2023解幾大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練

一.解答題(共50小題)

Y22

1.(2023?五華區(qū)校級(jí)模擬)已知雙曲線C:5-v2=l(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為尸，C的兩條漸近線分別與

ab

2

直線x=三交于4,8兩點(diǎn)，且力8的長度恰好等于點(diǎn)尸到漸近線距離的6倍.

c

(1)求雙曲線的離心率；

(2)已知過點(diǎn)尸且斜率為1的直線/與雙曲線交于“，N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若對于雙曲線上任意一點(diǎn)

P,均存在實(shí)數(shù)義，〃，使得麗=4兩+〃麗，試確定2,〃的等量關(guān)系式.

2.(2023?江西模擬)已知點(diǎn)尸為拋物線C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M(4,a)在拋物線上，且|尸M|=6.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點(diǎn)F分別作兩條互相垂直的直線與拋物線C分別交于4,B與P,。，記A/4EP,A8尸。的面積分

別為52,求5+S2的最小值.

3.(2023?濰坊模擬)已知?jiǎng)狱c(diǎn)P與兩定點(diǎn)4(-2,0),4(2,0),直線P4與P4的斜率之積為,記動(dòng)點(diǎn)尸

的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)。①，0)(1<a<2),E為直線x=2a上一動(dòng)點(diǎn)，直線DE交曲線C于G,"兩點(diǎn)，若|G0、|HE|、

|GEh依次為等比數(shù)列也,｝的第加、八p、q項(xiàng)，S.m+n=p+q,求實(shí)數(shù)a的值.

22￡7

4.(2023?西安模擬)已知橢圓C:5+q=1(。>6>0)的焦點(diǎn)為￡、凡，離心率為上，直線/:x+y+m=0,

ab2

F「鳥在直線/上的射影分別為M、N,且|A4N|=2五.

(I)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(II)設(shè)直線/與橢圓C交于/、8兩點(diǎn)，P(-2,0).求的面積的最大值.

22

5.(2023?聊城一模)已知雙曲線C:*■卡=1(。>0力>0)的右焦點(diǎn)為尸，一條漸近線的傾斜角為60。，且

C上的點(diǎn)到F的距離的最小值為1.

(1)求C的方程；

(2)設(shè)點(diǎn)。(0,0),M(0,2),動(dòng)直線/:y=Ax+〃］與C的右支相交于不同兩點(diǎn)/,B,且ZAFM=NBFM,

過點(diǎn)。作，為垂足，證明：動(dòng)點(diǎn)〃在定圓上，并求該圓的方程.

6.(2023?周至縣二模)如圖，已知橢圓￡:與+二=1伍>6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為￡(0,1),離心率為也.

a"b~2

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（1）求橢圓E的方程；

（2）過點(diǎn)寫作斜率為A的直線交橢圓￡于N,8兩點(diǎn)，的中點(diǎn)為”.設(shè)。為原點(diǎn)，射線交橢圓E

于點(diǎn)C.當(dāng)四邊形ONC8為平行四邊形時(shí)，求％的值.

r221

7.（2023?太原模擬）已知橢圓C：r+4v=l（a>b>0）的右頂點(diǎn)為力，上頂點(diǎn)為8,其離心率。=—,直線

礦b'2

與圓/+/=上相切.

7

（1）求橢圓C的方程：

（2）過點(diǎn)”（2,g）的直線與橢圓C相交于P,。兩個(gè)不同點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線分別與N8,“0相交

于點(diǎn)。和N,證明：D是PN中點(diǎn).

8.（2023?江蘇模擬）已知直線/與拋物線C]:爐=2x交于兩點(diǎn)4（占，必），B（x2,y2）?與拋物線G：/=4x

交于兩點(diǎn)CG，必），D（X4,y4）,其中4,C在第一象限，B,。在第四象限.

（1）若直線/過點(diǎn)”（1,0）,且」......—,求直線/的方程；

\BM\\AM\2

（2）①證明：—+—=—+—；

%y2%y4

c

②設(shè)A/1OB,AC。。的面積分別為S「邑（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），若|工。|=2|8。|,求」.

$2

22

9.（2022秋?濱江區(qū)校級(jí)期末）已知與，鳥為橢圓C：/r+}v=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn).點(diǎn)M為橢圓上

一點(diǎn)，當(dāng)鳥取最大值。時(shí)，（砥+麗）?礪=6.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)尸為直線x=4上一點(diǎn)（且P不在x軸上），過點(diǎn)尸作橢圓C的兩條切線尸N,PB,切點(diǎn)分別為Z,

8,點(diǎn)3關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為8',連接交x軸于點(diǎn)G.設(shè)△4gG,8G的面積分別為S/S2,求

第2頁（共77頁）

|S|-$2I的最大值.

