若要功夫深，鐵杵磨成針!

最新高考數(shù)學(xué)一模試卷（文科）

一、選擇題

1復(fù)數(shù)是虛數(shù)單位）的共和復(fù)數(shù)為（）

2.若全集U=R,集合A={X|X2-X-2NO},B={x|log（2-x）W1},2An（B）=（）

3U

A.{x|x<2}B,{x|x<-1或XZ2}C.{X|XN2}D.{X|XW-1或X>2}

、兀

3.已知p：“直線I的頤斜角江〉丁"；q："直線I的斜率k>1"，則p是口的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

4.為了增強(qiáng)環(huán)保意識(shí)，某校從男生中隨機(jī)制取了60人，從女生中隨機(jī)制取了50人參加環(huán)

保知識(shí)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示，經(jīng)計(jì)算K2=7.822,則環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性刖有關(guān)的把握

為()

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)

男生402060

女生203050

總it6050110

附：0.5000.1000.0500.0100.001

2

^_n(n11n.22-n12n21)

n1+n2+n+1n+2

P(gk)

k0.4552.7063.8416.63510.828

A.90%B.95%C.99%D.99.9%

293

已知（《）22

5.a=豆，b=(百)y,c=(5)7M()

5

A.a<b<cB,c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

若要功夫深，鐵杵磨成針!

22

7.巳知地物線yz=20x的焦點(diǎn)到雙曲線%-今1Q〉O,b>0）的一條漸近線的葩圖為4,

a2b2

則該雙曲線的離心率為（）

A.B.C.5/3D,A/5

JTT

8.已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),若圓(x-3)2+y2=r2(r>0)上存在點(diǎn)P(不同于點(diǎn)A,

B）使得PA^PB,則實(shí)數(shù)r的取值范圍是（）

A.（1,5）B.[1,5]C.（1,3]D.[3,5]

9.運(yùn)行如圖所示的程序框圖，則輸出的數(shù)是7的倍數(shù)的概率為（）

IFI

A48?714

A.T7T-RD.—7U.-7-7-Un.

25495099

10.f(x)是定義在(0,+8）上單調(diào)函數(shù)，且對(duì)xe（0,+8),都有f(f(x)-Inx)

=e+1，則方程f(x)-f，(x)=e的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間是()

A.(0,-)B.(-,1)C.(1,e)D.(e,3)

ee

二、填空題

11.某單位有職工750人，其中青年取工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了

了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7

人，則樣本容量為—.

12.已知兩個(gè)單位向量Z,5的夾角為60。，W=tW+E，-tK若W13，則正實(shí)數(shù)

t=.

三校錐的三視圖如圖所示，其伽（左）視圖為直角三角形，則該三極錐外接球的表面

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y>x

14.已知x,y滿足x+y<2,且z=2x-y的最大值是最小值的-2倍，則a的值是.

15.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P,Q滿足條件：①P、Q部在函數(shù)y=f(x)的圖象上；②P、Q

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)(P,Q)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)‘'伙伴點(diǎn)組”(點(diǎn)對(duì)(P,Q)與(Q,

P)看作同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”).則下列函數(shù)中，恰有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”的因數(shù)是(填空

寫(xiě)所有正確選項(xiàng)的序號(hào))

三、解答題

16.某中學(xué)為了解某次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分期得分取正整數(shù)，滿分為

100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部忻損的頻率分布表和獨(dú)率分布直

方圖解決下列問(wèn)題:

頻率分布表:

組別分組頻數(shù)腐率

第1組[50,60)90.18

第2組[60,70)a鬻

第3組[70,80)200.40

第4組[80,90)鬻0.08

第5組[90,100]2b

合計(jì)

(1)寫(xiě)出a,b,x,y的值;

(2)在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參

加座談，求所抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組的概率.

器率分布我方圖

17.已知函數(shù)f(x)=2%/5si吟二cos今"-2sin吟色

00>0)的最小正周期為31T.

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;

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(II)在4ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊，a<b<c,^3a=2csinA,并且f

)=y1-,求COSB的值.

18.在四極維P-ABCD中，PAJ.平面ABCD,AABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M份好

是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4,ZCDA=120°,點(diǎn)N在線段PB上，且PN=V^

(I)求證：BD1PC；

(II)求證：MN〃平面PDC.

