浙教版八年級數(shù)學(xué)上冊全等三角形證明判定方法分類總結(jié)

全等三角形（一）SSS全等圖形定義為能夠重合的圖形。全等圖形的性質(zhì)包括形狀和大小都相同，對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等，以及面積相等。全等三角形是指能夠完全重合的兩個三角形。表示全等三角形的方法是用符號“≌”來表示，讀作“全等于”，例如，如果三角形ABC與DEF是全等的，則記作三角形ABC≌DEF。符號“≌”的含義是“∽”表示形狀相同，“=”表示大小相等，合起來就是形狀和大小都相同，這就是全等。當(dāng)兩個全等三角形重合時，互相重合的頂點叫做對應(yīng)頂點，互相重合的邊叫做對應(yīng)邊，互相重合的角叫做對應(yīng)角。證明兩個三角形全等時，通常把表示對應(yīng)頂點的字母寫在對應(yīng)的位置上。全等三角形的判定有三種，第一種是三邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，簡稱“邊邊邊”或“SSS”。例1.如圖，已知三角形ABC≌ADC，點B與點D是對應(yīng)點，且∠BAC=26°，∠B=20°，S△ABC=1，求∠CAD，∠D，∠ACD的度數(shù)及△ACD的面積。例2.如圖，已知三角形ABC≌DEF，∠A=50°，BC=9cm，CE=5cm，求∠EDF的度數(shù)及CF的長。例3.如圖，已知AB=AD，AC=AE，BC=DE，求證∠BAE=∠CAD。例4.如圖，已知AB=DE，BC=EF，AD=CF，求證：(1)三角形ABC≌DEF；(2)AB//DE，BC//EF。例5.如圖，在三角形ABC中，∠C=90°，D、E分別為AC、AB上的點，且BE=BC，DE=DC，求證：(1)DE⊥AB；(2)BD平分∠ABC?！眷柟叹毩?xí)】1.下面給出四個結(jié)論：①若兩個圖形是全等圖形，則它們形狀一定相同；②若兩個圖形的形狀相同，則它們一定是全等圖形；③若兩個圖形的面積相等，則它們一定是全等圖形；④若兩個圖形是全等圖形，則它們的大小一定相同。其中正確的是(B)①②。2.如圖，已知三角形ABD≌CDB，且AB和CD是對應(yīng)邊，下面四個結(jié)論中不正確的是(B)三角形ABD和CDB的周長相等。4.已知等腰三角形ABE和ACD，且∠A=100°，∠B=25°，求∠BDC的度數(shù)。5.已知AB=DE，BC=EF，AF=CD，證明AB//CD。6.已知AB=EF，BC=DE，AD=CF，證明①三角形ABC≌三角形FED，②AB//EF。7.已知AB=AD，AC=AE，BC=DE，證明∠BAD=∠CAE。全等三角形（二）【知識要點】定義：SAS若兩個三角形的一條邊和這條邊兩側(cè)的兩個角分別與另一個三角形的一條邊和這條邊兩側(cè)的兩個角相等，則這兩個三角形全等，簡寫成“邊角邊”或“SAS”。如圖，在三角形ABC和三角形DEF中，若AB=DE，∠B=∠E，BC=EF，則三角形ABC≌三角形DEF（SAS）。【典型例題】【例1】已知等腰三角形ABE和ACD，證明BE=CD?！窘馕觥恳驗锳B=AE，所以∠ABE=∠AEB，∠ACD=∠ADC。又因為∠A=100°，所以∠B=∠C=40°。所以∠BED=∠AEB+∠B=70°，∠CDE=∠ADC+∠C=140°。由于∠BED+∠CDE=210°，所以∠BDC=180°-∠BED-∠CDE=50°。又因為∠A=∠A，∠B=∠C，BD=BD，所以三角形ABD≌三角形ACD（SAS）。所以BE=CD。【例2】如圖，已知BD=CE，∠2，求證∠1=∠4?！窘馕觥恳驗锽D=CE，所以∠CBD=∠BCE。又因為∠2=∠CBD+∠BCE，所以∠2=2∠CBD。所以∠CBD=∠4，∠1=∠CBD+∠ABC=∠4+∠ABC。因為∠ABC+∠CBE=180°，所以∠ABC=180°-∠CBE。所以∠1=∠4+180°-∠CBE=180°+∠4-∠CBE=∠4。所以∠1=∠4?！纠?】如圖已知AE=AF，AB=AC，∠A=60°，∠B=24°，求∠BOE的度數(shù)。【解析】因為AB=AC，所以∠B=∠C=24°。所以∠A+∠B+∠C=180°，所以∠A=132°。又因為AE=AF，所以∠EAF=∠EFA=24°。所以∠BAE=∠CAF=54°。所以∠BOE=∠BAE+∠EOA+∠EAF=54°+∠EOA+24°。因為∠EOA=∠BOC，所以∠BOE=78°+∠BOC。又因為∠BOC+∠BOE+∠EOC=180°，所以∠BOE+∠EOC=156°。所以78°+2∠BOE=156°，所以∠BOE=39°?！纠?】如圖，B，C，D在同一條直線上，△ABC，△ADE是等邊三角形，求證：①CE=AC+DC；②∠ECD=60°?！窘馕觥恳驗椤鰽BC和△ADE是等邊三角形，所以AB=AC=BC，AD=AE=DE。所以∠BAC=∠DAC=∠BAE=∠DAE=60°。所以∠BDE=120°，∠CDE=60°。又因為B、C、D在同一條直線上，所以AC=AD+DC，即CE=AC+DC。又因為∠ECD+∠CDE=180°，所以∠ECD=60°。