山西省忻州市國(guó)利美術(shù)高級(jí)中學(xué)2022-2023學(xué)年高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知向量，若A，B，C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k滿足的條件是（）A．k=﹣16 B．k=16 C．k=﹣11 D．k=1參考答案：D【考點(diǎn)】96：平行向量與共線向量．【專題】34：方程思想；41：向量法；5A：平面向量及應(yīng)用．【分析】根據(jù)題意，由向量的坐標(biāo)可得向量=（﹣1，1），=（k+2，k﹣4）的坐標(biāo)，分析可得若A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，即A、B、C三點(diǎn)共線，則有∥，由向量平行的坐標(biāo)表示公式可得2k=2，解可得k的值，即可得答案【解答】解：根據(jù)題意，向量，則=（﹣1，1），=（k+2，k﹣4），若A、B、C三點(diǎn)不能構(gòu)成三角形，即A、B、C三點(diǎn)共線，則有∥，即有2+k=4﹣k，解可得k=1，故選：D2.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間（0．+）上單調(diào)遞增的函數(shù)是

（

）

A．y=

B．y=x3

C．y=2|x|

D．y=cosx參考答案：A略3.投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子兩次，若第一次面向上的點(diǎn)數(shù)小于第二次面向上的點(diǎn)數(shù)我們稱其為正實(shí)驗(yàn)，若第二次面向上的點(diǎn)數(shù)小于第一次面向上的點(diǎn)數(shù)我們稱其為負(fù)實(shí)驗(yàn)，若兩次面向上的點(diǎn)數(shù)相等我們稱其為無(wú)效。那么一個(gè)人投擲該骰子兩次后出現(xiàn)無(wú)效的概率是A.

B.

C.

D.

參考答案：C略4.設(shè)是等差數(shù)列，，則這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)和等于

A．12

B．13

C．15

D．18參考答案：C5.設(shè)函數(shù)是定義在上的以為周期的偶函數(shù)，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是A．

B.

C.

D.參考答案：B6.復(fù)數(shù)（i是虛數(shù)單位）的共軛復(fù)數(shù)的虛部為（

） A、 B、0 C、1 D、2參考答案：A7.設(shè)為表示不超過(guò)的最大整數(shù),則函數(shù)的定義域?yàn)?

)A．

B．

C．

D．參考答案：B略8.在正三角形ABC中，，則以B、C為焦點(diǎn)，且過(guò)D、E的雙曲線的離心率為

（

）

A．

B．

C．

D．+1參考答案：答案:D9.在等比數(shù)列中，已知，則等于（

）.（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：B略10.已知為虛數(shù)單位，且，則的值為（

） A．4

B．

C．

D．參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若x，y滿足約束條件，則的最大值為

．參考答案：312.若函數(shù)()滿足且時(shí)，,函數(shù),則函數(shù)在區(qū)間內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)有___個(gè).參考答案：12略13.已知向量的夾角為，且，則

參考答案：

14.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知A=，b=，△ABC的面積為，則c=，B=．參考答案：1+,.【考點(diǎn)】正弦定理．【分析】由已知利用三角形面積公式可求c，利用余弦定理可求a，進(jìn)而可求cosB的值，結(jié)合B的范圍即可求得B的值．【解答】解：∵A=，b=，△ABC的面積為=bcsinA=×c×，∴解得：c=1+，∴由余弦定理可得：a==2，可得：cosB==，∵B∈（0，π），∴B=．故答案為：1+，．15.設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x+3y的最大值為

．參考答案：9【考點(diǎn)】簡(jiǎn)單線性規(guī)劃．【分析】先由約束條件畫出可行域，再求出可行域各個(gè)角點(diǎn)的坐標(biāo)，將坐標(biāo)逐一代入目標(biāo)函數(shù)，驗(yàn)證即得答案．【解答】解：如圖即為滿足約束條件的可行域，由圖易得：由，解得B（3，2），同理可得A（0，1），C（1，0），當(dāng)x=3，y=2時(shí)z=x+3y的最大值為9，故答案為：9．16.函數(shù)的反函數(shù)

。參考答案：答案：17.已知一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程組的增廣矩陣為，則x﹣y=

．參考答案：2考點(diǎn)：二階矩陣．專題：矩陣和變換．分析：由增廣矩陣寫出原二元線性方程組，再根據(jù)方程求解x，y即可．解答： 解：由二元線性方程組的增廣矩陣可得到二元線性方程組的表達(dá)式

，解得x=4，y=2，故答案為：2．點(diǎn)評(píng)：本題考查增廣矩陣，解答的關(guān)鍵是二元線性方程組的增廣矩陣的涵義，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是：重量不超過(guò)1kg的包裹收費(fèi)10元；重量超過(guò)1kg的包裹，除1kg收費(fèi)10元之外，超過(guò)1kg的部分，每超出1kg（不足1kg，按1kg計(jì)算）需再收5元.該公司將最近承攬的100件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下：包裹重量（單位：kg）12345包裹件數(shù)43301584公司對(duì)近60天，每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表：包裹件數(shù)范圍0～100101～200201～300301～400401～500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450天數(shù)6630126以上數(shù)據(jù)已做近似處理，并將頻率視為概率.（1）計(jì)算該公司未來(lái)3天內(nèi)恰有2天攬件數(shù)在101～400之間的概率；（2）①估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值；②公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn)，剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員3人，每人每天攬件不超過(guò)150件，工資100元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減1人，試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望，并判斷裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利？參考答案：（1）樣本中包裹件數(shù)在之間的天數(shù)為48，頻率，故可估計(jì)概率為，顯然未來(lái)3天中，包裹件數(shù)在101～400之間的天數(shù)服從二項(xiàng)分布，即，故所求概率為；（2）①樣本中快遞費(fèi)用及包裹件數(shù)如下表：包裹重量（單位：）12345快遞費(fèi)（單位：元）1015202530包裹件數(shù)43301584故樣本中每件快遞收取的費(fèi)用的平均值為（元），故該公司對(duì)每件快遞收取的費(fèi)用的平均值可估計(jì)為15元.②根據(jù)題意及（2）①，攬件數(shù)每增加1，可使前臺(tái)工資和公司利潤(rùn)增加（元），將題目中的天數(shù)轉(zhuǎn)化為頻率，得包裹件數(shù)范圍0～100101～200201～300301～400401～500包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450天數(shù)6630126頻率0.10.10.50.20.1若不裁員，則每天可攬件的上限為450件，公司每日攬件數(shù)情況如下：包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實(shí)際攬件數(shù)50150250350450頻率0.10.10.50.20.1故公司平均每日利潤(rùn)的期望值為（元）；若裁員1人，則每天可攬件的上限為300件，公司每日攬件數(shù)情況如下：