10.(2023春?廣東月考)已知點(diǎn)尸(1,0),點(diǎn)P為平面上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線/:x=-l的垂線，垂足為。，

且涉存=而?匝.

(I)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡C的方程；

(II)設(shè)點(diǎn)尸的軌跡C與x軸交于點(diǎn)〃，點(diǎn)、A,8是軌跡C上異于點(diǎn)"的不同的兩點(diǎn)，且滿足必?方=0,

求|麗|的最小值.

11.(2023春?商丘月考)已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸到直線y=-8的距離比到點(diǎn)(0,1)的距離大7.

(I)求動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡方程；

(II)記動(dòng)點(diǎn)尸的軌跡為曲線C,點(diǎn)"在直線4：y=-l上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)"作曲線C的兩條切線，切點(diǎn)分別

為4，8,點(diǎn)N是平面內(nèi)一定點(diǎn)，線段NA,NB,"5的中點(diǎn)依次為E,F,G,H,若當(dāng)〃點(diǎn)

運(yùn)動(dòng)時(shí)，四邊形EFG"總為矩形，求定點(diǎn)N的坐標(biāo).

12.(2023?銅仁市模擬)已知雙曲線C:=-f-=l的一條漸近線方程為x-2y=0,若過點(diǎn)E(0,-3)的直

aa-3

線/交C于4,5兩點(diǎn).

(1)求直線/的斜率范圍；

(2)若/交C的兩條漸近線于C,。兩點(diǎn)且滿足5=在=而，求直線/的斜率的大小.

22

13.(2023?撫順模擬)已知橢圓C:5+5=l(a>6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,0),A,8分別是橢圓的左、

4Tb

▲一3

右頂點(diǎn)，點(diǎn)。(x,y)在橢圓C上，且直線力。與6。的斜率之積為-一.

4

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)直線2x+(y-3=0與橢圓分別相交于“，N兩點(diǎn)，直線用0(。為坐標(biāo)原點(diǎn))與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)

為E,求&WNE的面積S的最大值.

V2V2

14.(2023?湛江一模)已知片，月分別為橢圓E：/+方■ngb>。)的左、右焦點(diǎn)，橢圓E的離心率為1?

過鳥且不與坐標(biāo)軸垂直的直線/與橢圓E交于4,8兩點(diǎn)，△"N5的周長為8.

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)過耳且與/垂直的直線/'與橢圓E交于C,。兩點(diǎn)，求四邊形4C8O面積的最小值.

15.(2023?遼寧一模)如圖，A,B,C,。是拋物線E:/=4x上的四個(gè)點(diǎn)(/,8在x軸上方，C,D

在x軸下方)，已知直線/C與8。的斜率分別為-逅和2,且直線NC與8。相交于點(diǎn)尸.

3

(1)若點(diǎn)”的橫坐標(biāo)為6,則當(dāng)A40c的面積取得最大值時(shí)，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

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（2）試問網(wǎng)上匹1是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由.

22

16.（2023?咸陽二模）橢圓C:5+5=l（“>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片、F2,且橢圓C過點(diǎn)（-2,0）,離

ab

心率為L.

2

（1）求橢圓C的方程；

（2）若點(diǎn)加以，乂）是橢圓=+[=1（機(jī)>〃>0）上任一點(diǎn)，那么橢圓在點(diǎn)M處的切線方程為

mn

W+岑=1.已知N（x。，%）是（1）中橢圓C上除頂點(diǎn)之外的任一點(diǎn)，橢圓C在N點(diǎn)處的切線和過N點(diǎn)

mn

垂直于切線的直線分別與y軸交于點(diǎn)P、Q.求證：點(diǎn)P、N、。、百、寫在同一圓上.

17.（2023?赤峰三模）法國數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日是19世紀(jì)著名的幾何學(xué)家，他創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)

了空間解析幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，奠定了空間微分幾何學(xué)的寬厚基礎(chǔ)，根據(jù)他的研究成果，我們定義：給定

22_________

橢圓C:三+4=1（。>6>0）,則稱圓心在原點(diǎn)。，半徑是4的圓為“橢圓C的伴隨圓”,已知橢圓

ab-

22

0+2=1（a>6>0）的一個(gè)焦點(diǎn)為b（血,0）,其短軸的一個(gè)端點(diǎn)到焦點(diǎn)少的距離為百.

ab

（1）若點(diǎn)/為橢圓。的“伴隨圓”與x軸正半軸的交點(diǎn)，B，。是橢圓C的兩相異點(diǎn)，且8。，X軸，求方?瓦

的取值范圍.

