第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動內(nèi)容剛體的定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動定律角動量守恒定律非慣性系(慣性力、慣性離心力

)(角動量定理、角動量守恒定律)(力矩、力矩的功、轉(zhuǎn)動定律、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理)(角量、運動方程

)第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動內(nèi)容剛體的定軸轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動慣量1

要求3.了解慣性力、慣性離心力。

1.理解力矩、轉(zhuǎn)動慣量、轉(zhuǎn)動動能、角動量；2.掌握轉(zhuǎn)動定律、角動量守恒定律；講課學(xué)時4學(xué)時作業(yè)

:習(xí)題

3－2，3－8，3－9。要求3.了解慣性力、慣性離心力。1.理解力矩、轉(zhuǎn)2剛體(rigidbody)：一

剛體的運動平動剛體運動時，其上任意兩點的連線，在運動過程中始終保持其方向不變。在任何情況下，其形狀和大小都不發(fā)生任何變化的物體

剛體是一種理想模型

平動(translation)

剛體的平動遵從質(zhì)點運動的規(guī)律剛體的運動轉(zhuǎn)動｛

§3-1剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體(rigidbody)：一剛體的運動3剛體運動時，剛體上所有的點都繞同一條直線作圓周運動，這種運動就稱為轉(zhuǎn)動。這條直線稱為轉(zhuǎn)軸。定軸轉(zhuǎn)動二描述剛體運動的物理量

1.角位移(angulardisplacement)剛體上的各點在相同的時間內(nèi)所轉(zhuǎn)過的角度是相同的轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)軸是固定不動的，就稱為定軸轉(zhuǎn)動。(rotation)(fixed-axisrotation)

特征剛體運動時，剛體上所有的點都繞同一條定軸轉(zhuǎn)動二描述剛4

θ:

角位置

△t

時間內(nèi)轉(zhuǎn)過角度

△θ，2.角速度(angularvelocity)平均角速度角位移瞬時角速度θ:角位置△t時間內(nèi)轉(zhuǎn)過2.角速度(a5角速度的方向用右手確定質(zhì)元的線速度角速度的方向用右手確定質(zhì)元的線速度63.角加速度(angularacceleration)方向：與角速度增量的方向相同角位移“rad”角速度“rad·s－1”角加速度“rad·s－2”單位:3.角加速度(angularacceleratio7

4.剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動方程勻角速運動的運動方程勻變角速運動的運動方程

4.剛體定軸轉(zhuǎn)動的運動方程勻角速運動的運動方程勻變角8切向加速度(tangentialacceleration)切向加速度(tangentialacceleratio9

法向加速度(normalacceleration)法向加速度(normalacceleration)10一剛體的轉(zhuǎn)動動能Ek=

+······(rotationalkineticenergy)

§3-2轉(zhuǎn)動動能轉(zhuǎn)動慣量一剛體的轉(zhuǎn)動動能Ek=+······(rotat11令=J

+······質(zhì)點的動能轉(zhuǎn)動動能ω

對應(yīng)

v

J對應(yīng)

m令=J+······質(zhì)點的動能轉(zhuǎn)動動能ω對應(yīng)v12二轉(zhuǎn)動慣量(momentofinertia)

J

與m

對應(yīng)剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的量度

dm=ρdV

dm=σdSdm=λdl質(zhì)量質(zhì)點慣性大小的量度轉(zhuǎn)動慣量體分布面分布線分布

單位:kg·m2二轉(zhuǎn)動慣量(momentofinert13說明：1.J與剛體的質(zhì)量有關(guān)；2.質(zhì)量一定，與質(zhì)量的分布有關(guān)；3.與軸的位置有關(guān)。因此叫作繞軸的轉(zhuǎn)動慣量。轉(zhuǎn)動慣量的計算例1質(zhì)量為m，半徑為

r的均勻細(xì)圓環(huán)，解：根據(jù)轉(zhuǎn)動慣量的定義求解。對通過其中心并垂直環(huán)面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。說明：1.J與剛體的質(zhì)量有關(guān)；2.質(zhì)量一定，與質(zhì)14dJ=R2dmJ

