第二十一章一元二次方程章末復(fù)習(xí)第二十一章一元二次方程章末復(fù)習(xí)知識(shí)框架歸納整合素養(yǎng)提升中考鏈接知識(shí)框架一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解法直接開平方法：解形如(x+a)2=b(b≥0)的方程配方法：配方時(shí),方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方公式法：求根公式為因式分解法：把方程變形為a·b=0的形式,則a=0或b=0定義整式方程只含有一個(gè)未知數(shù)未知數(shù)的最高次數(shù)是2一般形式如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,那么ax2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù),a≠0)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解法定義一般形式根的情況方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根?b2-4ac=0方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根?b2-4ac>0方程沒有實(shí)數(shù)根?b2-4ac<0列方程解決實(shí)際問題平均變化率問題分裂、傳播問題面積、體積問題銷售利潤(rùn)問題循環(huán)問題【要點(diǎn)指導(dǎo)】解一元二次方程的主要方法有四種：直接開平方法、因式分解法、公式法、配方法.直接開平方法和因式分解法可解特殊的一元二次方程,公式法和配方法可解任意的一元二次方程.若沒有特別說明,解法選擇的一般順序?yàn)橹苯娱_平方法、因式分解法、公式法、配方法.歸納整合專題一一元二次方程的解法例1解下列方程：(1)x2+x-1=0；(2)(x-3)2+2x(x-3)=0.分析方程特點(diǎn)選用方法x2+x-1=0方程為一般形式公式法(x-3)2+2x(x-3)=0方程左邊含有公因式(x-3)因式分解法解

(1)∵a=1,b=1,c=-1,b2-4ac=1+4=5>0,(2)∵(x-3)2+2x(x-3)=0,∴(x-3)(x-3+2x)=0,即(x-3)(3x-3)=0,∴x1=3,x2=1.相關(guān)題1解方程：6x2-x-1=0.解一元二次方程時(shí),要根據(jù)方程的特點(diǎn)選擇簡(jiǎn)便的方法.當(dāng)方程不含一次項(xiàng)時(shí),一般采用直接開平方法；當(dāng)方程不含常數(shù)項(xiàng)時(shí),一般采用因式分解法.【要點(diǎn)指導(dǎo)】關(guān)于一元二次方程根的判別式的問題的常見題型有三種：(1)不解方程,判斷方程根的情況；(2)由方程根的情況確定方程的系數(shù)中未知字母的值或取值范圍；(3)進(jìn)行有關(guān)一元二次方程根的情況的證明.專題二根的判別式的應(yīng)用例2已知關(guān)于x的方程(m2-1)x2-2(m+2)x+1=0有實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍.解