（2）在橢圓。的“伴隨圓”上任取一點(diǎn)P,過點(diǎn)尸作直線4,使得/「人與橢圓C都只有一個(gè)交點(diǎn)，

試判斷/「4是否垂直？并說明理由.

18.（2023?開封二模）如圖，過拋物線E:/=2抄（p>0）的焦點(diǎn)F作直線/交E于/,B兩點(diǎn)，點(diǎn)4,8在

x軸上的射影分別為。，C.當(dāng)力8平行于x軸時(shí)，四邊形/8C。的面積為4.

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（1）求P的值；

（2）過拋物線上兩點(diǎn)的弦和拋物線弧圍成一個(gè)拋物線弓形，古希臘著名數(shù)學(xué)家阿基米德建立了這樣的理論:

以拋物線弓形的弦為底，以拋物線上平行于弦的切線的切點(diǎn)為頂點(diǎn)作拋物線弓形的內(nèi)接三角形，則拋物線

弓形的面積等于該內(nèi)接三角形面積的3倍.已知點(diǎn)P在拋物線E上，且E在點(diǎn)P處的切線平行于Z3,根

3

據(jù)上述理論，從四邊形46CQ中任取一點(diǎn)，求該點(diǎn)位于圖中陰影部分的概率為，時(shí)直線/的斜率.

2

r2V23

19.（2023?吉州區(qū)校級(jí)一模）己知橢圓。:二+方=l（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為片、片，若C過點(diǎn),

且|工片\+AF21=4.

（1）求C的方程；

（2）過點(diǎn)名且斜率為/的直線與C交于點(diǎn)〃、N,求AOMN的面積.

20.（2023?畢節(jié)市模擬）在圓0:》2+/=1上任取一點(diǎn)尸，過點(diǎn)尸作y軸的垂線，垂足為。，點(diǎn)。滿足

DQ^IPQ.當(dāng)點(diǎn)P在圓。上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)0的軌跡為曲線C.

（1）求曲線C的方程；

（2）設(shè)曲線C與>^軸正半軸交點(diǎn)為月，不過點(diǎn)力的直線/與曲線C交于A/,N兩點(diǎn)，若彳必?麗=0,試

探究直線/是否過定點(diǎn).若過定點(diǎn)，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過定點(diǎn)，請說明理由.

221

21.（2023?大慶模擬）已知橢圓C:5+A=im>b>0）的離心率e=L短軸長為2G.

ab2

（1）求橢圓C的方程；

7______

（2）已知經(jīng)過定點(diǎn)尸（1,1）的直線/與橢圓相交于/,8兩點(diǎn)，且與直線y=--x相交于點(diǎn)。，如果AQ=AAP,

4

QB=HPB,那么%+〃是否為定值？若是，請求出具體數(shù)值；若不是，請說明理由.

22.（2023?成都模擬）已知中心為坐標(biāo)原點(diǎn)0,對稱軸為坐標(biāo)軸的橢圓C經(jīng)過P（百，偵），。（指，氈）

兩點(diǎn).

（I）求橢圓C的方程;

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（II）設(shè)過點(diǎn)（0,1）的直線/與橢圓C相交于4,B兩點(diǎn),2歷=3礪，瓦=歷+方，且點(diǎn)E在橢圓C上,

求直線/的方程.

23.（2023?湖南模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線C:匕-1=1（。>0,6>0）的焦點(diǎn)到漸近線的距離

a'b

為用,焦距為2近.

（1）求C的方程；

（2）如圖，點(diǎn)/為雙曲線的下頂點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸上（位于原點(diǎn)與上頂點(diǎn)之間），過尸作x軸的平行線/,過

P的另一條直線交雙曲線于G,H兩點(diǎn)，直線4G,分別與/交于M,N兩點(diǎn)，若NANM+NAOM=乃,

求點(diǎn)尸的坐標(biāo).

24.（2023?貴州模擬）已知拋物線Lx?=2⑷（p>0）上的點(diǎn)（2,%）到其焦點(diǎn)尸的距離為2.

（1）求拋物線C的方程；

（2）已知點(diǎn)。在直線/:y=-3上，過點(diǎn)。作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為4,B,直線與直線/交

于點(diǎn)過拋物線C的焦點(diǎn)F作直線48的垂線交直線/于點(diǎn)N,當(dāng)|MN|最小時(shí)，求上竺1的值.

\MN\

25.（2023?廣西模擬）已知拋物線C:/=2px（p>0）的焦點(diǎn)尸到準(zhǔn)線的距離為2.

