學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2-5對數(shù)與對數(shù)函數(shù)1。（2011·廣東高州市大井中學模擬）函數(shù)y＝eq\f（lnx＋1，\r（－x2－3x＋4））的定義域為（）A．（－4，－1) B．(－4，1）C．(－1，1) D．(－1,1]［答案]C[解析］要使函數(shù)有意義，須eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1〉0，，－x2－3x＋4>0，））∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x>－1,，－4〈x<1，）)∴－1〈x<1。2．函數(shù)y＝log2｜x|的圖象大致為()［答案]C[解析]由|x|＝1時,y＝0排除A、B；由x>0時，y＝log2x為增函數(shù)，排除D，選C.3．定義在R上的奇函數(shù)f（x)滿足：當x>0時,f(x）＝2012x＋log2012x,則方程f（x）＝0的實根的個數(shù)為（)A．1B．2C．3D．5[答案］C［解析]當x〉0時，f(x）＝0即2012x＝－log2012x，在同一坐標系下分別畫出函數(shù)f1（x)＝2012x，f2（x)＝－log2012x的圖象（圖略)，可知兩個圖象只有一個交點，即方程f(x)＝0只有一個實根，又因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，所以當x<0時，方程f(x）＝0也有一個實根，又因為f(0)＝0，所以方程f（x)＝0的實根的個數(shù)為3。4．(文）（2011·山東實驗中學模擬）已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(\f(1,3)x,x≥3，,fx＋1，x<3,)）則f(2＋log32)的值為()A．－eq\f(2，27) B.eq\f（1，54)C.eq\f(2,27) D．－54［答案］B[解析]∵0＜log32<1，∴2<2＋log32〈3，∴f(2＋log32）＝f（3＋log32）＝f(log354）＝(eq\f(1,3))log354＝eq\f（1,54）。(理）(2012·內(nèi)蒙古包頭模擬）設f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，對?x∈R，都有f（x＋4)＝f(x），且當x∈[－2,0］時,f（x)＝（eq\f（1,2))x－1，若在區(qū)間（－2,6］內(nèi)關于x的方程f（x)－loga(x＋2）＝0(a〉1）恰有3個不同的實數(shù)根，則實數(shù)a的取值范圍是()A．（1，2) B．（2，＋∞）C．（1,eq\r(3,4）) D．(eq\r（3,4)，2）[答案］D[解析］∵f(x＋4）＝f（x）,∴f（x）的周期為4,當x∈[0，2]時，－x∈［－2，0]，∴f(－x)＝2x－1，又f(x）為偶函數(shù),∴f（－x)＝f(x)，∴x∈[0,2]時，f(x）＝2x－1,依據(jù)其周期性和對稱性，畫出f（x)在（－2，6］上的圖象,當y＝loga(x＋2）的圖象與f（x）在(－2，6］上的圖象恰有3個交點時，應有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（a〉1，,loga6＋2〉3，,loga2＋2<3,)）∴eq\r（3,4）〈a〈2.5．(文)(2011·天津文，5）已知a＝log23.6，b＝log43.2，c＝log43。6，則()A．a(chǎn)〉b〉c B．a(chǎn)〉c〉bC．b〉a〉c D．c>a>b[答案］B［解析]∵a＝log23。6〉1,c＝log43.6<1。∴a>c.又∵c＝log43.6〉log43.2＝b。∴a>c〉b。（理）（2011·重慶文，6)設a＝logeq\s\do10（\f(1，3)）eq\f（1，2),b＝logeq\s\do10(\f（1，3)）eq\f（2,3),c＝log3eq\f（3，4），則a、b、c的大小關系是(）A．a(chǎn)<b<c B．c<b〈aC．b<a<c D．b<c<a[答案］B［解析]∵a＝logeq\s\do10（\f（1，3））eq\f（1,2）,b＝logeq\s\do10(\f(1，3））eq\f(2,3），∵y＝logeq\s\do10（\f（1,3）)x單調(diào)遞減而eq\f(1，2）〈eq\f(2,3)，∴a>b且a〉0，b>0，又c〈0.故c<b<a.6．函數(shù)y＝logeq\s\do10(\f（1,2)）(x2－5x＋6）的單調(diào)增區(qū)間為()A．（eq\f（5,2），＋∞) B．