=

=mR2J

=

=R2·λ·2πR=

mR22πR·λ=mdJ=R2dmJ==mR2J==R2·15

例2質(zhì)量為m，長為L的均勻細(xì)棒對通過其中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量。解：dJ=

x2λdxJ=∫dJ

例2質(zhì)量為m，長為L的均勻細(xì)16討論：如果轉(zhuǎn)軸通過細(xì)棒的一端且與棒垂直，則轉(zhuǎn)動慣量為J=

∫x2dm轉(zhuǎn)動慣量是對轉(zhuǎn)軸而言的討論：如果轉(zhuǎn)軸通過細(xì)棒的一端且與棒垂直，J=∫x2dm17

平行軸定理

轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離平行軸定理轉(zhuǎn)軸到質(zhì)心的距離18一力矩M=F·d

=Frsinφ

M=單位：(momentofforce,torque)r×

F

“N·m”

§3-3轉(zhuǎn)動定律一力矩M=F·d=Frsinφ19說明：

力矩的方向:右手螺旋法則確定說明：力矩的方向:右手螺旋法20定軸轉(zhuǎn)動，力矩的方向與轉(zhuǎn)軸平行，力矩只有兩種可能的取向。求和時用代數(shù)和。定軸轉(zhuǎn)動，21

例3一半徑為R

，質(zhì)量為m

的勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間的摩擦系數(shù)為μ，令圓盤最初以角速度ω0

繞通過中心且垂直盤面的軸轉(zhuǎn)動，問它

解：圓盤受摩擦力矩的作用而停止轉(zhuǎn)動，可根椐轉(zhuǎn)動定律去求。

摩擦力不是集中作用于一點，而是分布在整個圓盤與桌子的接觸面上，因此摩擦阻力矩的計算要用積分法。

將經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？例3一半徑為R，質(zhì)量為m的22把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)元的質(zhì)量dMf

=rμdmgdm=ρrdθdre

所受阻力矩=μρer2

dθdrg圓盤所受阻力矩為Mf=∫dMf把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)元的質(zhì)量dMf=rμdm23m=ρeπR2阻力矩使圓盤減速，圓盤獲得負(fù)的加速度設(shè)圓盤經(jīng)過時間t

停止轉(zhuǎn)動m=ρeπR2阻力矩使圓盤減速，圓盤獲得負(fù)的加速度設(shè)圓24t=求時間可用剛體的運動學(xué)公式ω=ω0+αt

ω=

0，求出α，就可求出時間tα可由轉(zhuǎn)動定律求得t=求時間可用剛體的運動學(xué)公式ω=ω0+αtω=0，求25

26如果要求轉(zhuǎn)過的圈數(shù)

△θ由式

ω2=ω02+2α(θ－θ0)求討論：如果要求轉(zhuǎn)過的圈數(shù)△θ由式ω2=ω02+27[物理]第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動課件282.力矩的功(workdonebyatorque)

元功：dA=Fdscosα=Frcosαdθ

dθ很小，ds

⊥r

F

與r間夾角φα+φ=π／2cosα=sinφ2.力矩的功(workdonebya29dA=Frcosαdθ=Frsinφdθ=Mdθ在M作用下，從t1

、θ1

→t2、θ2

A=恒力矩A=M(θ2－θ1)=M△θdA=F·drdA=Frcosαdθ=Frsinφdθ=303.轉(zhuǎn)動定律(lawofrotation)實驗指出：α∝M

，α∝1／JM=JαM對應(yīng)

F

J對應(yīng)

m

α對應(yīng)

a

說明：

M、J、α均對同一轉(zhuǎn)軸而言轉(zhuǎn)動定律F

=ma3.轉(zhuǎn)動定律(lawofrotation31

4.定軸轉(zhuǎn)動的動能定理dA=MdθdA

==

Jωdω

M

作用下，從

t1、ω1→

t2

、ω2

4.定軸轉(zhuǎn)動的動能定理dA=32

(

theoremofkineticenergy)質(zhì)點的動能定理剛體的動能定理(theoremof質(zhì)點的動能定理剛體的33例4一根質(zhì)量為m、長為L的均勻細(xì)

