遼寧省丹東市鳳城劉家河中學(xué)2022年高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知集合，則滿足條件集合C的個(gè)數(shù)為（

）A．

4

B．

3

C．

2

D．1參考答案：A由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得集合，集合，滿足條件集合為：，，共個(gè)，故選A.

2.“”是“”的（A）充分不必要條件

（B）必要不充分條件 （C）充要條件

（D）既不充分也不必要條件參考答案：A略3.雙曲線的離心率為（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由雙曲線，求得，再由離心率的公式，即可求解．【詳解】由雙曲線，可得，則，所以雙曲線的離心率為，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其簡(jiǎn)單的幾何性質(zhì)求解，其中解答中熟記雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的幾何性質(zhì)，準(zhǔn)確運(yùn)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.由直線，，與曲線所圍成的圖形的面積等于(

)A．

B．

C．

D．參考答案：A5.已知某幾何體的三視圖如，根據(jù)圖中標(biāo)出的尺寸（單位：cm），可得這個(gè)幾何體的體積是（）A． B． C．2cm3 D．4cm3參考答案：B【考點(diǎn)】棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積．【分析】由題目給出的幾何體的三視圖，還原得到原幾何體，然后直接利用三棱錐的體積公式求解．【解答】解：由三視圖可知，該幾何體為底面是正方形，且邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm的四棱錐，如圖，故，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了棱錐的體積，考查了空間幾何體的三視圖，能夠由三視圖還原得到原幾何體是解答該題的關(guān)鍵，是基礎(chǔ)題．6.在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是m，那么復(fù)數(shù)在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A.(0,－3) B. C.(2,－3) D.參考答案：B【分析】由在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中，含的項(xiàng)的系數(shù)是m，求得m，然后算出，的值，即可得到本題答案.【詳解】由題，得，因?yàn)楹捻?xiàng)的系數(shù)是m，令，得，因?yàn)?，?所以，，在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式定理與復(fù)數(shù)的綜合應(yīng)用問(wèn)題.7.已知復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為（

）

參考答案：C8.設(shè)扇形的周長(zhǎng)為6，面積為2，則扇形的圓心角是（弧度）(

)A． 1

B．4

C． D．1或4參考答案：D9.在等差數(shù)列中，若，，則（

）

A．6

B．8

C．10

D．7參考答案：B略10.已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）A. B. C. D.參考答案：【分析】本題屬于常規(guī)的函數(shù)與方程的設(shè)問(wèn)方法，利用函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)來(lái)判斷方程根的個(gè)數(shù)，此處有三個(gè)不相等的實(shí)根本質(zhì)是的圖象和有三個(gè)交點(diǎn)。圖象交點(diǎn)的研究需要對(duì)于常見(jiàn)的圖象繪制了如指掌，同時(shí)，參數(shù)變化對(duì)于圖象的影響也需要掌握良好。就本題而言，綜合程度較高，但是仍然屬于常見(jiàn)的綜合問(wèn)題，把切線、直線方程、分段函數(shù)、方程與函數(shù)的內(nèi)容通過(guò)圖象的載體結(jié)合在一起，本題需要注意切線起到的特殊作用，很多函數(shù)問(wèn)題的“臨界點(diǎn)”都是切線，本題圖象如下圖所示：分段函數(shù)和過(guò)定點(diǎn)的直線在如上圖位置時(shí)恰好相切，此時(shí)有兩個(gè)交點(diǎn)，若直線斜率變大，則只存在一個(gè)交點(diǎn)，若直線斜率減小，則會(huì)出現(xiàn)三個(gè)交點(diǎn)，如下圖所示：但是，斜率不能無(wú)限下降，當(dāng)斜率等于時(shí)，就只存在一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)斜率繼續(xù)減小時(shí)，交點(diǎn)個(gè)數(shù)不會(huì)超過(guò)1個(gè)?？芍獫M足條件的直線應(yīng)該在切線和的范圍內(nèi)。對(duì)于此類型問(wèn)題，核心的處理方式類似，但在高三的復(fù)習(xí)中，務(wù)必關(guān)注切線的“臨界”作用。

