總分：100分 時(shí)間：120分鐘診斷設(shè)計(jì)者：（[美]C.D.Olds

3，10=3.333L，33=3.3，109=3.30303L x3

133.302775L7

1

它約等于3.303（1.3，是否能 3

33 13 題，特別是關(guān)于數(shù)的性質(zhì)的問(wèn)題很有啟發(fā)．這種分?jǐn)?shù)被稱為“連分?jǐn)?shù)

x3

x23x10 xx31xx仍出現(xiàn)在這個(gè)方程式的右邊，因此可用與它相等的量，即31x

3O （1.42像（1.2）和（1.4）b

13

反復(fù)幾次用31x

x3 3 3x

a2

a3

a4O aaa,K，b,b,b,Kx3

1

但是，在下面的討論中 限于討論簡(jiǎn)單連分?jǐn)?shù)，它們?nèi)∪缦碌男?x

a4a4

1

因?yàn)閤連續(xù)在右端這個(gè)“多層”分?jǐn)?shù)中出現(xiàn)，它似乎沒(méi)有更接近出方程式（1.1）的解

a3 O1這里第一項(xiàng)a通常是正的或負(fù)的整數(shù)，項(xiàng)aaa,L13，31，33

1，3

1 13

33

a,a,L,

a ．

a

a2

a3

a a n

a3a4ap3q3p4q4,確定的，與 、……、a無(wú)關(guān)，并且這樣算得的p與q一定是互質(zhì)的．直觀上，計(jì)算p的連分?jǐn)?shù)表示

連分?jǐn)?shù)在解決許多有趣問(wèn)題中是一個(gè)得力工具，但是在給出它們各種有效的應(yīng)用之前，須詳

p與q直接計(jì)算p與q的通 比 qpq

而研究漸進(jìn)分?jǐn)?shù)列cp與q（i1234）i ii345,Lnpa,a,L,

pi

a,a,L,a，qq

ca1，

qa

1，ca

有

ia2 aa22 23一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)、……漸近分?jǐn)?shù)，第n個(gè)漸近分?jǐn)?shù)cna1,a2,L,ana p

1連分?jǐn)?shù)a1a2,Lan的第i個(gè)漸近分?jǐn)?shù)cipi與分母qi滿足下述．1fxfxa1a2,LakxxQx0c1

1 1

成b,b,L,b

fxa,a,L,a,b,b,L,b． 1 c

1a1a21

p2

xaa,Lax

p2a1a21q2a2

a1,a2,L,ak,ak1 1．

連分?jǐn)?shù)aa,La（a0）的第i個(gè)漸近分?jǐn)?shù)cp與分母q

xa1xa1 1a1 L，

pia,

,L,a

a2x3x

a2

ax34x3與

xa1,a2,a3,a4,Lqia,

,L,a

2211，

這些例子中每一個(gè)在橫線下面的數(shù)，形成了連分?jǐn)?shù)的循環(huán)節(jié)，數(shù)31p p

1i，其中iN且i2

i

i1

這些例子首先由日在1770年證明的一個(gè)定理說(shuō)明．這個(gè)定理的大意是3任何一個(gè)二次無(wú)理數(shù)1的連分?jǐn)?shù)展式子都在某一點(diǎn)后是循環(huán)的．x

xa1,a2,a3,a4,Lqxq

，0

的漸近分?jǐn)?shù)

pnp與分母qnn1

np

1n，n2 x x

n

n11繼續(xù)計(jì)算a2x2x2

將（3.1）式兩邊除以qnqn1 nn1 ，n2 xxxa1，011，axx

1x3xa1

因?yàn)閏n

pn

14c

1 ，n2

如果xpq0pq1 5cncn2

，n3．

pqx 1pq這兩個(gè)定理給出了我們關(guān)于漸近分?jǐn)?shù)cn的整體變化趨勢(shì)的重要信息．我們可以得到有關(guān)cn．6設(shè)cnx

問(wèn)題1將67寫(xiě)成a,a,L, （5 2

（5．x與其漸近分?jǐn)?shù)cn之間的大小關(guān)系：x．有關(guān)極限的理論這里就不詳述了，我們只討論這些理論的初等部分．我們還可以用 式來(lái)說(shuō)明這一結(jié)論，為此，我們引入下面兩個(gè)定理

（這個(gè)定理是定理，請(qǐng)仔細(xì)驗(yàn)證其正確性（5分）*41（6）（86p1p2pn是12,3,Ln的漸近分?jǐn)?shù)（n6 8每一個(gè)漸近分?jǐn)?shù)都比前一個(gè)漸近分?jǐn)?shù)更接近無(wú)窮連分?jǐn)?shù)的值．

pnn1pn1n1pn2n2pn33nq2（83nq

（82

xaa,Lax，其中n2

x

pnxpn1

a,a,L,a

qnx

n

（8

5（7（8（62（6（6

1

提示：證明x