一元線性回歸模型新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.結(jié)合具體實(shí)例，了解一元線性回歸模型的含義，了解模型參數(shù)的統(tǒng)計(jì)意義．2．了解最小二乘原理，掌握求一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)，會(huì)使用相關(guān)的統(tǒng)計(jì)軟件，針對(duì)實(shí)際問(wèn)題，會(huì)用一元線性回歸模型進(jìn)行預(yù)測(cè).1.數(shù)學(xué)抽象：一元線性回歸模型．2．?dāng)?shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算：一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計(jì)．

情

境

導(dǎo)

入

通過(guò)前面的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)知道，根據(jù)成對(duì)樣本數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖和相關(guān)系數(shù)，可以判斷兩個(gè)變量是否存在相關(guān)關(guān)系、是正相關(guān)還是負(fù)相關(guān)，以及線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱等．

思考：是否可以通過(guò)建立適當(dāng)?shù)慕y(tǒng)計(jì)模型來(lái)刻畫(huà)兩個(gè)變量之間的相關(guān)關(guān)系？

身高與體重具有正相關(guān)的關(guān)系，為了進(jìn)一步研究?jī)烧咧g的關(guān)系，有人從某大學(xué)中隨機(jī)選出8名女大學(xué)生，其身高和體重?cái)?shù)據(jù)如下表：編號(hào)12345678身高165165157170175165155170體重4857505464614359以橫軸表示身高、縱軸表示體重建立直角坐標(biāo)系，再將表中的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)表示為散點(diǎn)圖.可以發(fā)現(xiàn)，散點(diǎn)大致分布在一條從左下角到右上角的直線附近，表明身高和體重線性相關(guān).利用統(tǒng)計(jì)軟件，求得樣本相關(guān)系數(shù)為r，且相關(guān)程度強(qiáng).和15015516016517017518040455055606570身高/cm體重/kg從散點(diǎn)圖還看到，樣本點(diǎn)散布在某一條直線的附近，而不是在一條直線上，所以不能用一次函數(shù)y=bx+a描述它們關(guān)系。1．一元線性回歸模型如果用x表示女大學(xué)生身高，Y表示女大學(xué)生的體重，用e表示各種其他隨機(jī)因素影響之和，稱e為隨機(jī)誤差，假定隨機(jī)誤差e的均值為0，方差與身高無(wú)關(guān)的定值σ2，則它們之間的關(guān)系可以表示為稱為Y關(guān)于x的一元線性回歸模型其中Y稱為因變量或響應(yīng)變量，x稱為自變量或解釋變量，a，b為模型的未知參數(shù)，a稱為截距參數(shù)，b稱為斜率參數(shù)；e是Y與bx＋a之間的隨機(jī)誤差思考：為什么E(e)=0？產(chǎn)生隨機(jī)誤差e的原因有哪些？隨機(jī)誤差e的來(lái)源(可以推廣到一般）：1、忽略了其它因素的影響：影響身高y的因素不只是體重x，可能還包括遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等因素；2、用線性回歸模型近似真實(shí)模型所引起的誤差；3、身高y

的觀測(cè)誤差。以上三項(xiàng)誤差越小，說(shuō)明我們的回歸模型的擬合效果越好。

線性回歸模型y=bx+a+e增加了隨機(jī)誤差項(xiàng)e，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差項(xiàng)e共同確定，即自變量x只能解釋部分y的變化。2．隨機(jī)誤差平方和15015516016517017518040455055606570身高/cm體重/kg(1)滿足一元線性回歸模型的兩個(gè)變量的n對(duì)樣本數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2y2)，…，(xn，yn)，知|ei|＝|yi－(bxi＋a)|

，其中，|ei|越小，表示點(diǎn)(xi，yi)與點(diǎn)(xi，bxi＋a)的距離越?。?dāng)ei＝0時(shí)，表示點(diǎn)(xi，yi)在直線y＝bx＋a上．=|y1-bx1-a|+|y2-bx2-a|+…+|yn-bxn-a|由于絕對(duì)值不易計(jì)算,就改用平方,即=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2(2)通過(guò)用各散點(diǎn)到直線的豎直距離的平方和Q＝

