動點問題最小值典型練習一．解答題（共25小題）1.如圖，正三角形ABC的邊長為2，M是BC邊上的中點，P是AC邊上的一個動點，求PB+PM的最小值。解：首先畫出圖形，觀察題目要求。由于是求最小值，因此可以考慮使用三角不等式。根據(jù)三角不等式，有PB+PM≥BM，因此要使PB+PM最小，就要使BM最小。由于M是BC邊上的中點，因此BM=BP-PM=2-PM，所以要使BM最小，就要使PM最大，即P點到BC邊的垂線段PE最大。因此，可以將△APE看作一個直角三角形，根據(jù)勾股定理，可得PE=√3/2，即PB+PM的最小值為2-PE=2-√3/2。2.如圖，在?ABCD中，E、F是對角線BD上的兩個動點，且BE=DF。試猜想并證明AE與CF的關系。解：根據(jù)題目條件，可以畫出如下圖形：由題目可知，BE=DF，因此△BDE≌△CDF，進而可得∠BDE=∠CDF。又因為AE和CF都是△ABC的高，因此可以得到AE/CF=AB/BC。根據(jù)正弦定理，有AB/BC=sin∠BAC/sin∠ABC，因此可以得到AE/CF=sin∠BAC/sin∠ABC。又因為∠BAC=∠BDE+∠CDF，∠ABC=180°-∠BDE-∠CDF，因此可以得到AE/CF=sin(∠BDE+∠CDF)/sin(180°-∠BDE-∠CDF)=sin∠BDE/sin∠CDF。由于△BDE≌△CDF，因此可以得到sin∠BDE=sin∠CDF，即AE/CF=1，因此AE=CF，即AE與CF相等。3.在矩形ABCD中，P為AB上的動點，PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，求證：PE+PF為定值。解：首先畫出圖形，觀察題目要求。由于P是AB上的動點，因此可以將P點的坐標設為(x,y)，則PE的長度為√(x^2+y^2)。又因為P點在AB上，因此可以將P點的坐標表示為(x,2-x)，則PF的長度為√[(2-x)^2+y^2]。因此，PE+PF=√(x^2+y^2)+√[(2-x)^2+y^2]。為了證明PE+PF為定值，需要證明√(x^2+y^2)+√[(2-x)^2+y^2]為定值。為了方便計算，可以將其平方，即(x^2+y^2)+(2-x)^2+y^2+2√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]=2x^2+2y^2+4-4x+2√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]。由于根號內的部分不易簡化，因此可以使用求導的方法求出其最小值。對上式求導，得到2x-4+2[x(x-4)+y^2]/√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]=0。整理可得2x-4=2[x(x-4)+y^2]/√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]，即(2x-4)√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]=2[x(x-4)+y^2]。平方可得4(x-2)^2(x^2+y^2)=4[x(x-4)+y^2]^2，即(x^2+y^2)+(2-x)^2+y^2+2√[(x^2+y^2)(4-4x+x^2+y^2)]為定值，因此PE+PF為定值。4.如圖，△ABD、△BCD都是等邊三角形，E、F分別是AD、CD上的兩個動點，且滿足DE=CF。求證：BE=BF。解：根據(jù)題目條件，可以畫出如下圖形：由于△ABD、△BCD都是等邊三角形，因此可以得到AB=BD=CD。又因為DE=CF，因此可以得到△AED≌△CFD，進而可得∠AED=∠CFD。又因為AE和CF都是△ABC的高，因此可以得到AE/CF=AB/BC。根據(jù)正弦定理，有AB/BC=sin∠BAC/sin∠ABC，因此可以得到AE/CF=sin∠BAC/sin∠ABC。又因為∠BAC=∠AED+∠CFD，∠ABC=180°-∠AED-∠CFD，因此可以得到AE/CF=sin(∠AED+∠CFD)/sin(180°-∠AED-∠CFD)=sin∠AED/sin∠CFD。由于△AED≌△CFD，因此可以得到sin∠AED=sin∠CFD，即AE/CF=1，因此AE=CF。又因為BE和BF都是△ABD的高，因此可以得到BE/BF=AE/CF=1，因此BE=BF。5.已知等邊△ABC中，D是BC邊上的動點，∠EDF=60°。求證：△BDE∽△CFD。解：首先畫出圖形，觀察題目要求。由于是求相似三角形，因此可以使用角度相等和對應邊成比例的條件。根據(jù)題目條件，可以得到∠EDF=60°，因此∠BDC=60°。又因為△ABC是等邊三角形，因此∠ABC=60°，進而可得∠ABD=∠CBD=30°。根據(jù)正弦定理，有BD/AB=sin∠ABD/sin∠BAD=sin30°/sin120°=1/2，因此BD=AB/2。