內(nèi)蒙古自治區(qū)呼和浩特市臺(tái)閣牧鄉(xiāng)中學(xué)高三數(shù)學(xué)理期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知，若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則對(duì)于任意,，且，使恒成立的函數(shù)可以是 （

） A． B．

C． D．參考答案：B略2.已知ABCD是矩形，邊長(zhǎng)AB=3，BC=4，正方形ACEF邊長(zhǎng)為5，平面ACEF⊥平面ABCD，則多面體ABCDEF的外接球的表面積(

)A.

B.

C.

D.參考答案：B3.執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（

）

A.

B.

C.

D.

參考答案：C4.一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體的各個(gè)表面中，最大面的面積為

A.

B.

C.2

D.4參考答案：B5.已知f（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，且當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f（x）=x3﹣x，則函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．6 B．7 C．8 D．9參考答案：B【考點(diǎn)】根的存在性及根的個(gè)數(shù)判斷；函數(shù)的周期性．【分析】當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，由周期性可求得區(qū)間[0，6）上解的個(gè)數(shù)，再考慮x=6時(shí)的函數(shù)值即可．【解答】解：當(dāng)0≤x＜2時(shí)，f（x）=x3﹣x=0解得x=0或x=1，因?yàn)閒（x）是R上最小正周期為2的周期函數(shù)，故f（x）=0在區(qū)間[0，6）上解的個(gè)數(shù)為6，又因?yàn)閒（6）=f（0）=0，故f（x）=0在區(qū)間[0，6]上解的個(gè)數(shù)為7，即函數(shù)y=f（x）的圖象在區(qū)間[0，6]上與x軸的交點(diǎn)的個(gè)數(shù)為7故選B6.已知直線l：，圓C：，則圓心C到直線l的距離是（

）A.

B.

C.2

D.1參考答案：A7.已知關(guān)于x的方程x3+ax2+bx+c=0的三個(gè)實(shí)根分別為一個(gè)橢圓，一個(gè)拋物線，一個(gè)雙曲線的離心率，則的取值范圍（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C解：令f（x）=x3+ax2+bx+c∵拋物線的離心率為1，∴1是方程f（x）=x3+ax2+bx+c=0的一個(gè)實(shí)根∴a+b+c=﹣1∴c=﹣1﹣a﹣b代入f（x）=x3+ax2+bx+c，可得f（x）=x3+ax2+bx﹣1﹣a﹣b=（x﹣1）（x2+x+1）+a（x+1）（x﹣1）+b（x﹣1）=（x﹣1）設(shè)g（x）=x2+（a+1）x+1+a+b，則g（x）=0的兩根滿足0＜x1＜1，x2＞1∴g（0）=1+a+b＞0，g（1）=3+2a+b＜0作出可行域，如圖所示的幾何意義是區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率，∴故答案為：C【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系．8.已知平面向量，，滿足===1，=2，則||的取值范圍為（）A．[0，+∞） B．[2，+∞） C．[2，+∞） D．[4，+∞）參考答案：D【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算．【分析】由===1，=2，不妨設(shè)=（1，0），=（m，n），=（p，q）．可得：=m=1，=p=2，=mp+nq=2+nq=1，n=﹣．由=m2+n2+p2+q2=5+n2+q2=5+，利用基本不等式的性質(zhì)可得最小值．利用||==，即可得出．【解答】解：∵===1，=2，不妨設(shè)=（1，0），=（m，n），=（p，q）．則=m=1，=p=2，=mp+nq=2+nq=1，∴n=﹣．∴=m2+n2+p2+q2=5+n2+q2=5+≥5+2=7，當(dāng)且僅當(dāng)q=±1時(shí)取等號(hào)．∴||===≥=4，故選：D．9.某程序框圖如圖所示，該程序運(yùn)行后輸出的值為 A.102 B.410C.614 D.1638參考答案：B10.已知Ω={（x，y）||x|≤1，|y|≤1}，A是由曲線y=x與y=x2圍成的封閉區(qū)域，若向Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)p，則點(diǎn)p落入?yún)^(qū)域A的概率為（）A．B．C．D．參考答案：D考點(diǎn)：幾何概型；定積分在求面積中的應(yīng)用．

