位脈沖響應單位階躍響應單位斜坡響應時間常數T越小，系統(tǒng)慣性越小，系統(tǒng)響應越快；時間常數T越大，系統(tǒng)慣性越大，系統(tǒng)響應越慢。結論1：單位階躍輸入作用下，其響應與穩(wěn)態(tài)值相差等于容許誤差所需要的時間。D越小，精度要求越高，調整時間ts越長；調整時間反映系統(tǒng)響應的快速性設相對容許誤差DT越大，系統(tǒng)慣性越大，調整時間ts越長。5.一階系統(tǒng)性能指標——調整時間在控制工程實踐中，二階系統(tǒng)應用極為廣泛，如我們熟悉的現象——鐘鈴、彈簧、以及電路在受到沖擊后的短暫振動，都是二階系統(tǒng)動態(tài)性能的的外在表現。此外，許多高階系統(tǒng)在一定的條件下可以近似為二階系統(tǒng)來研究，因此，詳細討論和分析二階系統(tǒng)的特征具有極為重要的實際意義。研究的必要性：四、二階系統(tǒng)的時間響應二階系統(tǒng)ξ—阻尼比；ωn—無阻尼固有頻率ξ與ωn是二階系統(tǒng)的特征參數，表明了二階系統(tǒng)本身與外界無關的特性。傳遞函數：特征方程：特征根：欠阻尼系統(tǒng)無阻尼系統(tǒng)臨界阻尼系統(tǒng)過阻尼系統(tǒng)一、二階系統(tǒng)的單位脈沖響應——有阻尼固有頻率—衰減振蕩—等幅振蕩—無振蕩，衰減指數—無振蕩，衰減指數衰減得更快衰減振蕩，自由響應收斂，欠阻尼系統(tǒng)穩(wěn)定ωn一定，ξ

振蕩頻率ωd振蕩越劇烈衰減時間常數表征系統(tǒng)的慣性特點慣性系統(tǒng)快速性衰減速度取決于，衰減得越快，系統(tǒng)快速性等幅振蕩，自由響應不收斂，無阻尼系統(tǒng)不穩(wěn)定特點無振蕩，自由響應收斂特點無振蕩，自由響應收斂。ξ響應快速性特點圖3.2

二階系統(tǒng)單位脈沖響應曲線二、二階系統(tǒng)的單位階躍響應（1）教材P:86或穩(wěn)態(tài)項瞬態(tài)項（2）（3）（4）當時，比衰減得快得多,過渡過程的變化以項起主要作用（1）其響應特征與欠阻尼二階系統(tǒng)的單位脈沖響應一致圖3.3

二階系統(tǒng)單位階躍響應曲線結論：1)二階系統(tǒng)的阻尼比決定了其振蕩特性;=0時，出現等幅振蕩。

0＜＜1時，衰減振蕩，振蕩越劇烈，響應越靈敏

≥1時，無振蕩，過渡過程長。

2)工程中除了一些不允許產生振蕩的應用，如指示和記錄儀表系統(tǒng)等，通常采用欠阻尼系統(tǒng)，且阻尼比通常選擇在0.4~0.8之間，以保證系統(tǒng)的快速性同時又不至于產生過大的振蕩。3)一定時，n

瞬態(tài)響應分量衰減越快，即系統(tǒng)能夠更快達到穩(wěn)態(tài)值，響應的快速性。通常，系統(tǒng)的性能指標由系統(tǒng)的單位階躍響應給出。單位階躍信號易產生，且響應也較易求得；單位階躍信號作為輸入往往是實際中最不利的輸入情況，用它來定義系統(tǒng)性能更能反映系統(tǒng)的性能情況。欠阻尼二階系統(tǒng)單位階躍響應的瞬態(tài)響應性能指標欠阻尼二階系統(tǒng)(通常取ξ=0.4~0.8)振蕩適宜，過渡過程時間較短。3.5二階系統(tǒng)的性能指標一、常見的性能指標1.上升時間tr2.峰值時間tp3.最大超調量Mp4.調整時間ts5.振蕩次數N靈敏度、快速性、振蕩性能1.

上升時間tr欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應第一次達到穩(wěn)態(tài)值所需要的時間。過阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應從穩(wěn)態(tài)值的10%上升到90%所需要的時間。當ξ一定時，ωn

tr；當ωn一定時，ξ

tr；tr靈敏度

特點2.

峰值時間tp欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應第一次達到峰值所需要的時間。tp是有阻尼振蕩周期2π/ωd

的一半。當ξ一定時，ωn

tp；當ωn一定時，ξ

tp；tp靈敏度

特點tp是有阻尼振蕩周期2π/ωd

的一半。3.