（1）求。的方程；

（2）若P為直線/:x=-2上的一動(dòng)點(diǎn)，過尸作拋物線。的切線P/,PB,A,8為切點(diǎn)，直線Z8與/交

于點(diǎn)過尸作45的垂線交/于點(diǎn)N,當(dāng)最小時(shí).求|/8|.

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22

26.(2023?昆明一模)已知過點(diǎn)(l,e)的橢圓E：5+4=l(a>b>0)的焦距為2,其中e為橢圓E的離心率.

(1)求E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/與E交于/,C兩點(diǎn)，以。0c為鄰邊作平行四邊形O/8C,且點(diǎn)8恰好

在E上，試問：平行四邊形O/BC的面積是否為定值？若是定值，求出此定值；若不是，說明理由.

22

27.(2023?全國一模)已知雙曲線C:餐-4=1("0,6>0)過點(diǎn)/(3,-7^),且漸近線方程為x土島=0.

ab’

(1)求雙曲線C的方程;

(2)如圖，過點(diǎn)8(1,0)的直線/交雙曲線C于點(diǎn)”、N.直線加7、M4分別交直線x=l于點(diǎn)尸、Q,求

儂的值.

的離心率與雙曲線xf=1的離心率互為倒數(shù),

點(diǎn)/(2,2)在橢圓C上，不過點(diǎn)4的直線/與橢圓C交于尸，0兩點(diǎn).

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(2)若直線/P,工。的斜率之和為1,試問直線/是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，求出此定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請

說明理由.

22

29.(2023?成都模擬)已知片，g分別為橢圓。:x=+彳v=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)，與橢圓。有相同焦

ab

丫2

點(diǎn)的雙曲線土-V=1在第--象限與橢圓。相交于點(diǎn)P,且|”|=1.

(1)求橢圓C的方程;

(2)設(shè)直線、=履+1與橢圓C相交于4,8兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，且歷=/礪(〃?>0).若橢圓C上存在

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點(diǎn)E,使得四邊形OZE。為平行四邊形，求機(jī)的取值范圍.

Y22

30.(2023?商洛一模)已知尸1,名分別是橢圓￡、+4V=1(。>6>0)的左、右焦點(diǎn)，。是橢圓E的右頂

ab

點(diǎn)，|80|=1,且橢圓E的離心率為;.

(1)求橢圓E的方程.

(2)過片的直線交橢圓E于/,8兩點(diǎn)，在x軸上是否存在一定點(diǎn)產(chǎn)，使得西=4(焉+篇)，4為正

實(shí)數(shù).如果存在，求出點(diǎn)尸的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由.

+5=1(。>6>0)過點(diǎn)(0,6),且離心率為

(I)求橢圓C的方程;

(H)過點(diǎn)尸且互相垂直的直線4,4分別交橢圓C于M,N兩點(diǎn)及S,T兩點(diǎn).求周:斜的取

值范圍.

r2v2

32.(2023?西城區(qū)校級(jí)模擬)已知點(diǎn)/,8是橢圓片:彳+與=1("6>0)的左，右頂點(diǎn)，橢圓E的短軸長

ab

為2,離心率為——.

2

(1)求橢圓E的方程;

(2)點(diǎn)。是坐標(biāo)原點(diǎn)，直線/經(jīng)過點(diǎn)尸(-2,2),并且與橢圓E交于點(diǎn)“，N,直線與直線OP交于點(diǎn)7,

設(shè)直線為T,ZN的斜率分別為勺，k2,求證：“也為定值.

33.(2023?江西模擬)設(shè)橢圓E的方程為「+/=1(“>1),點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)Z,8的坐標(biāo)分別為(a,0),

a

(0,1),點(diǎn)M在線段N8上，滿足|8A/|=2|M4|,直線。河的斜率為

4

(1)求橢圓的方程；

(2)若動(dòng)直線/與橢圓E交于P,0兩點(diǎn)，且恒有OP1。。，是否存在一個(gè)以原點(diǎn)。為圓心的定圓C,使

得動(dòng)直線/始終與定圓C相切？若存在，求圓C的方程，若不存在，請說明理由.

34.(2023?天津模擬)已知橢圓C：1+，=l(a>b>0)的離心率為孝，直線/:x=1與C交于M,N兩

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點(diǎn)，且|A/N|=布.

（1）求C的方程；

（2）若C的左、右頂點(diǎn)分別為N,B,點(diǎn)。（不同于M,N）為直線/上一動(dòng)點(diǎn)，直線8。分別與C

交于點(diǎn)尸，Q,證明：直線尸。恒過定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).

r22

35.（2023?江西模擬）已知橢圓C:、+v4=l（a>6,0<b<2）的左、右焦點(diǎn)分別為耳，凡，點(diǎn)必在橢圓上,

a~b

T.