(3,＋∞）C．（－∞，eq\f(5,2)) D．(－∞，2)［答案］D［解析］由x2－5x＋6>0得x〉3或x〈2，由s＝x2－5x＋6＝（x－eq\f（5,2））2－eq\f(1，4）知s＝x2－5x＋6在區(qū)間(3,＋∞)上是增函數(shù)，在區(qū)間(－∞，2）上是減函數(shù)，因此函數(shù)y＝logeq\s\do10（\f(1,2))(x2－5x＋6）的單調(diào)增區(qū)間是（－∞，2)，選D。7．(2011·北京東城一模)設f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（2ax，x≤1,,logax2－1，x>1，)）且f（2eq\r(2））＝1，則f［f（2）]＝________.[答案]6［解析］∵f（2eq\r(2))＝loga［（2eq\r（2））2－1]＝loga7＝1，∴a＝7。又f(2）＝log73〈1，∴f(f（2))＝2×7log73＝2×3＝6。8．已知函數(shù)f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函數(shù)，且f(1－x）＝f（1＋x），當x∈［0,1]時,f(x)＝2x－1,則f(2011）＋f（2012)的值為________．[答案］－1[解析]∵f(1＋x）＝f（1－x)，∴f(x＋2）＝f(－x)＝－f（x)，∴f(x＋4)＝f(x)．即f（x)是周期為4的周期函數(shù)，∴f(2011)＋f（2012)＝f（3）＋f（0）＝f(－1）＋f（0）＝20－1－（21－1）＝－1.［點評]（1）一般地，若f（x)滿足f（a＋x）＝f(a－x)，則f(x)的圖象關于直線x＝a對稱，且可變形為f（x＋2a）＝f(－x）．如果同時知道f（x)為奇函數(shù)（或偶函數(shù))，則利用奇偶性可得出f（－x）＝±f(x），從而可知f（x（2）本題將指數(shù)函數(shù)求值與函數(shù)的周期性、奇偶性融為一體，這是高考命題的常見模式．9．（文)已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（log3x，x>0，，\f（1,3)x，x≤0，））那么不等式f(x）≥1的解集為________．[答案]｛x｜x≤0或x≥3}[解析]f（x)≥1化為eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x>0，，log3x≥1，））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x≤0，,\f（1,3）x≥1，））∴x≥3或x≤0。(理)（2011·浙江省寧波市“十校聯(lián)考”)設a>0，a≠1,函數(shù)f（x)＝ax2＋x＋1有最大值，則不等式loga(x－1）〉0的解集為________．[答案]{x｜1<x〈2｝［解析]∵t＝x2＋x＋1＝(x＋eq\f(1,2）)2＋eq\f(3,4）≥eq\f（3,4)，f(x）＝ax2＋x＋1有最大值，∴0<a〈1，∴不等式loga（x－1）〉0化為0〈x－1〈1,∴1<x〈2。10．(文)已知函數(shù)f(x)＝loga(1－x）＋loga(x＋3)（a>0,且a≠1）．（1)求函數(shù)f（x)的定義域和值域；(2)若函數(shù)f（x）有最小值為－2,求a的值．［解析］（1)由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(1－x>0,，x＋3〉0,）)得－3<x〈1，所以函數(shù)的定義域為{x|－3<x〈1｝．f（x)＝loga[(1－x)（x＋3）］，設t＝(1－x）（x＋3）＝4－(x＋1)2，所以t≤4,又t>0，則0<t≤4。當a〉1時，y≤loga4，值域為｛y｜y≤loga4｝，當0<a<1時，y≥loga4，值域為{y｜y≥loga4｝．(2)由題意及(1)知：當0<a<1時,函數(shù)有最小值，所以loga4＝－2，解得a＝eq\f(1,2).(理)已知函數(shù)f（x）＝loga(ax－1)（a〉0且a≠1)．（1)證明函數(shù)f（x）的圖象在y軸的一側(cè)；(2）設A（x1，y1）,B（x2,y2）(x1<x2)是f（x）圖象上兩點，證明直線AB的斜率大于0.［解析]（1）由ax－1>0，得ax〉1.當a〉1時，解得x>0，此時f（x）的圖象在y軸右側(cè)；當0〈a<1時，解得x<0，此時f（x)的圖象在y軸左側(cè)．∴對a〉0且a≠1的任意實數(shù)a,f(x）的圖象總在y軸一側(cè)．(2）①當a>1時，x〉0,由0〈x1<x2得，1〈ax1<ax2，∴0〈ax1－1<ax2－1，即eq\f（ax2－1，ax1－1）>1.