專題：概率與統(tǒng)計(jì)．分析：求得兩曲線的交點(diǎn)分別為O（0，0）、A（1，1），可得區(qū)域A的面積等于函數(shù)y=x與y=x2在[0，1]上的定積分值，利用積分計(jì)算公式算出區(qū)域A的面積．區(qū)域Ω表示的是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，因此求出此正方形的面積并利用幾何概型公式加以計(jì)算，即可得到所求概率．解答：解：y=x與y=x2兩曲線的交點(diǎn)分別為O（0，0）、A（1，1）．因此，兩條曲線圍成的區(qū)域A的面積為S=∫01（x﹣x2）dx=（）|=．而Ω={（x，y）||x≤1，|y|≤1}，表示的區(qū)域是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，面積為4，∴在Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，則點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A中的概率P=；故選D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了定積分求曲邊梯形的面積以及幾何概型的概率求法；本題給出區(qū)域A和Ω，求在Ω上隨機(jī)投一點(diǎn)P，使點(diǎn)P落入?yún)^(qū)域A中的概率．著重考查了定積分計(jì)算公式、定積分的幾何意義和幾何概型計(jì)算公式等知識(shí)，屬于中檔題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.中，三邊成等比數(shù)列，，則____________.參考答案：略12.已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積為的球面上，球心在上，

平面，，則三棱錐的表面積為

.參考答案：13.若實(shí)數(shù)x，y滿足，則x＋2y的值域?yàn)椋撸撸撸邊⒖即鸢福?-3

可行域如圖.設(shè)則.易知點(diǎn)為最優(yōu)解.∴.14.若（1+2x）n展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)等于含x項(xiàng)系數(shù)的8倍，則正整數(shù)n=．參考答案：5考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．專題：計(jì)算題．分析：由題意可得Tr+1=Cnr（2x）r=2rCnrxr分別令r=3，r=1可得含x3，x項(xiàng)的系數(shù)，從而可求解答：解：由題意可得二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，Tr+1=Cnr（2x）r=2rCnrxr令r=3可得含x3項(xiàng)的系數(shù)為：8Cn3，令r=1可得含x項(xiàng)的系數(shù)為2Cn1∴8Cn3=8×2Cn1∴n=5故答案為：5點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式求解指定的項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握通項(xiàng)，屬于基礎(chǔ)試題15.已知，則sinθ﹣cosθ=_________．參考答案：16.若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn=n2－n，則數(shù)列an=

．參考答案：．【分析】利用求解．【解答】解：∵數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，∴n=1時(shí)，a1=S1=，n≥2時(shí)，an=Sn﹣Sn﹣1=（）=[（n﹣1）2﹣（n﹣1）]=，當(dāng)n=1時(shí)，上式成立，∴．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，是基礎(chǔ)題．17.（幾何證明選講選做題）在平行四邊形中，點(diǎn)在邊上，且，與交于點(diǎn)，若的面積為，則的面積為．w。w-w*k&參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3﹣3ax（a∈R）．（Ⅰ）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，2）上僅有一個(gè)極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（Ⅲ）若a＞1，且方程f（x）=a﹣x在區(qū)間[﹣a，0]上有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)a的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值；利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，計(jì)算f（0），f′（0），從而求出切線方程即可；（Ⅱ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過(guò)討論a的范圍，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，得到關(guān)于a的不等式組，求出a的范圍即可；（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x﹣a=x3+（1﹣3a）x﹣a，等價(jià)于函數(shù)h（x）在[﹣a，0]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）因?yàn)閒'（x）=3（x2﹣a），所以f'（0）=﹣3a，因?yàn)閒（0）=0，所以曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程為y=﹣3ax．…（Ⅱ）因?yàn)閒'（x）=3（x2﹣a），所以，當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）≥0在R上恒成立，所以f（x）在R上單調(diào)遞增，f（x）沒(méi)有極值點(diǎn)，不符合題意；…當(dāng)a＞0時(shí)，令f'（x）=0得，當(dāng)x變化時(shí)，f'（x）與f（x）的變化情況如下表所示：x（﹣∞，）（，）（，+∞）f'（x）+0﹣0+f（x）↗極大值↘極小值↗因?yàn)楹瘮?shù)f（x）在區(qū)間（﹣1，2）僅有一個(gè)極值點(diǎn)，所以所以1≤a＜4．…（Ⅲ）令h（x）=f（x）+x﹣a=x3+（1﹣3a）x﹣a，方程f（x）=a﹣x在[﹣a，0]上恰有兩個(gè)實(shí)數(shù)根等價(jià)于函數(shù)h（x）在[﹣a，0]上恰有兩個(gè)零點(diǎn)．h'（x）=3x2+（1﹣3a），因?yàn)閍＞1，令h'（x）=0，得，…所以所以