最大超調量Mp

欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應的最大值與穩(wěn)態(tài)值之差，再與穩(wěn)態(tài)值之比的百分數。Mp只與阻尼比ξ有關，反映系統(tǒng)的阻尼特性。ξ=0.4～0.8時，相應的Mp=25%～1.5%

。ξ

MP，系統(tǒng)振蕩得越劇烈

。特點4.

調整時間ts

在響應曲線的穩(wěn)態(tài)值上下取±△（一般取2%或5%）倍的穩(wěn)態(tài)值作為誤差帶。響應曲線達到并不再超出誤差帶范圍所需要的時間。當當△=2%，ξ=0.76時，ts為最小。當△=5%，ξ=0.68時，ts為最小。最佳阻尼比特點5.

振蕩次數N

在過渡過程時間0≤t≤ts內，xo(t)穿越其穩(wěn)態(tài)值xo(∞)

次數的一半。當（數值向上圓整）N只與阻尼比ξ有關，反映系統(tǒng)的阻尼特性。ξ

N

，系統(tǒng)振蕩得越平緩

，系統(tǒng)平穩(wěn)性越好。特點結論：1.二階系統(tǒng)的動態(tài)性能由ωn和ξ決定。通常根據系統(tǒng)允許的最大超調量Mp來確定

。2.二階系統(tǒng)的響應速度與振蕩性能間往往存在矛盾。一般選擇=0.4~0.8，然后再調整n以獲得合適的ts

。ωn不變

ξ，Mp

，即

相對穩(wěn)定性、振蕩性能；ξ不變

ωn，Mp不變，tr、tp、ts

均

，即快速性和靈敏度。且當ξ

≤0.7時，ξts

，tr、tp

；即快速性，但靈敏度；

當ξ

＞0.7時，ξ

ts、tr、tp

均；即快速性和靈敏度均。最佳阻尼比ξ=0.707二、二階系統(tǒng)性能指標計算舉例例3.3設系統(tǒng)的方框圖如下圖所示，其中ξ=0.6，ωn=5rad/s。當有一單位階躍信號作用于系統(tǒng)時，求其性能指標tp、Mp和ts。解：由圖知該系統(tǒng)是典型二階系統(tǒng)。由已知條件和相關性能指標公式，得：例3.4如圖(a)所示的機械系統(tǒng)，在質塊m上施加，xi(t)=8.9N階躍力后，m的時間響應xo(t)如圖(b)所示，試求系統(tǒng)的m,k和c值。解：分析已知條件。1）建立系統(tǒng)數學模型該系統(tǒng)為典型的二階系統(tǒng)。2）求k由圖(b)知3）求m由圖(b)可得，4）求c例3.5有一位置隨動系統(tǒng)，其方框圖如下圖(a)所示。當系統(tǒng)輸入單位階躍函數時，Mp≤5%，試（1）校核該系統(tǒng)的各參數是否滿足要求；（2）在(a)系統(tǒng)中增加一微分負反饋，如圖(b)示，求其時間常數τ。解：(1)分析圖(a)，該系統(tǒng)傳遞函數為，此時，所以系統(tǒng)(a)的各參數不滿足Mp≤5%的性能要求；(2)分析圖(b)，該系統(tǒng)傳遞函數為，為滿足條件Mp≤5%

，由當系統(tǒng)加入微分負反饋時，相當于增大了系統(tǒng)的阻尼比ξ，改善了系統(tǒng)的振蕩性能，即減小了Mp，但并未改變ωn。結論3.6系統(tǒng)誤差分析與計算誤差：以輸出端為基準定義準確性—即系統(tǒng)的精度，是對控制系統(tǒng)的基本性能要求之一。穩(wěn)態(tài)誤差是衡量系統(tǒng)最終控制精度的性能指標。一、系統(tǒng)的誤差e(t)與偏差ε(t)誤差—理想輸出值與實際輸出的差;偏差：以輸入端為基準定義偏差與誤差的關系：特別，當時，穩(wěn)態(tài)誤差：穩(wěn)態(tài)偏差：二、誤差e(t)的一般計算其中，三、與輸入有關的穩(wěn)態(tài)偏差其中K—開環(huán)增益；ν—系統(tǒng)型次；n—系統(tǒng)階次；ν—串聯(lián)積分環(huán)節(jié)的個數，也稱系統(tǒng)無差度，表征系統(tǒng)的結構特征。ν＞2時系統(tǒng)難穩(wěn)定。工程上一般規(guī)定ν=0,1,2，為0型,Ⅰ型,Ⅱ型系統(tǒng)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)偏差εss與系統(tǒng)的型次、開環(huán)增益、輸入信號有關。其中，位置無偏系數0型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)有差，KεssⅠ、Ⅱ型系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)無差K或νεss,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)精度；但ν

穩(wěn)定性,

K

相對穩(wěn)定性。