19.巳知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列｛a｝的首項(xiàng)a=2,S為其前n項(xiàng)和，若5S,S,3s成等

n1n132

差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式;

n

2

(2)設(shè)b=loga,c=7-7，記數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和為T(mén).若對(duì)于任意的neN，,Tw入(n+4)

n2nn^n+1nnn

恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

22

20.已知橢圓C：+除1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(1,回)，且離心率e=^.

b222

(I)求橢圓方程；

(II)設(shè)點(diǎn)A是橢圓C的左頂點(diǎn)，P,Q為橢圓C上異于點(diǎn)A的兩動(dòng)點(diǎn)，若直線AP,AQ的

斜率之積為一看，問(wèn)直線PQ是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，

說(shuō)明理由.

21.設(shè)函數(shù)fG)=Inx-Jax'+bxQ>。)，F(xiàn)(1)=C.

(1)用含a的式子表示b；

(2)令F(x)=f(x)Wax2-bx十且(0<x<3),其圖象上任意一點(diǎn)P(x,y)處訓(xùn)線

2x00

的斜率k<1恒成立，求實(shí)數(shù)a的颯值范圍；

(3)若a=2,試求f(x)在區(qū)間卜,Q>0)上的最大值.

若要功夫深，鐵杵磨成針!

參考答案與試題解析

一、選擇題

「復(fù)町鼻仃是虛數(shù)單位）的共行數(shù)為（）

A_2,i_2_i2_in2

人一后與BD-虧針p.虧虧D.虧

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.

【分析】直接由復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化筒復(fù)數(shù)/，則復(fù)數(shù)3r［是虛數(shù)單位）

的共也復(fù)數(shù)可求.

—￡-i（l+2i）2-i21

==-

［解答］解：,?-1,2i（i-2i）（l+2i）-5'

二.復(fù)數(shù)直冬一6是虛數(shù)單位）的共軀復(fù)數(shù)為：44i-

1-2155

截選：D

2.若全集U=R,集合A={X|X2-X-2NO},B={x|log(2-x)w1},WAn([：B)=()

3U

A.{x|x<2}B,{x|x<-1或XN2}C.{X|XN2}D.{X|XW-1或X>2}

【考點(diǎn)】交、并、補(bǔ)集的混合運(yùn)算.

【分析】求出集合B中的不等式的解集，確定出集合B,根據(jù)全集U=R,找出集合B的補(bǔ)集,

然后找出集合B補(bǔ)集與集合A的公共部分，即可求出所求的集合.

【解答】解：集合A={X|X2-x-2N0}={X|XW-1或XN2},

log(2-x)w1=log3,

33

0<2-XW3,

-1wx<2,

B={x|-1wx<2},

CB={x[x<-1或x>2},

u

.-.An(C(B)={x|x<-1或x>2},

故選：B.

3.已知p：“直線I的Iffi斜角a>子”；q：“直愛(ài)l的斜率k>1"，則p是4的（）

A,充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【考點(diǎn)】必要條件、充分條件與充要條件的判斷.

若要功夫深，鐵杵磨成針!

【分析】對(duì)于P："直線I的I?斜角以〉1”，則直線I的斜率k=tana>1或k<0；即可判

4

斷出關(guān)系.

JT

【解答】解：P："直線I的超斜角江〉一廠”，則直線I的斜率k=tana>1或k<0；

又q：“直線I的斜率k>1”，

則P是q的必要不充分條件.

故選：B.

4.為了增照環(huán)保意識(shí)，某校從男生中隨機(jī)制取了60人，從女生中隨機(jī)制取了50人參加環(huán)

保知識(shí)測(cè)試，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如表所示,經(jīng)it算依=7.822,則環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān)的把握

為()

優(yōu)秀非優(yōu)秀總計(jì)

男生402060

女生203050

總it6050110

的：0.5000.1000.0500.0100.001

2

^_n(n11n.22-n12n21)

n]+3+口41n+2

P(K2>k)

k0.4552.7063.8416.63510.828

A.90%B,95%C.99%D,99.9%

【考點(diǎn)】獨(dú)立性檢蜃.