棒OA(如圖)，可繞通過其一端的光滑軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動，今使棒從水平位置開始自由下擺，求細(xì)棒擺到豎直位置時的角速度。例4一根質(zhì)量為m、長為L的均勻細(xì)34

解：棒受到重力的作用，作用在棒的中心點，方向豎直向下；軸與棒之間沒有摩擦力，軸對棒作用的支承力垂直棒和軸的接觸面且通過O

點，在棒的下擺過程中，此力的方向和大小是隨時改變的。在棒解：棒受到中，此力的方向和大小是隨時改變的35下擺過程中，支承力通過

O點，其力矩等于零棒轉(zhuǎn)過角位移

dθ，重力矩作的元功重力力矩是變力矩，大小為下擺過程中，棒轉(zhuǎn)過角位移dθ，重力矩作的元功重力力矩是變36

dA=重力矩所作的總功dA=重力矩所作的總功37

∴

∴38重力矩作的功就是重力作的功，也可以用重力勢能的差值來表示重力矩作的功39另解：可以用定義式去求α=dω／dt

M=Jα另解：可以用定義式去求α=dω／dtM=Jα40ωdω=∴ωdω=∴41問題：1.舞蹈演員和花樣滑冰運動員的旋轉(zhuǎn)

§3-4角動量守恒定律問題：1.舞蹈演員和花樣滑冰運動員的旋轉(zhuǎn)§3-442

2.跳水運動員空中轉(zhuǎn)體問題表明：1.

角動量定理M=JαM=

Mdt

=d(Jω)

無力矩作用，轉(zhuǎn)動狀態(tài)為什么會改變(theoremofangularmomentum)F

dt=d(mv)質(zhì)點動量定理2.跳水運動員空中轉(zhuǎn)體問題表明：1.角動量定理43Mdt力矩對轉(zhuǎn)軸的沖量矩Jω剛體的角動量或動量矩(momentofmomentum)

Mdt=

d(Jω)

在

M

的作用下，剛體從

t1

,ω1→

t2

,ω2，M在

t2－

t1

時間內(nèi)的沖量矩為=

Jω2－

Jω1沖量矩

“N·m·s”角動量

“kg·m2·s-1”單位:角動量定理的積分形式角動量定理Mdt力矩對轉(zhuǎn)軸的沖量矩Jω剛體的角動量或動量矩(mom44角動量與動量矩Jω=mr2ωv

⊥r

矢量式r×

mv

動量矩

Jω=r×

mv

=mvr(力矩

M=r×F)L=r×

p

角動量與動量矩Jω=mr2ωv⊥r矢量式r×m45[物理]第三章剛體的定軸轉(zhuǎn)動課件462.

角動量（動量矩）守恒定律如果

M=

0，Jω2－Jω1=0Jω2=Jω1結(jié)論:當(dāng)剛體不受力矩M作用時，剛體的角動量保持不變。(lawofconservationofangular

momentum)角動量守恒定律2.角動量（動量矩）守恒定律如果M=0，471.轉(zhuǎn)動慣量和角速度均保持不變；2.轉(zhuǎn)動慣量改變，角速度也同時改變，J↓，角動量守恒定律

是

自然界中的一條基本定律，不但

在宏觀世界中成立，而且

在微觀領(lǐng)域中也是成立的ω↑；J↑，ω↓但兩者的乘積保持不變。

說明：角動量保持不變的情況有兩種可能：1.轉(zhuǎn)動慣量和角速度均保持不變；2.轉(zhuǎn)動慣量改變，角48

例5如圖所示，一質(zhì)量為

m

的小球系在輕繩的一端，繩穿過一豎直的管子；一手

握管，另一手執(zhí)繩，先使小球以速度

v0

在水平面內(nèi)沿半徑為

r0

的圓周運動，然后向下拉繩，使小球的半徑減小到

r

，求此時小球的速度。例5如圖所示，一質(zhì)量為m的小球系49

解：作用于小球上的力沿著半徑方向指向圓心，對小球的力矩為零，小球在運動過程中角動量(或者動量矩)守恒。據(jù)角動量守恒定律有mvr=mv0r0∴解：作用于據(jù)角動量守恒定律有mvr=50向下拉繩的過程中，小球速度不斷地增大如果要求角速度mr2ω=mr02ω0角速度迅速增大討論：向下拉繩的過程中，小球速度不斷地增大如果要求角速度mr251