本題有兩種情況：(1)若方程是一元二次方程,則m2-1≠0,b2-4ac=[-2(m+2)]2-4(m2-1)≥0, m≠±1,解得 m≥-,即m≥-且m≠±1.(2)若方程為一元一次方程,則m2-1=0,-2(m+2)≠0,解得m=±1.當(dāng)m=1時(shí),原方程為-6x+1=0,有實(shí)數(shù)根x=；當(dāng)m=-1時(shí),原方程為-2x+1=0,有實(shí)數(shù)根x=.綜上所述,當(dāng)m≥-時(shí),原方程有實(shí)數(shù)根.相關(guān)題2-1已知關(guān)于x的一元二次方程x2-3x-k=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.(1)求k的取值范圍；(2)請(qǐng)選擇一個(gè)k的負(fù)整數(shù)值,求出方程的根.相關(guān)題2-2已知關(guān)于x的方程m2x2+(2m+1)x+1=0有實(shí)數(shù)根,求m的取值范圍.當(dāng)方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根時(shí),方程為一元二次方程,此時(shí)方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能為0.【要點(diǎn)指導(dǎo)】利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系解決相關(guān)的計(jì)算問題時(shí),首先必須計(jì)算判別式Δ的值,在保證Δ≥0的前提下,用方程的系數(shù)表示兩個(gè)根的和與積,然后將所求的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為與x1+x2和x1x2相關(guān)的形式,最后代入求值.專題三一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系例3[十堰中考]已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2．(1)求實(shí)數(shù)k的取值范圍；(2)若x1,x2滿足x12+x22=16+x1x2,求實(shí)數(shù)k的值解(1)∵關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,∴Δ=(2k-1)2-4(k2-1)=-4k+5≥0,解得k≤,∴實(shí)數(shù)k的取值范圍為k≤.(2)∵關(guān)于x的一元二次方程x2+(2k-1)x+k2-1=0有兩個(gè)實(shí)數(shù)根x1,x2,∴x1+x2=1-2k,x1x2=k2-1.∵x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=16+x1x2,∴(1-2k)2-2×(k2-1)=16+(k2-1),即k2-4k-12=0,解得k=-2或k=6(不符合題意,舍去).∴實(shí)數(shù)k的值為-2．相關(guān)題3已知關(guān)于x的一元二次方程x2+(m-3)x-m(2m-3)=0.(1)求證：無論m為何值,方程都有兩個(gè)實(shí)數(shù)根.(2)是否存在正數(shù)m,使方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根的平方和等于26？若存在,求出滿足條件的正數(shù)m的值；若不存在,請(qǐng)說明理由．專題四實(shí)際問題與一元二次方程【要點(diǎn)指導(dǎo)】在現(xiàn)實(shí)生活中,許多問題都可以通過建立一元二次方程模型進(jìn)行求解,其中找出等量關(guān)系是建立一元二次方程模型的關(guān)鍵．例4某校團(tuán)委準(zhǔn)備舉辦學(xué)生繪畫展覽,為美化畫面,在長(zhǎng)為30cm、寬為20cm的矩形畫面四周鑲上寬度相等的彩紙,并使彩紙的面積恰好與原畫面面積相等(如圖21-Z-1),求彩紙的寬度.分析設(shè)彩紙的寬度為xcm.長(zhǎng)(cm)寬(cm)面積(cm2)原矩形畫面302030×20鑲彩紙后矩形30+2x20+2x(30+2x)(20+2x)解

設(shè)彩紙的寬度為xcm.由題意,得(30+2x)(20+2x)=2×30×20,整理,得x2+25x-150=0,解得x1=5,x2=-30(不合題意,舍去).答：彩紙的寬度為5cm．相關(guān)題4汽車產(chǎn)業(yè)是某市的支柱產(chǎn)業(yè)之一,其產(chǎn)量和效益逐年增加.據(jù)統(tǒng)計(jì),2016年該市某種品牌汽車的年產(chǎn)量為6.4萬輛,到2018年,該品牌汽車的年產(chǎn)量達(dá)到10萬輛.若該品牌汽車年產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率從2016年開始五年內(nèi)保持不變,則該品牌汽車2019年的年產(chǎn)量為多少萬輛？解：設(shè)該品牌汽車年產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x.由題意，得6.4(1＋x)2＝10，解得x1＝0.25，x2＝－2.25(不合題意，舍去)．∴x＝0.25＝25%，10×(1＋25%)＝12.5(萬輛)．答：該品牌汽車2019年的年產(chǎn)量為12.5萬輛．例5某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件60元,每星期可賣出300件.經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)：每件商品每降價(jià)1元,每星期可多賣出20件．已知商品的進(jìn)價(jià)為每件40元,在顧客得到實(shí)惠的前提下,商家還想獲得6080元的利潤(rùn),則應(yīng)將銷售價(jià)格定為每件多少元？分析設(shè)每件商品降價(jià)x元,商家還能獲得6080元的利潤(rùn).降價(jià)后每件的售價(jià)(元)降價(jià)后的銷售量(件)降價(jià)后的總利潤(rùn)(元)(60-x)(300+20x)6080解：設(shè)每件商品降價(jià)x元,則售價(jià)為每件(60-x)元,每件的利潤(rùn)為(60x-40)元,銷售量為(300+20x)件.根據(jù)題意,得(60-x-40)(300+20x)=6080,解得x1=1,x2=4.為了使顧客得到實(shí)惠,應(yīng)取x=4,即銷售價(jià)格定為每件56元.答：應(yīng)將銷售價(jià)格定為每件56元.相關(guān)題5[朝陽中考]為滿足市場(chǎng)需求,新生活超市在端午節(jié)前夕購(gòu)進(jìn)價(jià)格為3元/個(gè)的某品牌粽子.根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè),該品牌粽子每個(gè)售價(jià)為4元時(shí),每天能出售500個(gè),并且售價(jià)每上漲0.1元,其每天的銷售量將減少10個(gè),為了維護(hù)消費(fèi)者利益,物價(jià)部門規(guī)定,該品牌粽子的售價(jià)不能超過進(jìn)價(jià)的200%.請(qǐng)你利用所學(xué)知識(shí)幫助超市給該品牌粽子定價(jià),使超市每天的銷售利潤(rùn)為800元.