來(lái)

刻畫(huà)“整體接近程度”，其中Q還可以表示為

，即它是隨機(jī)誤差的平方和．(yi－bxi－a)2Σni=1Σe2ini=1即要使Q=(y1-bx1-a)2+(y2-bx2-a)2+…+(yn-bxn-a)2最小,a,b

應(yīng)取什么值?這種使樣本數(shù)據(jù)各點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小來(lái)得到回歸直線的方法叫做最小二乘法.求出a,b

的值,就得到回歸方程經(jīng)驗(yàn)回歸方程也稱經(jīng)驗(yàn)回歸函數(shù)或經(jīng)驗(yàn)回歸公式，其圖形稱為經(jīng)驗(yàn)回歸直線經(jīng)驗(yàn)回歸直線一定過(guò)樣本點(diǎn)的中心3.觀測(cè)值、預(yù)測(cè)值、殘差對(duì)于響應(yīng)變量Y，通過(guò)觀測(cè)得到的數(shù)據(jù)稱為觀測(cè)值，通過(guò)經(jīng)驗(yàn)回歸方程得到的預(yù)測(cè)值，觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值稱為殘差．殘差表編號(hào)12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359殘差-6.3732.6272.419-4.6181.1376.627-2.8830.382問(wèn)題數(shù)據(jù)越窄越好殘差圖4.決定系數(shù)R2我們可以用決定系數(shù)R2來(lái)刻畫(huà)回歸的效果，其計(jì)算公式是R2的范圍：[0,1];R2越大，模型的擬合效果越好；R2越小,模型的擬合效果越差；在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對(duì)于預(yù)報(bào)變量變化的貢獻(xiàn)率，R2越接近于1，表示回歸的效果越好.探究點(diǎn)1經(jīng)驗(yàn)回歸方程例1.在某種產(chǎn)品表面進(jìn)行腐蝕刻線試驗(yàn)，得到腐蝕深度y(μm)與腐蝕時(shí)間x(s)之間的一組觀察值如表.x(s)5101520304050607090120y(μm)610101316171923252946(1)畫(huà)出散點(diǎn)圖；(2)求y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)利用經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)時(shí)間為100s時(shí)腐蝕深度為多少(1)散點(diǎn)圖如圖所示，2040608010012001020304050yx(2)從散點(diǎn)圖中，我們可以看出樣本點(diǎn)分布在一條直線附近，因而求經(jīng)驗(yàn)回歸方程有意義．＝5×6＋10×10＋15×10＋…＋120×46＝13910，Σx

iyi11i=1＝52＋102＋152＋…＋1202＝36750，Σx2i11i=1Σxiyi-11xy11i=1Σxi2

-11x2

11i=1≈腐蝕時(shí)間為100s時(shí)腐蝕深度為約35.76μm.年份x20162017201820192020儲(chǔ)蓄存款額y/千億元567810為了計(jì)算方便，工作人員將上表的數(shù)據(jù)進(jìn)行了處理，令t＝x－2015，z＝y(tǒng)－5，得到下表.t12345z01235(1)求z關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)通過(guò)(1)中的方程，求出y關(guān)于x的經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(3)用所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程預(yù)測(cè)到2022年年底，該地此銀行儲(chǔ)蓄存款額可達(dá)到多少？Σi=15Σi=15代入t＝x－2015，z＝y(tǒng)－5，探究點(diǎn)2線性回歸分析對(duì)一個(gè)問(wèn)題的回歸模型，怎樣刻畫(huà)回歸的效果？有三種方式刻畫(huà)回歸效果：(1)殘差圖法；(2)殘差平方和法；(3)決定系數(shù)R2.