【例5】如圖，已知△ABC、△BDE均為等邊三角形。求證：BD＋CD=AD?！窘馕觥恳驗椤鰽BC和△BDE是等邊三角形，所以AB=BC=CA，BD=DE=EB。所以AD=AB+BD=AB+BE=AB+BC=2AB。又因為CD=2BC，所以BD+CD=2BE+2BC=2(BE+BC)=2AB=AD。所以BD+CD=AD?！眷柟叹毩?xí)】1.在△ABC和△A'B'C'中，若AB=A'B'，AC=A'C'，∠A=∠B'，則△ABC≌△A'B'C'（SAS）。2.下列各組條件中，能判斷△ABC≌△DEF的是（）。A.AB=DE，BC=EF；CA=CDB.CA=CD；∠C=∠F；AC=EFC.CA=CD；∠B=∠ED.AB=DE；BC=EF，且兩個三角形周長相等3.閱讀理解題：如圖：已知AC，BD相交于O，OA=OB，OC=OD。那么△AOD與△BOC全等嗎？請說明理由。OA=OB，OC=OD，∠AOC=180°，所以△AOC≌△BOC（SAS）。但是不能說明△AOD與△BOC全等，因為只有兩個三角形的三邊和三角形的三個角都相等時才能說明兩個三角形全等?！鰽BC與△BAD全等嗎？請說明理由。不能說明，因為只知道AB=AD，AC=AE，但是不知道∠BAC=∠DAE。如圖，$\triangleABC$是等腰直角三角形，其中$CA=CB$，四邊形$CDEF$是正方形，連接$AF$、$BD$。(1)觀察圖形，猜想$AF$與$BD$之間垂直，并證明你的猜想；(2)若將正方形$CDEF$繞點$C$按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使正方形$CDEF$的一邊落在$\triangleABC$的內(nèi)部，請你畫出一個變換后的圖形，并對照已知圖形標(biāo)記字母，題(1)中猜想的結(jié)論是否仍然成立？若成立，直接寫出結(jié)論，不必證明；若不成立，請說明理由。解：（1）如圖所示，連接$CE$，則$\triangleACE$和$\triangleBCF$全等，因為$CA=CB$，$\angleCEA=\angleCFB=90^\circ$，$CE$公共，所以$\triangleACE\cong\triangleBCF$（$HL$全等定理）。因此，$\angleACF=\angleBCE$，又因為$\angleACF+\angleBCE=90^\circ$，所以$\angleACF=\angleBCE=45^\circ$。又因為$\angleAFE=90^\circ$，所以$AF\perpBD$。綜上所述，$AF\perpBD$。（2）如圖所示，將正方形$CDEF$繞點$C$按順時針方向旋轉(zhuǎn)，使正方形$CDEF$的一邊$CD$落在$\triangleABC$的內(nèi)部，連接$CE$，則同樣有$\triangleACE\cong\triangleBCF$，$\angleACF=\angleBCE=45^\circ$。因此，$AF\perpBD$的結(jié)論仍然成立。1.已知如圖，$\angleA=\angleD$，$\angle1=\angle2$，$AF=CD$，求證：$AB=DE$。證明：$\because\angleA=\angleD$，$\angle1=\angle2$，$AF=CD$，$\therefore\triangleAFB\cong\triangleDCE$（ASA）。$\thereforeAB=DE$（對應(yīng)邊相等）。2.如圖，已知$\angleAED=\angleADE$，$\angleBAE=\angleCAD$，求證：$BE=CD$。證明：$\because\angleAED=\angleADE$，$\angleBAE=\angleCAD$，$\therefore\triangleABE\sim\triangleACD$（AA）。$\therefore\dfrac{BE}{CD}=\dfrac{AB}{AC}$，又因為$\dfrac{AB}{AC}=\dfrac{CD}{AC}$（對稱性），所以$BE=CD$。3.已知如圖，$AB=AD$，$\angleB=\angleD$，$\angleBAD=\angleCAE$，求證：$AC=AE$。證明：$\becauseAB=AD$，$\angleB=\angleD$，$\angleBAD=\angleCAE$，$\therefore\triangleABD\cong\triangleACE$（AAS）。$\thereforeAC=AE$（對應(yīng)邊相等）。4.已知如圖，在$\triangleABC$中，$AD$平分$\angleBAC$，$AD\perpBC$，求證：$\triangleACD\cong\triangleABD$。證明：$\becauseAD$平分$\angleBAC$，$AD\perpBC$，$\therefore\angleADB=\angleADC$，$\angleABD=\angleACD$，又因為$AD$是$\triangleABD$和$\triangleACD$的公共邊，所以$\triangleABD\cong\triangleACD$（ASA）。5.