【分析】根據(jù)七的值，對(duì)照數(shù)表即可得出機(jī)率結(jié)論.

【解笞】解：由題意,K2?7.822>6.635,

所以,在犯錯(cuò)誤不超過(guò)0.010的情況下認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān),

即有99%的把握認(rèn)為環(huán)保知識(shí)是否優(yōu)秀與性別有關(guān).

政選：C

3293*522

5.Bfila=(—)s',b=(—)c=(—)可，則()

553

A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<c<a

【考點(diǎn)】指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn).

【分析】利用基本因教的單調(diào)性即可判斷.

【解答】解：小色尸為減函數(shù)，

5

/.b<c,

2

又?〃=可在(0,+8)為增函數(shù)，

若要功夫深，鐵杵磨成針!

.,.a>c,

.\b<c<a,

故選:D.

6.函數(shù)尸常行的圖象大致為（）

【考點(diǎn)】函數(shù)的圖象.

【分析】觀察四個(gè)圖象知，A與B、C、D不同（在丫釉左側(cè)沒(méi)有圖象），故審定義域；同理

審B、C、D的不同,從而利用排除法求解.

函數(shù)局

【解答】解:的定義域?yàn)閧x|xKO且x#±1},

故排除A,

,,."2K2X，/\

,?'f(-x)=i^N=-W7T-f(x)

,排除c,

當(dāng)x=2時(shí)，y-1；：,>0,

故排除D,

故選：B.

22

7.已知岫物線yz=20x的焦點(diǎn)到雙曲發(fā)3T-J=l（a）0,b〉0）的一條漸近線的旭爵為4,

a2b2

則該雙曲線的離心率為（）

A."I"B.C.5/3D.

TC

【考點(diǎn)】拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì)；雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【分析】求出拋糊線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，雙曲我的漸近線方程，由點(diǎn)到直線的曲高公式，可得a,

b的關(guān)系，再由離心率公式，計(jì)算即可得到.

【解答】解：拋物線yz=20x的焦點(diǎn)為（5,0）,

22

雙曲線%-Q>o,b〉o）的一條漸近線為bx+ay=O,

a?b2

5b

則焦點(diǎn)到漸近線的距離d^/^4,

Ma'2+b'2

即有b亭，

若要功夫深，鐵杵磨成針!

Wc=Va2+b2=r1^-

即有雙曲線的離心率為

也選：A

8.已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),若圓(x-3)2+y2=r2(r>0)上存在點(diǎn)P(不同于點(diǎn)A,

B)使得PALPB,則實(shí)數(shù)r的取值范圍是()

A.(1,5)B.[1,5]C.(1,3]D.[3,5]

【考點(diǎn)】圓與圓的位置關(guān)系及其判定；直線與圓相交的性質(zhì)；圓方程的綜合期用.

【分析】由題意可得兩圓相交，而以AB為直徑的圓的方程為X2+y2=4,圓心距為3,由兩圓

相交的性質(zhì)可得|r-2|<3!r+2|,由此求得r的范圍.

【解答】解：根據(jù)直徑對(duì)的圓周角為90。，結(jié)合題意可得以AB為直徑的圓和圓(x-3)2+y2=n

有交點(diǎn)，

顯然兩例相加時(shí)不滿足條件，放兩例相交.

而以AB為直徑的圓的方程為X2+yz=4,兩個(gè)圓的圓心他為3,

ffi|r-2|<3<|r+2|,求得1<r<5,

故選：A.

9.運(yùn)行如圖所示的程序柩圖，則輸出的數(shù)是7的倍數(shù)的概率為()

否

I|

【考點(diǎn)】程序框圖.

【分析】根據(jù)已知的程序框圖可得：該程序的功能是計(jì)算并輸出100以內(nèi)的正奇數(shù)，求出輸

出的奇數(shù)個(gè)數(shù)及7的倍數(shù)的個(gè)數(shù)，代人古典慨型概率公式，可得答案.

【解答】解：根據(jù)已知的程序柩圖可得：

該程序的功能是計(jì)算并輸出100以內(nèi)的正奇數(shù)，

由于1,3,5,99中共有50個(gè)數(shù)，

其中7的倍數(shù)有714,77,91共7個(gè)，

故輸出的數(shù)是7的倍數(shù)的概率PqJ7.