，所以…因?yàn)閍＞1，所以恒成立．所以a≥2，所以實(shí)數(shù)a的最小值為2．…．19.（本小題滿分12分）已知的周長(zhǎng)為，且．（Ⅰ）求邊長(zhǎng)的值；

（Ⅱ）若，求的值．參考答案：解

（1）根據(jù)正弦定理，可化為．

聯(lián)立方程組，解得．

（2），

．

又由（1）可知，，

由余弦定理得∴20.某網(wǎng)站用“10分制”調(diào)查一社區(qū)人們的幸福度．現(xiàn)從調(diào)查人群中隨機(jī)抽取16名，如圖所示莖葉圖記錄了他們的幸福度分?jǐn)?shù)（以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖，小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉）：（1）指出這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)和中位數(shù)；（2）若幸福度不低于9.5分，則稱該人的幸福度為“極幸福”．求從這16人中隨機(jī)選取3人，至多有1人是“極幸?！钡母怕剩唬?）以這16人的樣本數(shù)據(jù)來(lái)估計(jì)整個(gè)社區(qū)的總體數(shù)據(jù)，若從該社區(qū)（人數(shù)很多）任選3人，記ξ表示抽到“極幸?！钡娜藬?shù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)．【專題】概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（1）根據(jù)所給的莖葉圖看出16個(gè)數(shù)據(jù)，找出眾數(shù)和中位數(shù)，中位數(shù)需要按照從小到大的順序排列得到結(jié)論．（2）由題意知本題是一個(gè)古典概型，至多有1人是“極幸福”包括有一個(gè)人是極幸福和有零個(gè)人是極幸福，根據(jù)古典概型公式得到結(jié)果．（3）由于從該社區(qū)任選3人，記ξ表示抽到“極幸福”學(xué)生的人數(shù)，得到變量的可能取值是0、1、2、3，結(jié)合變量對(duì)應(yīng)的事件，算出概率，寫出分布列和期望．【解答】解：（1）由莖葉圖得到所有的數(shù)據(jù)從小到大排，8.6出現(xiàn)次數(shù)最多，∴眾數(shù)：8.6；中位數(shù)：8.75；（2）設(shè)Ai表示所取3人中有i個(gè)人是“極幸?！?，至多有1人是“極幸福”記為事件A，則（3）ξ的可能取值為0、1、2、3.；；，ξ的分布列為ξ0123P七彩教育網(wǎng)所以Eξ=．另解：ξ的可能取值為0、1、2、3．則，．ξ的分布列為ξ0123P所以Eξ=．【點(diǎn)評(píng)】本題是一個(gè)統(tǒng)計(jì)綜合題，對(duì)于一組數(shù)據(jù)，通常要求的是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)，中位數(shù)，平均數(shù)，題目分別表示一組數(shù)據(jù)的特征，這樣的問(wèn)題可以出現(xiàn)在選擇題或填空題，考查最基本的知識(shí)點(diǎn)．21.不等式選講已知函數(shù)，，且的解集為.（1）求的值；（2）若，且

求證:.參考答案：(1)，.當(dāng)m＜1時(shí)，，不等式的解集為，不符題意.當(dāng)時(shí)，①當(dāng)時(shí)，得，.②當(dāng)時(shí)，得，即恒成立.③當(dāng)時(shí)，得，.綜上的解集為.由題意得，.（5分）

(2),,,,由(1)知,

（10分）略22.在如圖所示的多面體ABCDE中，AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，AC=AD=CD=DE=2，AB=1． （1）請(qǐng)?jiān)诰€段CE上找到點(diǎn)F的位置，使得恰有直線BF∥平面ACD，并證明這一事實(shí)； （2）求直線EC與平面ABED所成角的正弦值．