例6一質(zhì)量均勻的球形天體，半徑為

R1

，自轉(zhuǎn)周期為T1

，若干年后，由于引力凝聚，半徑收縮到R2，自轉(zhuǎn)周期為T2。求它們自轉(zhuǎn)周期之比。

解：天體自轉(zhuǎn)有其自轉(zhuǎn)的角速度ω，自轉(zhuǎn)一周所掃過的角度為2π，轉(zhuǎn)過一圈所用的時間為2π／

ω，即周期。于是自轉(zhuǎn)周期之比為例6一質(zhì)量均勻的球形天體，半徑為52求ω2／ω1

天體自轉(zhuǎn)，所受外力矩為零，角動量守恒J1ω1

=J2ω2球體通過直徑的軸的轉(zhuǎn)動慣量為R12ω1=R22ω2求ω2／ω1天體自轉(zhuǎn)，所受外力矩為零，角動量守恒J1ω153

周期比周期比54

測得一車輪半徑為

R，將其懸掛起來，使之能繞自己的軸轉(zhuǎn)動。用一根繩在上面纏繞若干圈后，另一端系一質(zhì)量為

m

的物體，現(xiàn)測得

m

從禁止開始下落距離

h所需時間為

t，試計算車輪的轉(zhuǎn)動慣量。物體受重力

mg車輪受繩子的拉力

T′

對于車輪T′R受繩子的拉力

T=JαmgT

T′

測得一車輪半徑為R，將其懸掛起來，使之物體55對于物體mg－

TT=T′a=at=h=at2／2

J=mR2也可以從能量的角度來考慮=maRα對于物體mg－TT=T′a=at=h=56mgh=v

=at

v=ωRmgh=v=atv=ωR57

例：恒星晚期在一定條件下，會發(fā)生超新星爆發(fā)，這時星體中有大量物質(zhì)噴入星際空間，同時星的內(nèi)核卻向內(nèi)坍縮，成為體積很小的中子星。中子星是一種異常致密的星體，一湯匙中子星物質(zhì)就有幾億噸質(zhì)量！設(shè)某恒星繞自轉(zhuǎn)軸每45天轉(zhuǎn)一周，它的內(nèi)核半徑R0約為2×107m，坍縮成半徑R

僅為6×103m的中子星。試求中子星的角速度。坍縮前后的星體內(nèi)核均看作是勻質(zhì)圓球。解：在星際空間中，恒星不會受到顯著的外力矩，因此恒星的角動量應(yīng)該守恒，即例：恒星晚期在一定條件下，會發(fā)生超58

J0ω0=Jω=6πrad·s-1J0ω0=Jω=6πrad·59由于中子星的致密性和極快的自轉(zhuǎn)角速度，在星體周圍形成極強的磁場，并沿著磁軸的方向發(fā)出很強的無線電波、光或

X

射線。當(dāng)這個輻射束掃過地球時，就能檢測到脈沖信號，因此中子星又叫脈沖星。已探測到的脈沖星超過

300

個

例：我國第一顆人造衛(wèi)星繞地球沿橢圓軌道運動，地球的中心O為該橢圓的一個焦點。已知地球的平均半徑R=6378km，人造衛(wèi)星距地面最近距離l1=439km，最遠距離l2=2384km。若人造衛(wèi)星在近地點

由于中子星的致密性和極快的自轉(zhuǎn)角速60

A1的速度v1=8.10

km／s，求人造衛(wèi)星在遠地點A2

的速度。

解：如認(rèn)為人造衛(wèi)星在運動時僅受到地球?qū)λ囊Γ捎谶@引力始終指向地球中心O，因而對O點來說沒有外力矩作用在衛(wèi)星上，所以人造衛(wèi)星在運動過程中對O點的角動量守恒。人造衛(wèi)星在近地點的角動量(動量矩)mv1(R+l1)人造衛(wèi)星在遠地點的角動量(動量矩)mv2(R+l2)A1的速度v1=8.10km／61

角動量守恒mv1(R+l1)=mv2(R+l2)角動量守恒mv1(R+l1)=mv2(62一慣性系1.