例2.為研究質(zhì)量x(單位：g)對(duì)彈簧長(zhǎng)度y(單位：cm)的影響，對(duì)不同質(zhì)量的6個(gè)物體進(jìn)行測(cè)量，數(shù)據(jù)如表所示：x51015202530y7.258.128.959.9010.911.8(1)作出散點(diǎn)圖，并求經(jīng)驗(yàn)回歸方程；(2)求出R2；(3)進(jìn)行殘差分析．510152025300246810yx1235＋20＋25＋30)＝17.5，9.90＋10.9＋11.8)≈9.487，Σxi2

=2275，

i=16Σxiyi=1076.2，i=16所以所求經(jīng)驗(yàn)回歸方程為(2)列表如下：,0.050.005－0.08－0.0450.040.025－2.24－1.37－0.540.411.412.31Σi=16()2≈0.01318，i=16Σ(yi-y)2=14.684，(3)由殘差表中的數(shù)值可以看出第3個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集這個(gè)數(shù)據(jù)的時(shí)候是否有人為的錯(cuò)誤，如果有的話，需要糾正數(shù)據(jù)，重新建立回歸模型；由表中數(shù)據(jù)可以看出殘差點(diǎn)比較均勻地落在不超過(guò)的狹窄的水平帶狀區(qū)域中，說(shuō)明選用的回歸模型的精度較高，由以上分析可知，彈簧長(zhǎng)度與質(zhì)量成線性關(guān)系．(1)殘差平方和越小，模型的擬合效果越好．(2)決定系數(shù)R2越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好．探究點(diǎn)3非線性回歸分析可通過(guò)散點(diǎn)圖選擇適當(dāng)類型的擬合函數(shù)，通過(guò)對(duì)變量的變換轉(zhuǎn)化成線性回歸模型解決．常見(jiàn)的擬合函數(shù)有(1)指數(shù)型函數(shù)：y＝ebx＋a類；(2)對(duì)數(shù)型函數(shù)：y＝blnx＋a類；(3)冪函數(shù)型：y＝bxα＋a類．2102022024681012年研發(fā)費(fèi)用x千萬(wàn)元年銷售量y/千萬(wàn)件(1)利用散點(diǎn)圖判斷y＝a＋bx和y＝c·xd(其中c，d均為大于0的常數(shù))哪一個(gè)更適合作為年銷售量y和年研發(fā)費(fèi)用x的回歸方程類型(只要給出判斷即可，不必說(shuō)明理由)；(2)對(duì)數(shù)據(jù)作出如下處理，令ui＝ln

xi，vi＝ln

yi，得到相關(guān)統(tǒng)計(jì)量的值如下表．根據(jù)第(1)問(wèn)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，求y關(guān)于x的回歸方程Σvi

i=110Σui

i=11010i=1Σ(ui-u)(vi-v)Σ(ui-u)210i=1151528.2556.54681214161824(1)由散點(diǎn)圖可知，選擇回歸類型得lny＝ln

c＋dln

x，Σui

i=110＝Σvi

i=11010i=1Σ(ui-u)(vi-v)Σ(ui-u)210i=1所以年銷售量y與年研發(fā)費(fèi)用x的非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程為解決非線性回歸問(wèn)題的步驟畫(huà)散點(diǎn)圖

選擬合函數(shù)變換求解變換還原根據(jù)原始數(shù)據(jù)(x,y)畫(huà)散點(diǎn)圖根據(jù)散點(diǎn)圖,選擇恰當(dāng)?shù)臄M合函數(shù)進(jìn)行恰當(dāng)?shù)淖儞Q，轉(zhuǎn)化成線性函數(shù)，求經(jīng)驗(yàn)回歸方程通過(guò)相應(yīng)的變換,即可得非線性經(jīng)驗(yàn)回歸方程相關(guān)結(jié)論1.樣本相關(guān)系數(shù)r用來(lái)衡量?jī)蓚€(gè)變量之間線性相關(guān)程度的強(qiáng)弱，|r|越接近于1，相關(guān)程度越強(qiáng)3．隨機(jī)誤差e滿足E(e)＝0，其方差D(e)的大小用來(lái)衡量預(yù)測(cè)的精確度4．決定系數(shù)R2用來(lái)刻畫(huà)回歸模型的擬合效果，R2越大，說(shuō)明模型的擬合效果越好2．(2021·重慶高二期末)若某地財(cái)政收入x與支出y滿足一元線性回歸模型y＝bx＋a＋e(單元：億元