又因為∠BDC=60°，因此可以得到DC=BD。因此，可以得到△BDE∽△CFD，且比例尺為2:1。6.如圖，等邊三角形ABC中，D是AB邊上的動點，以CD為一邊，向上作等邊三角形EDC，連接AE。求證：（1）△ACE≌△BCD；（2）AE∥BC。解：首先畫出圖形，觀察題目要求。由于是求相等的三角形和平行的關系，因此可以使用等角和對應邊成比例的條件和平行線之間的性質。根據(jù)題目條件，可以得到△EDC是等邊三角形，因此∠CED=60°。又因為AC和BD都是△ABC的高，因此可以得到AC/BD=AB/BC=√3。根據(jù)正弦定理，有AC/AB=sin∠CAB/sin∠ABC=sin60°/sin60°=1，因此可以得到AC=AB。又因為∠ACE=∠BCD=60°，因此可以得到△ACE≌△BCD。又因為AE和BC都是△ABC的高，因此可以得到AE/BC=AC/AB=1，因此AE∥BC。7.如圖，在銳角三角形ABC中，BC=4√2，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分別是BD、BC上的動點，試求CM+MN的最小值。解：首先畫出圖形，觀察題目要求。由于是求最小值，因此可以考慮使用三角不等式。根據(jù)三角不等式，有CM+MN≥CN，因此要使CM+MN最小，就要使CN最小。又因為BD平分∠ABC，因此可以得到∠CBD=22.5°，進而可得∠BCD=67.5°。根據(jù)正弦定理，有BC/sin∠BCD=BD/sin∠CBD，因此可以得到BD=4√2sin22.5°/sin67.5°=2√2(2+√3)。又因為CN=BC-BD=4√2-2√2(2+√3)=2(2-√3)，因此CM+MN的最小值為2(2-√3)。8.如圖，已知⊙O的半徑為R，C、D是直徑AB同側圓周上的兩點，AC的度數(shù)為96°，BD的度數(shù)為36°，動點P在AB上。求PC+PD的最小值。解：首先畫出圖形，觀察題目要求。由于是求最小值，因此可以考慮使用三角不等式。根據(jù)三角不等式，有PC+PD≥CD，因此要使PC+PD最小，就要使CD最小。又因為C、D是直徑AB同側圓周上的兩點，因此可以得到∠ACD=96°，∠ABD=36°，進而可得∠CAD=60°。根據(jù)正弦定理，有CD/AC=sin∠CAD/sin∠ACD=sin60°/sin96°，因此可以得到CD=2Rsin60°sin96°/sin36°。因此，PC+PD的最小值為CD=2Rsin60°sin96°/sin36°。9.如圖，在矩形ABCD中，B（16，12），E、F分別是OC、BC上的動點，EC+CF=8。當F運動到什么位置時，△AEF的面積最小，最小為多少？解：首先畫出圖形，觀察題目要求。由于是求最小值，因此可以考慮使用面積最小原理。根據(jù)題目條件，可以得到EC+CF=8，因此可以得到EF≥8。由于B（16，12），E、F分別是OC、BC上的動點，因此可以將E、F的坐標表示為(16-x,x)和(8-x,12)，其中0≤x≤8。根據(jù)海倫公式，△AEF的面積為S=√[p(p-EC)(p-EF)(p-FE)]，其中p=(EC+EF+FE)/2=8+x。因此，S=√[(8+x)x(8-x)(16-2x-x)]。為了求出S的最小值，需要對其求導。對S求導，得到S'=-4(x-4)(x-2)/√[(8+x)x(8-x)(16-2x-x)]。因此，S在x=2或x=4時取得最小值，最小值為S=16。10.已知點A的坐標為（2，），動點P在直線y＝1/2x?3上，求使△PAO為直角三角形的點P的坐標。解：首先畫出圖形，觀察題目要求。由于要使△PAO為直角三角形，因此可以使用勾股定理。設P點的坐標為(x,1/2x-3)，則△PAO為直角三角形的充分必要條件是PA^2+AO^2=PO^2。因此，可以得到(x-2)^2+(1/2x-3)^2=PO^2。又因為PO的斜率為-2，因此可以得到PO的方程為y=1/2x-2，進而16.在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，動點E、F分別在AB、BC邊上。將△BEF沿著EF折疊，得到△B′EF。連接AB′，求AB′的最小值。17.在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是邊AD上的動點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F。求PE+PF的值。18.在直角坐標系中，已知A（2，0），B（6，0），C在直線y=4上移動。求C點坐標，使得∠ACB最大。19.如圖：（1）求直線和拋物線的解析式；（2）M為拋物線第一象限的動點，求S△AMB的最大值。20.如圖：點A的坐標是（2，2），點P是x軸正半軸上的一個動點。若△AOP是等腰三角形，求P點的坐標。21.已知任意△ABC，D、E是AB、BC上的兩個點，D是定點，E是動點。如何使用尺規(guī)操作使得S△BED=S△ADC。2