MF2rFtF2,若△〃耳g的周長為6,面積為

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）過點(diǎn)用的直線/交橢圓于/,B兩點(diǎn),交y軸于P點(diǎn)，設(shè)力=4麗，方=否甌，試判斷4+4是否

為

定值？請說明理由.

36.（2023?興慶區(qū)校級(jí)一模）已知橢圓C:5+g=l（a>6>0）的焦距為2,經(jīng)過點(diǎn)（1,1）,若點(diǎn)尸是橢圓C

上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于橢圓C的左右頂點(diǎn)），點(diǎn)N（-3,0）,￡（-2,0）,尸（2,0）,直線PN與曲線C的另一個(gè)公共點(diǎn)

為。，直線EP與尸。交于點(diǎn)

（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）求證：當(dāng)點(diǎn)P變化時(shí)，點(diǎn)加恒在一條定直線上.

37.（2023?渝中區(qū)校級(jí)模擬）已知橢圓。:；+與=1的焦點(diǎn)在x軸上，它的離心率為［，且經(jīng)過點(diǎn)

ab~2

P（孚&）.

（1）求橢圓C的方程；

（2）若橢圓C的左焦點(diǎn)為尸，過點(diǎn)尸的直線/與橢圓C交于/,B兩點(diǎn),且過點(diǎn)月，8和點(diǎn)0（0,半）的

圓的圓心在x軸上，求直線/的方程及此圓的圓心坐標(biāo).

22

38.（2023?興慶區(qū)校級(jí)一模）如圖所示，由半橢圓G：?+'■=收0）和兩個(gè)半圓G：（x+l）2+/=l（y.O）、

6：。-1）2+_/=1（齊.0）組成曲線。：尸（蒼了）=0,其中點(diǎn)4，4依次為￡的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)8為G的下頂

點(diǎn)，點(diǎn)片，巴依次為G的左、右焦點(diǎn).若點(diǎn)尸「且分別為曲線C3的圓心.

（1）求G的方程；

（2）若過點(diǎn)耳，鳥作兩條平行線《，分別與G，G和C1，C3交與"，N和尸，Q,求|MN|+|PQ|的

最小值.

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y

(KYF2、

AAo]A1X

39.(2023?浙江模擬)已知雙曲線E的頂點(diǎn)為4(-l,0),5(1,0),過右焦點(diǎn)尸作其中一條漸近線的平行線，

與另一條漸近線交于點(diǎn)G,且&苧.點(diǎn)P為x軸正半軸上異于點(diǎn)8的任意點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線/交雙

曲線于C,。兩點(diǎn)，直線4C與直線80交于點(diǎn)

(1)求雙曲線E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)求證：OPOH為定值.

40.(2023?呼和浩特模擬)已知橢圓￡■+4=1(4>6>0)的一個(gè)焦點(diǎn)為尸(2,0),且離心率6=

(1)求楠圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)設(shè)點(diǎn)/、8是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，/(6,-1)且|ZA/|=|8M|,直線40、8M分別交橢圓于點(diǎn)尸、Q

(均異于M),證明：直線尸。的斜率為定值.

41.(2023?龍巖模擬)已知橢圓K:*+A=l(a>6>0)的左、右焦點(diǎn)分別為片(-2,0),K(2,0),過右焦點(diǎn)

ab

心的直線/交橢圓K于A/,N兩點(diǎn)，以線段|帥|為直徑的圓。與圓G：f+y2=8內(nèi)切.

(1)求橢圓K的方程；

(2)過點(diǎn)M作A/ELx軸于點(diǎn)E,過點(diǎn)N作N0，x軸于點(diǎn)0,0M與NE交于點(diǎn)、P,是否存在直線/截得

APMN的面積等于亞？若存在，求出直線/的方程；若不存在，請說明理由.

2

42.(2023?濟(jì)寧一模)己知直線x+y+l=0與拋物線C:f=2外(p>0)相切于點(diǎn)/,動(dòng)直線/與拋物線C交

于不同兩點(diǎn)〃，N(M,N異于點(diǎn)、A),且以MN為直徑的圓過點(diǎn)/.

(1)求拋物線C的方程及點(diǎn)A的坐標(biāo)；

(2)當(dāng)點(diǎn)/到直線/的距離最大時(shí)，求直線/的方程.

43.(2023?寧波模擬)已知雙曲線C:「-E=l(a,b>0)的漸近線與曲線E:y=Lz+2相切.橫坐標(biāo)為f的

ab~2

點(diǎn)尸在曲線E上，過點(diǎn)P作曲線E的切線/交雙曲線C于不同的兩點(diǎn)/,B.