∴f（x2)－f（x1）＝loga（ax2－1)－loga（ax1－1)＝logaeq\f（ax2－1,ax1－1）〉0.直線AB的斜率kAB＝eq\f(fx2－fx1,x2－x1）>0。②當0〈a〈1時，由x1〈x2<0得,ax1〉ax2>1，f(x2）－f（x1)〉0。同上可得kAB>0.能力拓展提升11。（2011·安徽省淮南市模擬）若x∈(e－1,1）,a＝lnx，b＝(eq\f（1,2）)lnx，c＝elnx，則（)A．c>b〉a B．b〉a>cC．a(chǎn)>b>c D．b>c〉a[答案］D［解析］∵x∈（e－1，1）,∴a＝lnx∈(－1,0）；c＝elnx＝x∈(eq\f（1，e）,1)；b＝（eq\f（1，2)）lnx∈(1，2）．∴a<c<b.12．(2011·廣東省佛山市綜合測試)已知函數(shù)f（x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（log2xx>0，，2xx≤0,）)若f（a)＝eq\f(1，2)，則實數(shù)a等于()A．－1 B。eq\r(2)C．－1或eq\r(2) D．1或－eq\r(2）［答案]C[解析]當a>0時，log2a＝eq\f（1,2),所以a＝eq\r（2），當a≤0時，2a＝eq\f(1，2)，所以a＝－1。13．(2011·丹陽一模)已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（3x＋1，x≤0，,log2x,x〉0，))則使函數(shù)f（x）的圖象位于直線y＝1上方的x的取值范圍是________．［答案]{x｜－1<x≤0或x>2｝[解析]由y>1得，eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x≤0，,3x＋1〉1，））或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x>0，,log2x〉1,））∴－1〈x≤0或x>2。14．（文)（2012·江南十校聯(lián)考)已知函數(shù)f（x）是R上的單調(diào)遞增函數(shù)且為奇函數(shù)，則f（1）的值________（把所有可能的序號都填上）．①恒為正數(shù);②恒為負數(shù)；③恒為0；④可正可負．［答案]①［解析]∵f（x）在R上為奇函數(shù)，∴f(0)＝0,又∵f（x）在R上為增函數(shù)，∴f（1)>f（0）＝0.∴f(1）的值恒為正數(shù)．（理）(2011·紹興一模）已知偶函數(shù)f（x)在[0，＋∞)上單調(diào)遞減，且f(lgx)＝f（1）,則x的值等于________．［答案]10或eq\f（1,10)[解析］∵f(x)在［0,＋∞）上是單調(diào)函數(shù)，且為偶函數(shù)，又f(lgx）＝f(1），∴l(xiāng)gx＝±1，∴x＝10或eq\f(1,10）.15．(文)已知函數(shù)f（x）＝log4(4x＋1)＋2kx(k∈R）是偶函數(shù)．(1）求k的值;（2）若方程f(x)＝m有解,求m的取值范圍．[解析］（1)由函數(shù)f(x）是偶函數(shù)可知，f（－x）＝f(x)，∴l(xiāng)og4（4x＋1)＋2kx＝log4（4－x＋1）－2kx，即log4eq\f(4x＋1,4－x＋1）＝－4kx,∴l(xiāng)og44x＝－4kx，∴x＝－4kx,即（1＋4k）x＝0，對一切x∈R恒成立，∴k＝－eq\f(1,4).(2)由m＝f（x）＝log4(4x＋1)－eq\f（1,2)x＝log4eq\f（4x＋1，2x)＝log4(2x＋eq\f(1,2x))，∵2x〉0,∴2x＋eq\f（1，2x)≥2,∴m≥log42＝eq\f(1,2）。故要使方程f(x）＝m有解，m的取值范圍為［eq\f（1，2），＋∞）．(理)（2011·金華模擬)設集合A＝{x｜2（logeq\f（1,2)x)2－7log2x＋3≤0},若當x∈A時，函數(shù)f(x)＝log2eq\f（x，2a)·log2eq\f（x,4)的最大值為2，求實數(shù)a的值．[解析]∵A＝{x|2(log2x)2－7log2x＋3≤0｝＝｛x|eq\f(1，2)≤log2x≤3｝＝｛x｜eq\r（2）≤x≤8}，而f（x)＝(log2x－a)（log2x－2)＝（log2x)2－（a＋2）log2x＋2a令log2x＝t，∵eq\r(2）≤x≤8,∴eq\f(1，2）≤t≤3。∴f(x)可轉(zhuǎn)化為g(t)＝t2－（a＋2）t＋2a，其對稱軸為直線t＝eq\f(a＋2,2），①當t＝eq\f(a＋2，2）≤eq\f(7，4),即a≤eq\f(3，2）時，[g（t)］max＝g（3)＝2?a＝1，符合題意；②當t＝eq\f(a＋2，2)〉eq\f(7,4），即a>eq\f(3，2）時，［g(t)］max＝g（eq\f（1，2）)＝2?a＝eq\f（11，6)，符合題意．