若要功夫深，鐵杵磨成針!

故選：c

10.f(x)是定義在(0,+8)上單調(diào)函數(shù)，且對(duì)vxe(0,+8),都有f(f(x)-Inx)

=e+1,則方程f(x)-「(x)=e的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間是()

A.(0,-)B.(-,1)C,(1,e)D.(e,3)

ee

【考點(diǎn)】函數(shù)與方程的綜合運(yùn)用；網(wǎng)數(shù)的單調(diào)性與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系.

【分析】利用換元法求出函數(shù)f(x)的解析式，然后根據(jù)函數(shù)與方程的關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造

因數(shù)，判斷函數(shù)的零點(diǎn)即可得到結(jié)論.

【解答】解：/(x)是定義在(0,+8)上是調(diào)函數(shù),且機(jī)xe(0,+8),都有f(f(x)

-Inx)=e+1,

.?.設(shè)f(x)-lnx=t,則f(t)=e+1,

即f(x)=lnx+t,

令x=t,Bf(t)=lnt+t=e+1,

Mt=e,

即f(x)=lnx+e,

函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x)},

則由f(x)-『(x)=e得Inx+e--^=e,

X

即Inx-L,

X

設(shè)h(x)=lnx--,

x

Wh(1)=ln1-1=-1<0,h(e)=lne-^=1-->0,

ee

函數(shù)h(x)在(1,e)上存在一個(gè)零點(diǎn)，即方程f(x)-4(x)=e的實(shí)數(shù)解所在的區(qū)間

是(1,e),

故選：C.

二、填空題

11.某單位有職工750人，其中青年取工350人，中年職工250人，老年職工150人，為了

了解垓單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7

人，則樣本容量為15.

【考點(diǎn)】分層抽樣方法；循環(huán)結(jié)構(gòu).

【分析】根據(jù)分層抽樣的定義和方法，先求出每個(gè)個(gè)體被抽到的慨率，再根據(jù)用樣本容量除

以個(gè)體總數(shù)得到的值就等于每個(gè)個(gè)體被抽到的概率,由此求得樣本容量.

【解答】解：根據(jù)分層抽樣的定義和方法，每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于士.

35050

設(shè)樣本容量等于n,則有；「二，解得n=15,

75050

故答案為15.

若要功夫深，鐵杵磨成針!

12.已知兩個(gè)單位向量Z,E的夾角為60°,3=W-tE，若W17，則正實(shí)數(shù)1=

1.

后點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算.

【分析】根據(jù)向量垂直得出列出方程解出t.

【解答】解：a*b=cos60°

cld)

T_

cd=0>Bl(tafb)(atb)=01

，燒-聯(lián)+(1-12)a吊=0,即-泰+^=0.

-.-t>0,

t=1.

故答案為1.

13.某三校推的三視圖如圖所示，其倜（左）視圖為直角三角形，則該三棱銖?fù)饨忧虻谋砻?/p>

【考點(diǎn)】由三視圖求面積、體機(jī)

【分析】根據(jù)幾何體的三視圖，得：該幾何體是應(yīng)面為直角三角形，側(cè)面垂直于底面，高為

5的三棱維，求出三枝錐外接球的半裕，即可求出三枝錐外接球的表面機(jī)

【解答】解：根據(jù)幾何體的三視圖，得：該幾何體是底面為直角三角形，伽面垂直于底面，

高為5的三棱錐.

設(shè)三枝雄外接球的半徑為R,球心到截面的距離為d,則（2.5-》g+（5-小山泡泡

4

.\4KR2=50IT,

故答案為:501r.

"y>x

14.已知x,y滿足，x+y<2,且z=2x-y的最大值是最小值的-2倍，則a的值是二

.x>a

【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.

若要功夫深，鐵杵磨成針!