(1)求雙曲線C的離心率；

(2)記48的中垂線交x軸于點(diǎn)是否存在實(shí)數(shù)I,使得N4PA/=30。？若存在，請求出/的值；若不存

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在，請說明理由.

丫22

44.（2023?沙坪壩區(qū)校級(jí)模擬）已知雙曲線的實(shí)軸長為2夜，右焦點(diǎn)廠到雙曲線

ab'

C的漸近線距離為1.

（1）求雙曲線C的方程；

（2）點(diǎn)P在第一象限，P,0在直線y=g尤上，點(diǎn)、P,A,5均在雙曲線C上，且ZQ_Lx軸，M在直

線/。上，P,M,3三點(diǎn)共線.從下面①②中選取一個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)成立：①。是的中

點(diǎn)；②直線48過定點(diǎn)7（0,1）.

45.（2023?石家莊模擬）已知點(diǎn)P（4,3）在雙曲線C:[-《=l（a>0,b>0）上，過尸作x軸的平行線，分別

ab

交雙曲線C的兩條漸近線于M,N兩點(diǎn)，

（I）求雙曲線C的方程；

（II）若直線/號(hào)=去+加與雙曲線。交于不同的兩點(diǎn)4,8,設(shè)直線P4,P8的斜率分別為尢，k2,從

下面兩個(gè)條件中選一個(gè)（多選只按先做給分），證明：直線/過定點(diǎn).

①占+&=1；②桃2=1?

46.（2023?廣州模擬）已知橢圓C：W+^=im>6>0）的離心率為"，以C的短軸為直徑的圓與直線

a2b22

y=ax+6相切.

（1）求C的方程；

（2）直線/:y=k（x-l）伏…0）與C相交于B兩點(diǎn),過C上的點(diǎn)尸作x軸的平行線交線段15于點(diǎn)0,直

線OP的斜率為1（。為坐標(biāo)原點(diǎn)），A4P0的面積為的面積為邑，若14P鳳=|8P|§，判斷hl

是否為定值？并說明理由.

22

47.（2023?南充模擬）如圖，己知力,8分別為橢圓加：=+與=1（。>6>0）的左，右頂點(diǎn)，尸（x0,孫）為

ab

橢圓M上異于點(diǎn)Z,8的動(dòng)點(diǎn)，若力8=4,且A48P面積的最大值為2.

（1）求橢圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知直線/與橢圓M相切于點(diǎn)PQ。，匕），且/與直線x=。和x=-a分別相交于C,。兩點(diǎn)，記四邊

形4BC。的對角線ZC,3。相交于點(diǎn)N.

問：是否存在兩個(gè)定點(diǎn)與，F(xiàn)2,使得|NG|+|”|為定值？若存在，求不，行的坐標(biāo)；若不存在，說明理

由.

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48.（2023?贛州模擬）已知拋物線C：V=2px（p>0）,尸為其焦點(diǎn)，點(diǎn)M（2,y0）在C上，且=4（0為

坐標(biāo)原點(diǎn)）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）若8是C上異于點(diǎn)。的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)乙408=90。時(shí)，過點(diǎn)。作ON于，問平面內(nèi)是否存在

一個(gè)定點(diǎn)0,使得|N0為定值？若存在，請求出定點(diǎn)。及該定值；若不存在，請說明理由.

22

49.（2023?杭州模擬）已知雙曲線￡:「-斗=15>0/>0）的離心率為百，并且經(jīng)過點(diǎn)（正,2）.

a"b

（1）求雙曲線E的方程.

（2）若直線/經(jīng)過點(diǎn)（2,0）,與雙曲線右支交于P、。兩點(diǎn)（其中尸點(diǎn)在第一象限），點(diǎn)0關(guān)于原點(diǎn)的對稱

點(diǎn)為N,點(diǎn)。關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)為8,且直線4P與8。交于點(diǎn)M,直線4B與尸。交于點(diǎn)N,證明：雙曲

線在點(diǎn)P處的切線平分線段MN.

50.（2023?浦東新區(qū)模擬）己知橢圓C:=+4=1（〃>6>0）的離心率為立，且點(diǎn)（-2,a）在橢圓G上.

a'b'2

（1）求橢圓C1的方程；

（2）過點(diǎn)0（0,1）的直線/與橢圓￡交于。，E兩點(diǎn)，已知麗=2區(qū)，求直線/的方程；

（3）點(diǎn)P為橢圓G上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)尸作G的切線與圓。2：》2+/=12交于/,B兩點(diǎn),設(shè)直線ON,OB

的斜率分別為占，電.證明：占?卷為定值，并求該定值.