綜上，a＝1，或a＝eq\f(11，6）。16．(文）（2011·南昌模擬）f（x)的定義域為（0，＋∞）,且對一切x>0，y>0都有f(eq\f（x，y))＝f（x）－f（y），當x>1時，有f(x)〉0。（1)求f（1）的值；(2）判斷f（x）的單調(diào)性并證明；（3)若f（6）＝1，解不等式f(x＋3）－f（eq\f（1,x))〈2。［解析]（1)∵對任意x〉0，y>0，都有f（eq\f（x，y））＝f（x）－f（y）成立，∴令x＝y(tǒng)＝1得，f（1)＝f（1）－f（1）＝0。(2）設x1>x2>0，則eq\f（x1,x2)〉1，∴f(x1）－f(x2）＝f(eq\f（x1，x2))>0，∴f（x1）〉f(x2），∴f(x)在(0，＋∞）上為增函數(shù)．(3)∵f（6）＝1，∴f（6)＝f(eq\f(36,6））＝f（36）－f(6），∴f(36)＝2.∴不等式f（x＋3)－f（eq\f（1，x))<2化為eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(fxx＋3〈f36，，x>0，,x＋3>0，））∴eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(xx＋3〈36，,x>0，))∴0〈x<eq\f（3\r（17)－3,2）。(理)(2011·馬鞍山市二檢)設函數(shù)f（x)＝(1＋x）2－2ln(1＋x)．(1）若對任意的x∈[0，1］，不等式f(x）－m≤0都成立,求實數(shù)m的最小值；(2)求函數(shù)g(x）＝f（x）－x2－x在區(qū)間[0,2］上的極值．[解析］（1)設f（x)在［0，1］的最大值為f(x)max，依題意有f（x）max≤m,∵f′（x）＝2（1＋x)－eq\f(2，1＋x)＝eq\f（2x2＋4x，1＋x）,當x∈［0，1］時，f′(x)≥0，故f（x）在［0,1］為增函數(shù)，f（x）max＝f（1）＝4－2ln2，于是m≥4－2ln2，即實數(shù)m的最小值為4－2ln2。(2)g(x）＝f（x）－x2－x＝1＋x－2ln(1＋x)，g′（x)＝1－eq\f（2，1＋x）＝eq\f（x－1，x＋1）.當x〉1時，g′（x)〉0，當－1<x<1時，g′（x）〈0，故g（x）在[0,1]上是減函數(shù)，在(1，2］上是增函數(shù),從而g（x)在［0,2］上的極小值為g(1）＝2－2ln2＝lneq\f（e2，4)。1．設a＝lge，b＝(lge)2，c＝lgeq\r(e)，則(）A．a(chǎn)>b>c B．a(chǎn)>c>bC．c>a〉b D．c>b>a[答案］B［解析]∵1<e〈3，∴1<eq\r（e）〈e<e2<10，∴0<lge〈1.則lgeq\r（e)＝eq\f（1,2）lge<lge，即c〈a.∵c－b＝eq\f(1,2)lge－(lge)2＝eq\f（1,2)lge(1－2lge)＝eq\f(1，2）lge·lgeq\f（10,e2)>0.∴c>b,故選B。2．(2011·四川文，4)函數(shù)y＝（eq\f（1，2））x＋1的圖象關于直線y＝x對稱的圖象大致是(）［答案]A［解析]解法1：作y＝（eq\f(1，2））x的圖象，然后向上平移1個單位，得y＝（eq\f(1，2)）x＋1的圖象，再把圖象關于y＝x對稱即可．解法2：令x＝0得y＝2,∴對稱圖象過點(2，0）,排除C、D；又令x＝－1得y＝3，∴對稱圖象過點（3，－1），排除B，故選A。3．函數(shù)f(x）＝|logeq\s\do10(\f(1,2)）x｜的圖象是(）[答案]A［解析］f（x）＝｜logeq\s\do10（\f(1,2）)x|＝｜log2x｜＝eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（log2xx≥1，－log2x0<x<1）），故選A。[點評］可用篩選取求解,f(x）的定義域為{x|x〉0｝，排除B、D，f(x)≥0，排除C,故選A.4．（2012·內(nèi)蒙古包頭模擬)已知函數(shù)f(x）＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（xeq\s\up15（\f(1,2）),x>0，,\f（1,2)x，x≤0,））則f[f（－4）］＝（)A．－4 B．－eq\f(1，4）C．4 D．6［答案]C[解析]f（－4)＝（eq\f（1，2)）－4＝16，f[f(－4)］＝f（16)＝16eq\f（1,2)＝4。5．（2012·北京市東城區(qū)綜合