【分析】由為束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解,

聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo),代入目標(biāo)函數(shù)得到z的最值，再由z=2x+y的最大值是最小

值的2倍列式求得a值.

y^x

【解答】解：由為束條件x+y<2,作出可行域如圖，

x=a

蛾立，得B(a,2-a),

lx+y=2

'尸X

喊立)得A(1,1),

.x+y=2

化目標(biāo)函數(shù)z=2x-y為y=2x-z,

由圖可知z=2x1-1=1,z=2a-2+a=3a-2,

maxmin

由高二-2,解得：

15.若直角坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)P,Q滿足條件：①P、Q都在函數(shù)y=f(x)的圖象上；②P、Q

關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，則對(duì)稱點(diǎn)(P,Q)是函數(shù)y=f(x)的一個(gè)“伙伴點(diǎn)組”(點(diǎn)對(duì)(P,Q)與(Q,

P)看作同一個(gè)“伙伴點(diǎn)組則下列函數(shù)中，恰有兩個(gè)“伙伴點(diǎn)組”P(pán)函數(shù)是②③(填

空寫(xiě)所有正確選項(xiàng)的序號(hào))

1log-x,x>0

x>0小9x-1,x>0

;③y=',;④

2-

-1,x<0_In|x|,x<0-X4x,x<0

3x+-^->x>。

x

e",x<0

【考點(diǎn)】命題的真假判斷與應(yīng)用.

若要功夫深，鐵杵磨成針!

【分析】根據(jù)“伙伴點(diǎn)組”的定義可知，只需要利用圖象，作出函數(shù)f(X)則x<0時(shí)關(guān)于

原點(diǎn)對(duì)稱的圖象，利用對(duì)稱圖象在x>0兩個(gè)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，即為“伙伴點(diǎn)組”的個(gè)數(shù).根

據(jù)條件進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：①困數(shù)y=-x-l,(x<0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=x-l,即y=-x+l,

在x>0上作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，

由圖象可知兩個(gè)函數(shù)在x>0上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有一個(gè)，所以函數(shù)f(x)的“伙伴點(diǎn)組”有1

②函教y=-ln|x|(x<0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=-ln|-x|,即y=ln|x|,

在x>0上作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，

由圖象可知兩個(gè)函數(shù)在x>0上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)，所以函數(shù)f(x)的“伙伴點(diǎn)組”有2個(gè),

滿足條件.

③函數(shù)y=-X2-4x,(x<0)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=-X2+4x,即y=x2-4x,

在x>0上作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，

由圖象可知兩個(gè)函數(shù)在x>0上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有2個(gè)，所以函數(shù)f(x)的“伙伴點(diǎn)組”有2個(gè),

滿足條件.

若要功夫深，鐵杵磨成針!

④函數(shù)y=e-x,(x<o)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)為-y=ex,fiDy=-ex,

在x>0上作出兩個(gè)函數(shù)的圖象如圖，

由圖象可知兩個(gè)函數(shù)在x>0上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)有0個(gè)，所以函數(shù)f(x)的“伙伴點(diǎn)組”有0個(gè),

不滿足條件.

三、解答題

16.某中學(xué)為了解某次競(jìng)賽成績(jī)情況，從中抽取了部分學(xué)生的分?jǐn)?shù)(得介取正整數(shù)，滿分為

100分)作為樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，請(qǐng)根據(jù)下面尚未完成并有局部污損的魏率分布表和獨(dú)率分布直

力圖解決下列問(wèn)題:

顓率分布表：

組刖分組頻數(shù)靦率

第1組[50,60)90.18

第2組[60,70)a鬻

第3組[70,80)200.40

第4組[80,90)巍0.08

第5組[90,100]2b

合計(jì)縫鬻

(1)寫(xiě)出a,b,x,y的值;

若要功夫深，鐵杵磨成針!

(2)在選取的樣本中，從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參

加座談，求所抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組的慨率.

收率分布我方用

【考點(diǎn)】列舉法計(jì)算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率；頒率分布直方圖.

【分析】(1)由超意知，t先求出樣本總數(shù)，由此能求出a,b,x,y的值.

(2)由題意如第4組競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)有4大，第5組競(jìng)賽成績(jī)是

80分以上(含80分)的同學(xué)有2大，共6人，由此利用等可能事件概率計(jì)算公式能求出所

抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組的概率.

q2

【解笞】解：(1)由題意如，樣本總數(shù)n/d=50,b4=0.04,

0.1850

Q.04入人人“1-0.18-0.4-0.08-0.04

y_^=0.004,x=-----------------------------------------=0n.03,

a=(1-0.18-0.4-0.08-0.04)x50=15.