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2023解幾大題熱點(diǎn)50題訓(xùn)練（答案）

參考答案與試題解析

解答題（共50小題）

1.（2023?五華區(qū)校級(jí)模擬）己知雙曲線C:]-京=1（〃>08>0）的右焦點(diǎn)為尸，C的兩條漸近線分別與

直線x=三交于4,8兩點(diǎn)，且Z8的長度恰好等于點(diǎn)尸到漸近線距離的百倍.

C

（1）求雙曲線的離心率；

（2）已知過點(diǎn)尸且斜率為I的直線/與雙曲線交于M,N兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，若對于雙曲線上任意一點(diǎn)

P,均存在實(shí)數(shù)義，H，使得麗=4兩+〃麗，試確定4,〃的等量關(guān)系式.

【分析】（1）設(shè)直線x=4與x軸交于點(diǎn)Q,不妨取一條漸近線（：y=9x,求出|/8|,及點(diǎn)F到乙的距離

ca

d,由已知可得a,c的關(guān)系，進(jìn)而可得離心率；

（2）由（1）可得雙曲線C的方程為/-3/-3/=0,直線/：x=y+2b與雙曲線方程聯(lián)立，得到根與系

數(shù)的關(guān)系，結(jié)合已知，由向量的線性運(yùn)算即可得解.

【解答】解：（1）設(shè)直線x=土與x軸交于點(diǎn)。，不妨取一條漸近線（：y=2x,

ca

1I

則tan4。。-,所以|/8|=2|OO|tanN/OD=，

ac

又F到4:bx-ay=0的距離d=J"=b,

所以|18|=辿=揚(yáng)，即。=迫0,所以e=￡=撞

c3a3

2-5

（2）由（1）可知,---a

3

所以。2=±/=/+/，所以1=3〃，

3

所以雙曲線。的方程為a-g=l,BPx2-3y2-3b2^0,則尸（2仇0）,直線/:x=y+2b,

由"北2”心2，消去x可得一2y2+4勿+/=0,

[x-3y-3b~=0

設(shè)4/（占，必），NG，y）9則由根與系數(shù)的關(guān)系可得%+必=2b,yy=—,

2{2-2

設(shè)P（x,y）,則由麗=2兩+〃麗，可得尸='*+"%,

[y=力,+〃了2

由點(diǎn)尸在雙曲線上，可得（川+）2—3（肛+〃乂）2-3/=0,

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即22(x)2-3yf)+24〃(再9-3%必)+/?即-3貨)-362=0,

2

因?yàn)閤,x2-3%為=(必+26)(%+2b)-3必力=一2凹為+2b(乂+為)+4〃=9b,

x；-3%2=3b2,Xj-3貨=3b2,

所以萬+6A/z+/?=1.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查雙曲線的性質(zhì)，直線與雙曲線的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

2.(2023?江西模擬)已知點(diǎn)尸為拋物線C:/=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M(4,a)在拋物線上，且|FM=6.

(1)求拋物線C的方程；

(2)過點(diǎn)F分別作兩條互相垂直的直線與拋物線C分別交于/,B與P,。，記AJEP,她尸。的面積分

別為S2,求B+S2的最小值.

【分析】(1)利用定義法求出p,然后求解拋物線的方程；

(2)拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)：過拋物線的焦點(diǎn)少的直線與拋物線交于點(diǎn)/,B,設(shè)4區(qū)，M)，B(X2,%),

聯(lián)立直線與拋物線方程，推出切力，力乂均為定值.然后求解三角形的面積的和，利用基本不等式轉(zhuǎn)化求

解即可.

【解答】解：(1)由點(diǎn)E為拋物線C：V=2px(p>0)的焦點(diǎn)，點(diǎn)M(4,a)在拋物線上，

|在A/|=6,知4+片6,

所以p=4,所以拋物線。的方程為j?=8x.

(2)由題意過點(diǎn)F分別作兩條互相垂直的直線與拋物線C分別交于Z,B與P,Q,知直線力8與尸。的

斜率均不為0,

設(shè)4區(qū)，%)，B(X2,y2),P5,%),ON，y4),l^B:x=my+2,

聯(lián)立I：""+2'消去x得V-8叩-16=0,則必+%=8"?,y,y2=-16,

[y=8x,

因?yàn)?8_LP。，用-■^替換機(jī)得為+乂=-芻,y3y4=-16,

mm

MFP,ABF。的面積分別為52,

22vtn2|m\

2

s2=^-\BF\-\QF\=^[+m\y2|xjl+乂|%|=\-^~\y2y4\，

22Vm21〃?I

第14頁(共77頁)

2

rrHi-c114-/HZ1....1+tn~i------------.1+nr,..1,lx_.