【要點(diǎn)指導(dǎo)】運(yùn)用方程思想解決幾何問題,首先要用含未知數(shù)的式子表示出相關(guān)線段的長(zhǎng)度,然后利用圖形中存在的等量關(guān)系構(gòu)建方程.素養(yǎng)提升專題利用方程思想解決幾何問題例如圖21-Z-2所示,甲、乙兩人開車分別從正方形場(chǎng)地ABCD的頂點(diǎn)C,B同時(shí)出發(fā),甲由C處向D處行駛,乙由B處向C處行駛,甲的速度為1km/min,乙的速度為2km/min.若正方形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為40km,則幾分鐘后,兩人相距2km？分析

設(shè)xmin后,兩人相距2km.根據(jù)“路程=速度×?xí)r間”用含x的代數(shù)式表示線段的長(zhǎng)度,將問題轉(zhuǎn)化到直角三角形中,利用勾股定理構(gòu)建方程來解答．解設(shè)xmin后兩人相距2km,此時(shí)甲運(yùn)動(dòng)到F處,乙運(yùn)動(dòng)到E處,可知FC=xkm,EC=(10-2x)km.在Rt△ECF中,x2+(10-2x)2=(2)2．解得x1=2,x2=6．當(dāng)x=2時(shí),FC=2km,EC=10-4=6(km)＜10km,符合題意；當(dāng)x=6時(shí),FC=6km,EC=10-12=-2(km)＜0km,不符合題意,舍去．答：2min后,兩人相距2km．相關(guān)題

如圖21-Z-3,已知矩形ABCD的邊AB=3cm,BC=6cm.某一時(shí)刻,動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)A出發(fā)沿AB方向以1cm/s的速度向點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí),動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)D出發(fā)沿DA方向以2cm/s的速度向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng).經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間,△AMN的面積等于矩形ABCD面積的？中考鏈接母題1一元二次方程的根(教材P4習(xí)題21.1第7題)如果2是方程x2-c=0的一個(gè)根,那么常數(shù)c是多少？求出這個(gè)方程的其他根.考點(diǎn)：一元二次方程的根的概念.考情：已知一元二次方程的根,求方程的系數(shù)中未知字母的值.策略：把根代入原方程,通過解方程求得原方程的系數(shù)中未知字母的值.鏈接1[鹽城中考]已知一元二次方程x2+kx3=0有一個(gè)根為1,則k的值為(

).A．-2

B．2

C．-4

D．4分析

把x=1代入原方程得1+k-3=0,解得k=2.故選B.B鏈接2[烏魯木齊中考]若關(guān)于x的一元二次方程(a-2)x2+x+|a|-2=0的一個(gè)根是0,則實(shí)數(shù)a的值為(