(2)由題意知第4組競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)有4人，

第5組競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)有2人，共6人，

從競(jìng)賽成績(jī)是80分以上(含80分)的同學(xué)中隨機(jī)抽取2名同學(xué)參加座談，

基本事件總數(shù)n=C、15,

所抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組包含的基本事件個(gè)數(shù)m=C1+C,7,

所抽取的2名同學(xué)來(lái)自同一組的視率p-二

,—(0COYCOy

17.已知因數(shù)f(x)=2仔iL^cosi^-2sin寸(3>0)的最小正周期為31r.

(I)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(II)在4ABC中，a,b,c分別為角A,B,C所對(duì)的邊，a<b<c,6a=2csinA,并且f

(gA+-^~)=y^,求cosB的值.

【考點(diǎn)】三角因數(shù)中的恒等變換應(yīng)用；三角闞數(shù)的周期性及其求法；正弦定理.

【分析】(I)由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得f(x)=2sin(3X+3)-1,由周期公式可得3,解

0

兀2兀7T

2kir一下「0工^+"7-<2kir+-7^可得；

若要功夫深，鐵杵磨成針!

19R

(II)由髭意和已知數(shù)據(jù)可得cosA親，進(jìn)而可得sinA*,再由Jja=2csinA和正弦定理

JLJJ.O

可得,整體代入cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC,計(jì)算可得.

【解答】解：(I)由三角函數(shù)公式化簡(jiǎn)可得

f(X)=2V3sin-^-cos-^--2sin^^-

=/3sinwX-1+COS3X

兀

=2sin(cox-t^-)-1,

??岡數(shù)f(x)的最小正周期為T(mén)=3ir,

2兀2兀2

?3―——'.

T3兀3

,2兀、

」.f(x)=2sin(—x+-^-)-1,

j(Q-jl3131

由2kir-這S2kir4^71可得3kir-ITWXW3kir+-^

二函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［3kir-IT,3k四+爭(zhēng),keZ;

(…嗚A+下)昔―(A+于丁)一臉,

c?,A兀'H11nAd11

.,.2sin(A+-^-)-「?2COSA-1=q^,

c?xOJLJ

2

解得cosA，1",sinA=^/l-coSA^^>

J.JJ.J

再由J^a=2csinA和正弦定理可得J5sinA=2sinCsinA,

為掉sinAnJ得sinC當(dāng)，；.C今或C與一，

又「avbec,.?.C為最大角，矛盾，

6C-：1,cosC=

cosB=-cos(A+C)=sinAsinC-cosAcosC

二X通一絲X(i)=5舍+12

132132,26

18.在四校錐P-ABCD中，PAJ.平面ABCD,AABC是正三角形，AC與BD的交點(diǎn)M恰好

是AC中點(diǎn)，又PA=AB=4,ZCDA=12O°,點(diǎn)N在線段PB上，且PN=/2，

(I)求證：BD1PC；

(II)求證：MN〃平面PDC.

若要功夫深，鐵杵磨成針!

【考點(diǎn)】空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；直線與平面平行的判定.

【分析】(I)由正三角渺的性質(zhì)可得BD_LAC,利用線面垂直的性質(zhì)可知PA1BD,再利用

線而垂直的判定定理即可證明BD1PC；

(II)利用已知條件分別求出BM、MD、PB,得到瞿我，即可得到MN〃PD,再利用線

MDNP

面平行的判定定理即可證明

【解答】證明：(I)???4ABC是正三角形，M是AC中點(diǎn)，

.-.BM1AC,EPBD1AC.

又「PAJ.平iSABCD,.?.PALBD.

又PAHAC=A,.?.BDJ.平面PAC.

.-.BD1PC.

(II)在正AABC中，BM=2對(duì).

在AACD中，

?.?M為AC中點(diǎn)，DM1AC,.\AD=CD.

rADC=120°,

J

叫3

"ND"1'

在等腰直角4PAB中,PA=AB=4,PB=4V2.

BN3

,,NP-1)

BMBN

一而隨，

.-.MN#PD.