【解】D.根據(jù)上述分析，首先計(jì)算切線斜率，假設(shè)直線與的切點(diǎn)為，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得，那么可以得到如下三個(gè)方程：，講后兩個(gè)方程代入到第一個(gè)方程中，得到，即，解得，從而斜率，根據(jù)分析可知，若要有三個(gè)交點(diǎn)，則斜率，故選D.二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.如圖所示，過(guò)⊙O外一點(diǎn)A作一條直線與⊙O交于C，D兩點(diǎn)，AB切⊙O于B，弦MN過(guò)CD的中點(diǎn)P．已知AC=4，AB=6，則MP·NP=．參考答案：略12.若函數(shù)f(x)＝若f(a)>f(－a)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是________．參考答案：(－1,0)∪(1，＋∞)13.已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長(zhǎng)都相等，若該三棱柱的頂點(diǎn)都在球O的表面上，且三棱柱的體積為，則球O的表面積為．參考答案：7π【考點(diǎn)】LG：球的體積和表面積．【分析】通過(guò)球的內(nèi)接體，說(shuō)明幾何體的中心是球的直徑，設(shè)出三棱柱的底面邊長(zhǎng)，由棱柱的體積公式得到三棱柱的底面邊長(zhǎng)，可得球的半徑，由球的表面積求出球的表面積．【解答】解：如圖，∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的所有棱長(zhǎng)都相等，6個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，∴三棱柱為正三棱柱，且其中心為球的球心，設(shè)為O，設(shè)三棱柱的底面邊長(zhǎng)為a，則∵三棱柱的體積為，∴=，∴a=．設(shè)球的半徑為r，上底面所在圓的半徑為a=1，且球心O到上底面中心H的距離OH==，∴r==，∴球O的表面積為4πr2=7π故答案為：7π14.如果執(zhí)行如圖的程序框圖，那么輸出的值是 。參考答案：15.已知是單位向量，.若向量滿足________．參考答案：【知識(shí)點(diǎn)】平面向量的數(shù)量積及應(yīng)用F3【答案解析】[-1，+1]．由，是單位向量，?=0．可設(shè)=（1，0），=（0，1），=（x，y）∵向量滿足|--|=1，∴|（x-1，y-1）|=1，∴=1，即（x-1）2+（y-1）2=1．其圓心C（1，1），半徑r=1．∴|OC|=．

∴-1≤||=+1．∴||的取值范圍是[-1，+1]．

故答案為：[-1，+1]．【思路點(diǎn)撥】由，是單位向量，?=0．可設(shè)=（1，0），=（0，1），=（x，y）．由向量滿足|--|=1，可得（x-1）2+（y-1）2=1．其圓心C（1，1），半徑r=1．利用|OC|-r≤||=≤|OC|+r即可得出．16.已知三棱錐的各頂點(diǎn)都在一個(gè)表面積為的球面上，球心在上，

平面，，則三棱錐的表面積為

.參考答案：17.已知圓，直線與軸交于點(diǎn)，過(guò)上一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是

．參考答案：

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.（本小題10分）選修4—1：幾何證明選講如圖，、、是圓上三點(diǎn)，是的角平分線，交圓于，過(guò)作圓的切線交的延長(zhǎng)線于.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求證：.參考答案：19.（本小題滿分12分）某班有甲、乙兩個(gè)學(xué)習(xí)小組，兩組的人數(shù)如下：現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從甲、乙兩組中共抽取名同學(xué)進(jìn)行學(xué)業(yè)檢測(cè)．（1）求從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)的概率；（2）記為抽取的名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．

參考答案：（1）依題意，甲、乙兩組的學(xué)生人數(shù)之比為，

所以，從甲組抽取的學(xué)生人數(shù)為；從乙組抽取的學(xué)生人數(shù)為．設(shè)“從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)”為事件,則，故從甲組抽取的同學(xué)中恰有名女同學(xué)的概率為．

…………6分

（2）隨機(jī)變量的所有取值為．

,，,．所以，隨機(jī)變量的分布列為:

．

…………12分

20.在數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=2an+2n，設(shè)bn=．（1）證明：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（3）求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：【考點(diǎn)】數(shù)列的求和；等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；數(shù)列遞推式．【分析】（1）通過(guò)an+1=2an+2n、bn=，計(jì)算、整理可得bn+1=1+bn，進(jìn)而可得結(jié)論；（2）通過(guò)（1）可知數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式，利用bn=計(jì)算可得結(jié)論；（3）通過(guò)an=n?2n﹣1寫出Sn、2Sn的表達(dá)式，利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即得結(jié)論．【解答】（1）證明：∵an+1=2an+2n，bn=，∴bn+1===1+=1+bn，即bn+1﹣bn=1，∴數(shù)列{bn}是公差為1的等差數(shù)列；（2）解：∵a1=1，∴b1==a1=1，∴bn=1+（n﹣1）=n，∴an=2n﹣1?bn=n?2n﹣1；（3）解：∵an=n?2n﹣1，∴Sn=1?20+2?21+3?22+…+n?2n﹣1，2Sn=1?21+2?22+3?23+…+（n﹣1）?2n﹣1+n?2n，兩式相減得：﹣Sn=20+21+22+23+…+2n﹣1﹣n?2n=﹣n?2n=（1﹣n）?2n﹣1，∴Sn=（n﹣1）?2n+1．21.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的無(wú)窮數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為，且滿足（其中a為常數(shù)），.數(shù)列{bn}滿足.（1）證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列，并求出{an}的通項(xiàng)公式；（2）若無(wú)窮等比數(shù)列{cn}滿足：對(duì)任意的，數(shù)列{bn}中總存在兩個(gè)不同的項(xiàng)，使得，求{cn}的公比q.參考答案：（1）方法一：因?yàn)棰?，所以②，由?①得，，即，又，則，即.在中令得，，即.綜上，對(duì)任意，都有，故數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列.又，則.方法二：因?yàn)?，所以，又，則數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，因此，即.當(dāng)時(shí)，，又也符合上式，故.故對(duì)任意，都有，即數(shù)列是以為公差