所以E+S2=￡X^~「x(|必必\+\y2y4|)...-~1』必為力居h=-~—x16=16(--+|/H|)..32，

當(dāng)且僅當(dāng)」一=l"?I,即加=±l時(shí)等號(hào)成立.

Iwl

所以5+S2的最小值為32.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合應(yīng)用，拋物線方程的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,

是中檔題.

3.(2023?濰坊模擬)已知?jiǎng)狱c(diǎn)尸與兩定點(diǎn)4(-2,0),4(2,0),直線P4與P4的斜率之積為-=，記動(dòng)點(diǎn)P

的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C的方程；

(2)設(shè)。(a,0)(l<a<2),E為直線x=2a上一動(dòng)點(diǎn)，直線。E交曲線C于G,〃兩點(diǎn)，若|G￡||、\HE\.

|GE|、|〃￡)|依次為等比數(shù)列也｝的第加、八p、夕項(xiàng)，且/w+〃=p+g,求實(shí)數(shù)。的值.

【分析】(1)設(shè)點(diǎn)尸坐標(biāo)，依據(jù)題意列出等式，化筒可求出軌跡方程；

(2)依據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得|G。|?|HE|=|GE|?||,代入弦長公式化簡結(jié)合韋達(dá)定理可求出a的值.

【解答】解：(1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(xj),

由題意得，我.長3

4

22

vv

化簡得：---1-----=l(xw±2),

43

故所求C的方程為二+二=1("±2).

43

(2)設(shè)E(2a,/),fHO,設(shè)直線DE的方程為：y=-(x-a),

a

y=-(x-a),

a

消去得2一2222

設(shè)G(X1,M)，H(X2,y2),聯(lián)立方程:22y(3/+4r)xSatx+4at-12a=0，

J/1

43

Sat24a2t2-l2a2

所以X]+%=x.x---------

3a2+4/223a2+4/

由題意得b,也=仙,

所以|GQ|-|HE|=|GE|?|〃D|,^\GD\-\HE\-\GE\-\HD\=Q,

22

即(14---7)Itl—x||2tz—x|—(1-1---7)I2a—X|||x—611=0,

a12a2

從而(a-x,)(2a-x2)-(2a-x,)(x2-a)=0，

2

所以2須入2-3(7(苔+x2)+4a=0,

第15頁(共77頁)

-4a2t2-12a2Sat2

即Hn2----：--------3a------+4礦2=0,

3/+4/3/+4/

所以a?=2,又1<a<2,a=-Jl,經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查軌跡方程的求法，直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題.

4.(2023?西安模擬)已知橢圓C:g+《=im>6>0)的焦點(diǎn)為月、F,,離心率為亞，直線/:x+y+m=0，

a-b2

片、鳥在直線/上的射影分別為M、N,S.\MN\=242.

(I)求橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程;

(II)設(shè)直線/與橢圓C交于/、8兩點(diǎn)，P(-2,0).求A48P的面積的最大值.

【分析】(I)由己知可得I6凡|=也，結(jié)合離心率可求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

cos—71

4

(II)聯(lián)立方程組可得|/例=-V12-/M2,d=團(tuán),可得s5BP=,利用導(dǎo)數(shù)可

3A/23

求A/J8尸的面積的最大值.

【解答】解：(I)?.?直線/:x+y+w=O的斜率為-1,傾斜角為子,

網(wǎng)口=萃=4,即橢圓的焦距2c=4,c=2,

冗Ji

COS-L±

42

由橢圓的離心率為,W—=—=a=2-\/2,b-yja2-c2=2,

2aa2

「?橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為—+^-=1；

84

x+y+加=0

(II)由<J2，消去y,得3%2+4mx+2m2—8=o,

—+—=1

84

&X=(4m)2=4x3x(2m2-8)=-8(/-812)>0,得-273<加<2,

設(shè)力(X],必)，B(X2,y2),則*+工2=一等，XjX2—

|AB\=71+(-1)2xJ(-爭2-4x2"；-8=口12-/

點(diǎn)尸(-2,0)到直線/的距離為d=匕與叨

J2

$MBP=萬'八|AB|=—

設(shè)/(w)=(12-w2)(/n-2)2，(-26<m<2百)

第16頁(共77頁)

.../'(〃?)=-2m(m-2)2+(12-m2)x2(〃？-2)x1=-4(m-2)(w+2)(/n-3),

令f\m}=0>得機(jī)=—2,m=2,/n=3,

當(dāng)加=2時(shí)，點(diǎn)P在直線/上，故機(jī)=2（舍去）,

當(dāng)m變化時(shí)，.，（⑼與/（w）變化情況如下表，

m(-273,-2(-2,2)2(2,3)3(3,2兩

-2)

+-+-

遞增極大值遞減0遞增極大值