慣性系

牛頓運動定律成立的參考系稱為慣性系，也稱為

靜止參考系。實驗表明，任何相對于慣性系作勻速直線運動的參考系，也稱為慣性系。在處理力學(xué)問題時，如果要求精度不高時，常常把地球看作是慣性系，這是近似的(由于地球自轉(zhuǎn)，自轉(zhuǎn)角速度為

7.3×10-5

rad·s-1

)。太陽是

慣性系。

和非慣性系(inertialsystem)

§3-5非慣性系一慣性系1.慣性系牛頓運動定律成63(2)非慣性系(noninertialsystem)牛頓運動定律不是在任何參考系中都成立例如，當(dāng)車緊急剎車時，車廂里的人看到其他人向前傾倒，好象有人在拉他或者在推他，車廂里的人以車為參考，用牛頓定律不能解釋，沒有施力物體。牛頓定律不成立的參考系稱為

非慣性系(2)非慣性系(noninertialsyste642.慣性力(inertialforce)車廂以加速度

a

向右運動,地面上的人看到車廂里的物體隨車一起運動，符合牛頓運動定律2.慣性力(inertialforce)車廂65

車廂里的人看到車廂里的物體以

－a運動，物體以

－a運動，它應(yīng)該受到力的作用，但沒有有施力物體，這個力稱為

慣性力。大小為F慣=ma

F慣=－ma車廂里的人看到車廂里的物體以－a運動，物F慣=ma663.慣性離心力(inertialcentrifugalforce)

F當(dāng)車轉(zhuǎn)彎時，車廂里的人感到好象有一個力在推（或者拉）向外側(cè)，這個力找不到施力物體，把這個力稱為

慣性離心力=ma+F慣3.慣性離心力(inertialcentrifug67觀察轉(zhuǎn)動的圓盤上的物體地面上的觀察者

物體受繩的拉力作圓周運動，拉力為向心力，符合牛頓定律隨盤轉(zhuǎn)動的觀察者物體受繩的拉力而處于禁止，那物體還應(yīng)受一等大反向的力的作用，這力稱為慣性離心力觀察轉(zhuǎn)動的圓盤上的物體地面上的物體受繩的拉力作圓周運動，隨盤68向心力慣性離心力的大小與向心力的大小相等慣性離心力的方向：注意：慣性離心力與離心力的區(qū)別，離心力是向心力的反作用力，有施力物體，而慣性離心力沒有施力物體！慣性離心力的應(yīng)用：高速離心機=mrω2沿著半徑方向向外，即背離轉(zhuǎn)軸向外向心力慣性離心力的大小與向心力的大小相等慣性離心力的方向：注69物體的重量物體施于承托物的力就是物體的重量。位于地面緯度為φ處的物體的重量。物體受力:萬有引力F地面對物體的支撐力F支

物體受到的慣性離心力F慣離大小為F慣離=mrω2=mω2Rcosφ物體在地面上靜止，這三力的合力應(yīng)為零物體的重量物體施于承托物的力就是物體的重量。位于地面緯度為φ70F+F支+F慣離=0P=－F支

=P2

=F2+F慣離2－2FF慣離cosφ=F2ω很小，略去ω4

項P2

=F2－2Fmω2R

cos2φ=F2（1－2mω2R

cos2φ／F）P

=

F（1－2mω2R

cos2φ／F）1／2－2Fmω2R

cos2φ+m2ω4R2cos2φF+F慣離F+F支+F慣離=0P=－F支=P271≈

F(1－mω2R

cos2φ／F)=F

－

mω2R

cos2φ

(a+b)n

=a