).A．-2

B．0

C．2

D．-2或2A母題2

一元二次方程的解法(教材P21習(xí)題21.3第1題)解下列方程：(1)x2+10x+21=0；(2)x2-x-1=0；(3)3x2+6x-4=0；(4)3x(x+1)=3x+3；(5)4x2-4x+1=x2+6x+9；(6)7x2-x-5=0.考點(diǎn)：一元二次方程的解法有直接開平方法、配方法、公式法和因式分解法.考情：解一元二次方程是中考的重要考點(diǎn),考查形式為填空題、選擇題或解答題.策略：根據(jù)方程的特點(diǎn),選擇合適的解法.鏈接3[臨沂中考]一元二次方程y2-y-=0配方后可化為(

).B鏈接4[銅仁中考]關(guān)于x的一元二次方程x2-4x+3=0的解為(

).A．x1=-1,x2=3 B．x1=1,x2=-3C．x1=1,x2=3 D．x1=-1,x2=-3分析

x2-4x+3=0,左邊分解因式得(x-1)(x-3)=0,解得x1=1,x2=3.故選C.C母題3一元二次方程根的判別式(教材P17習(xí)題21.2第13題)無論p取何值,方程(x-3)(x-2)-p2=0總有兩個(gè)不等的實(shí)數(shù)根嗎？給出答案并說明理由.考點(diǎn)：一元二次方程根的判別式.考情：利用一元二次方程根的判別式判斷方程根的情況；根據(jù)一元二次方程根的情況,求方程的系數(shù)中未知字母的值或取值范圍.策略：(1)利用判別式b2-4ac確定方程根的情況；(2)根據(jù)一元二次方程根的情況建立方程或不等式,同時(shí)注意二次項(xiàng)系數(shù)不為零.鏈接5[婁底中考]關(guān)于x的一元二次方程x2(k+3)x+k=0的根的情況是(

).A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根C．無實(shí)數(shù)根D．不能確定分析Δ=b2-4ac=(k+3)2-4×k=k2+2k+9=(k+1)2+8.∵(k+1)2≥0,∴(k+1)2+8＞0,即Δ＞0,∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選A.A鏈接6

[桂林中考]若關(guān)于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則k的取值范圍是(

).A．k＜5 B．k＜5且k≠1C．k≤5且k≠1 D．k＞5B分析一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根k-1≠0,

Δ>0k-1≠0,42-4(k-1)>0母題4一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系(教材P17習(xí)題21.2第7題)求下列方程兩個(gè)根的和與積：(1)x2-3x+2=10； (2)5x2+x-5=0；(3)x2+x=5x+6； (4)7x2-5=x+8.考點(diǎn)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系.考情：已知一元二次方程的一個(gè)根,求另一個(gè)根；求與一元二次方程的根有關(guān)的代數(shù)式的值；已知一元二次方程的根求新方程；已知一元二次方程根的情況,求方程的系數(shù)中未知字母的值或取值范圍.策略：利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系及整體思想求解.鏈接7[遵義中考]已知x1,x2是關(guān)于x的方程x2+bx-3=0的兩根,且滿足x1+x2-3x1x2=5,那么b的值為(

).A．4

B．-4

C．3

D．-3A分析∵x1,x2是關(guān)于x的方程x2+bx-3=0的兩根,∴x1+x2=-b,x1x2=-3.又∵x1+x2-3x1x2=5,∴-b-3×(-3)=5,解得b=4.故選A.母題4列一元二次方程解應(yīng)用題(教材P22習(xí)題21.3第7題)青山村種的水稻2010年平均每公頃產(chǎn)7200kg,2012年平均每公頃產(chǎn)8450kg.求水稻每公頃產(chǎn)量的年平均增長(zhǎng)率.考點(diǎn)：利用一元二次方程解決增長(zhǎng)率問題.考情：列一元二次方程解應(yīng)用題的常見類型有增長(zhǎng)率問題、銷售利潤(rùn)問題和圖形的面積問題等.策略：根據(jù)實(shí)際問題尋找等量關(guān)系,從而列出一元二次方程.列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟：審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答.鏈接8[巴中中考]隨著國(guó)家“惠民政策”的陸續(xù)出臺(tái),為了切實(shí)讓老百姓得到