已知如圖，$\angleACB=\angleDBC$，$\angleDCA=\angleABD$，$AC=10\text{cm}$，求$BD$的長。證明：$\because\angleACB=\angleDBC$，$\angleDCA=\angleABD$，$\therefore\triangleABC\sim\triangleDBC$（AA）。$\therefore\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DB}{AB}$，又因為$AB=AC+CB$，$DB=DC-BC$，代入得：$\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{DC-BC}{AC+BC}$。$\because\triangleADC$中，$AD=AC$，$\angleADC=\angleBDC$，$\therefore\triangleADC\cong\triangleBDC$（SAS）。$\thereforeDC=BD$，代入得：$\dfrac{BD}{AC}=\dfrac{BD-BC}{AC+BC}$。$\thereforeBD^2-BC\cdotBD=AC\cdotBD+AC\cdotBC$。$\thereforeBD^2-AC\cdotBD=AC\cdotBC$。$\thereforeBD^2-100=10\cdotBD$。$\thereforeBD^2-10\cdotBD-100=0$。$\therefore(BD-20)(BD+10)=0$。$\becauseBD>0$，$\thereforeBD=20$。6.如圖$\triangleABC$中，$\angleB=\angleC$，$D$，$E$，$F$分別在$AB$，$BC$，$AC$上，且$BD=CE$，$\angleDEF=\angleB$，求證：$ED=EF$。證明：$\because\angleB=\angleC$，$\thereforeBD=CE$。又因為$\angleDEF=\angleB$，$\therefore\triangleDEF\sim\triangleBAC$（AA）。$\therefore\dfrac{DE}{BA}=\dfrac{EF}{AC}$，又因為$\triangleBDE\cong\triangleCEF$（SAS）。$\thereforeDE=EF$（對應(yīng)邊相等）。7.(1)如圖1，以$\triangleABC$的邊$AB$、$AC$為邊分別向外作正方形$ABDE$和正方形$ACFG$，連結(jié)$EG$，試判斷$\triangleABC$與$\triangleAEG$面積之間的關(guān)系，并說明理由。(2)園林小路，曲徑通幽，如圖2所示，小路由白色的正方形理石和黑色的三角形理石鋪成。已知中間的所有正方形的面積之和是$a$平方米，內(nèi)圈的所有三角形的面積之和是$b$平方米，這條小路一共占地多少平方米？(1)由于$ABDE$和$ACFG$都是正方形，所以$AB=AE$，$AC=AG$。又因為$\triangleAEG$是$\triangleABC$的外接三角形，所以$\triangleAEG$的面積等于$\triangleABC$面積的一半。$\thereforeS_{\triangleAEG}=\dfrac{1}{2}S_{\triangleABC}$。(2)小路的面積等于所有正方形的面積之和$a$加上所有三角形的面積之和$b$。由于內(nèi)圈的三角形可以組成一個大的三角形$\triangleABC$，所以$b=S_{\triangleABC}$。又因為中間的正方形可以組成一個大的正方形，設(shè)其邊長為$x$，則$a=x^2-S_{\triangleABC}$。$\therefore$小路的面積為$a+b=x^2$。1.如圖，△ABC為等邊三角形，點D、E、F分別在線段AB、BC、CA上。問題分為兩部分：(1)若AD=BE=CF，是否有△DEF為等邊三角形？請證明你的結(jié)論。(2)若△DEF為等邊三角形，是否有AD=BE=CF？請證明你的結(jié)論。2.如圖所示，已知∠1=∠2，EF⊥AD于P，交BC延長線于M。證明2∠M=（∠ACB-∠B）。3.△ABC中，∠A=90°，AB=AC，D為BC中點，E、F分別在AC、AB上，且DE⊥DF。判斷DE、DF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由。4.已知：如圖，△ABC中，∠ABC=45°，CD⊥AB于D，BE平分∠ABC，且BE⊥AC于E，與CD相交于點F，H是BC邊的中點，連結(jié)DH與BE相交于點G。(1)證明BF=AC。(2)證明CE=BF/2。5.如圖，點O是等邊△ABC內(nèi)一點，∠AOB=110，∠BOC=α。將△BOC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)60得△ADC，連接OD。(1)證明△COD是等邊三角形。(2)當(dāng)α=150時，判斷△AOD的形狀，并說明理由。(3)探究：當(dāng)α為多少度時，△AOD是等腰三角形？6.刪除該段