包裹件數(shù)（近似處理）50150250350450實(shí)際攬件數(shù)50150250300300頻率0.10.10.50.20.1故公司平均每日利潤(rùn)的期望值為（元）因975＜1000，故公司將前臺(tái)工作人員裁員1人對(duì)提高公司利潤(rùn)不利.19.（12分）已知橢圓C：=1（a＞b＞0）的左，右焦點(diǎn)分別是F1，F(xiàn)2，點(diǎn)D在橢圓C上，DF1⊥F1F2，|F1F2|=4|DF|，△DFF的面積為．（1）求橢圓C的方程；（2）圓x2+y2=b2的切線l交橢圓C于A，B兩點(diǎn)，求|AB|的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；圓與圓錐曲線的綜合．【分析】（1）利用三角形的面積，結(jié)合直角三角形，求出a，推出b，然后求解橢圓方程．（2）設(shè)?的方程是x=my+n，?與橢圓C的交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．聯(lián)立直線與橢圓方程，利用韋達(dá)定理判別式，通過(guò)弦長(zhǎng)公式求解即可．【解答】解：依題意：，由Rt△，由?橢圓的方程是：…（2）直線?的斜率為O時(shí)不合題意，故可設(shè)?的方程是x=my+n，?與橢圓C的交點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）．由?與圓x2+y2=1相切由?（m2+4）y2+2mny+n2﹣4=0△=4m2n2=4（m2+4）（n2﹣4）=48＞0，…（9分）=當(dāng)且僅當(dāng)m2=2，n2=3時(shí)|AB|=2…（12分）【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查橢圓方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．20.（本小題滿分13分）已知向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)，|－|＝.(1)求cos(α－β)的值；(2)若－＜β＜0＜α＜，且sinβ＝－，求sinα的值.

參考答案：(Ⅰ)∵|－|＝，∴2－2·＋2＝，將向量＝(cosα,sinα)，＝(cosβ,sinβ)代入上式得12－2(cosαcosβ＋sinαsinβ)＋12＝，∴cos(α－β)＝－.(Ⅱ)∵－＜β＜0＜α＜，∴0＜α－β＜π，由cos(α－β)＝－，得sin(α－β)＝，又sinβ＝－，∴cosβ＝，∴sinα＝sin［(α－β)＋β］＝sin(α－β)cosβ＋cos(α－β)sinβ＝.略21.如圖，四邊形與均為菱形，,且．（1）求證：；（2）求證：；（3）求二面角的余弦值．參考答案：（1）證明：設(shè)AC與BD相交于點(diǎn)O，連結(jié)FO.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，所以，且O為AC中點(diǎn).又FA=FC，所以.

因?yàn)?，所?

（2）證明：因?yàn)樗倪呅闻c均為菱形，所以因?yàn)樗杂郑云矫嬗炙?

（3）解：因?yàn)樗倪呅蜝DEF為菱形，且，所以為等邊三角形．因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以由（Ⅰ）知

，故

.

法一：由兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AB=2．因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，，則BD=2，所以O(shè)B=1，.則

所以.

設(shè)平面BFC的法向量為則有

所以取，得.

易知平面的法向量為.

由二面角A-FC-B是銳角，得.

所以二面角A-FC-B的余弦值為法二：取的中點(diǎn)，連接，，∵四邊形ABCD與BDEF均為菱形，,且∴，設(shè)為∵為、中點(diǎn)，∴，∴∴，

∴是二面角的平面角

∵∴，，又∴∴二面角A-FC-B的余弦值為略22.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，圓C的方程為，且圓C與x軸交于M，N兩點(diǎn)，設(shè)直線l的方程為.（1）當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，求直線l的方程；（2）已知直線l與圓C相交于A，B兩點(diǎn).（i），求直線l的方程；（ii）直線AM與直線BN相交于點(diǎn)P，直線AM，直線BN，直線OP的斜率分別為，，，是否存在常數(shù)a，使得恒成立？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由.參考答案：（1）；（2）（i）直線的方程為；（ii）存在常數(shù)，使得恒成立.【分析】（1）利用圓心到直線的距離等于半徑構(gòu)造關(guān)于的方程，解方程求得結(jié)果；（2）（i）設(shè)，由可得，代入圓的方程可求解出點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到斜率，求得直線方程；（ii）將直線方程代入圓的方程可求得點(diǎn)坐標(biāo)；同理將直線方程代入圓的方程可求得點(diǎn)坐標(biāo)；利用可求得的關(guān)系，利用表