又MN平面PDC,PD平面PDC,

.,.MN〃平面PDC.

19.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)帆的首項(xiàng)弋2,SJ其前n項(xiàng)和，若5S「S『3s’成等

差數(shù)列.

(1)求數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式；

n

2

(2)設(shè)b=loga,c=T-7，記數(shù)列｛c｝的前n項(xiàng)和為T(mén).若對(duì)于任意的neN,,Tw入(n+4)

n2nn。n+]nnn

恒成立，求實(shí)數(shù)人的取值范圍.

【考點(diǎn)】數(shù)列與不等式的綜合；數(shù)列的求和;等比數(shù)列的性與

若要功夫深，鐵杵磨成針!

【分析】(1)由5S,S,3s成等差數(shù)列，利用性質(zhì)建立方程，再用首項(xiàng)與公比將此方程轉(zhuǎn)

132

化為關(guān)于公比的等式，解出公比的值得出通項(xiàng)；

(2)依次求出b、c,根據(jù)所得出的形式，裂項(xiàng)求和即可.

nn

【解答】解：(1)設(shè)｛a｝的公比為q.

n

?.-5S,S,3S成等差數(shù)列，.[2S=5S+3s.

132312

即2(a[+叼0+勺q2)=5%+3(&]+a[q),化簡(jiǎn)得2q2-q-6=0,

Q

解得:q=2或q=一不由已知,q=2./.an=2.…

(2)由b=loga得上二1。€22"二11.

n2nnwZ

,c=22

"nbnbn+1n(n+1)nn+1'

.?.T=2(l--%…J-±)=2(1-*).…

n3nn+1n+1

T<某(n+4)O入況、二~-

n(n+1)(n4-4),4…

n+~+5

n

口?&5=9,當(dāng)且僅當(dāng)n△即n=2時(shí)等號(hào)成立,

,/nr^rbs

Vnn

2

???4

n—+5<1

n

???實(shí)數(shù)人的取值范圍是島+8).…

20.Bfflliac：~+弓=1(a>b>0)過(guò)點(diǎn)(1,?!),且離心率e*.

a2b222

(I)求橢圓方程；

(H)設(shè)點(diǎn)A是橢圓C的左頂點(diǎn)，P,Q為橢圓C上異于點(diǎn)A的兩研點(diǎn)，若直我AP,AQ的

斜率之積為一；,同直線PQ是否恒過(guò)定點(diǎn)？若恒過(guò)定點(diǎn)，求出孩點(diǎn)坐標(biāo)；若不恒過(guò)定點(diǎn)，

說(shuō)明理由.

【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì).

【分析】(I)運(yùn)用橢圓的離心率公式和點(diǎn)滿足桶圓方程，以及a,b,c的關(guān)系，解方程即

可得到橢圓方程;

(II)在(I)的條件下，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,代入橢圓

方程，運(yùn)用韋達(dá)定理和直線的斜率公式，化簡(jiǎn)整理，再由直線恒過(guò)定點(diǎn)的求法，即可得到所

求定點(diǎn).

若要功夫深，鐵杵磨成針!

【解答】解：（I）由題意橢圓的離心率

Q.Z

又b2=a2-C2,

又點(diǎn)（1,-1）在橢圓上，

-19

可得"￥+市=1，

a4b

解得a=2,b=\/3,c=1

22

即有橢圓的方程為與區(qū)=1

43

（H）在（I）的條件下，當(dāng)直線PQ的斜率存在時(shí)，設(shè)直線PQ的方程為y=kx+m,

（22

x,y_1

由,43,消去y得：（3+4k2）X2+8kmx+4m2-12=0,

y=kx+m

2

i§P(x,y),Q(x,y),W+=-2^-,乂以二"一產(chǎn)

11X1K?2122

22123+4k3+4k

yiy2i

又A（-2,。），由髭知臉"城彳1?司會(huì)飛

則（中2）（十2）+4坐=0,且\一人2,

Ix?x+2(x+x)+4+4(kx+m)(kx+m)

121212

=(1+4)x],x2+(2+4km)(X[+x2)+4IT|2+4

22

(l+4k)(4m-12),、-8kmo

+(2+4km)--------5-+4m^+4=0.

3+4k23+4k2

則m2-km