線性代數(shù)昆明理工大學(xué)數(shù)學(xué)系

2009.122第二節(jié)分塊矩陣分塊矩陣分塊矩陣的運算一.

分塊矩陣無論是對矩陣作理論研究或作實際計算，經(jīng)常需要將一個行、列數(shù)較多的大矩陣，用橫線和豎線分成一些小矩陣，稱為對矩陣分塊。以這些小矩陣作元素的矩陣稱為分塊矩陣。例如：a1

b1

c1

a

b

c

3

3 3

1

2

A A

A

=

a

b

c

=2

2 2

A A

3 4其中11a

b1

A

=a

b

2 2

12cA

=c

2

A3

=

(a3

,

b3

)4A

=

c

3

以矩陣作元素(ai

,bi

,

ci

)以后常用到將矩陣按行或按列分塊，例如將按列分塊，得a1

b1

c1

bA

=

aa32

2 2

b3

c3

1

2

3c

=

(a

,a

,a

)2b1

2

1其中aa1

2

a3

b3

=

a

，a3=

b

，ac1

2

c3

=c

為列矩陣。a1

b1

c1

也可以將A按行分塊成A

=aa3

b32

2 2

c3

b1

2

b3

b

c

=b

，其中bi

=(ai

,bi

,ci

)(i

=1,2,

3)為行矩陣。二.

分塊矩陣的運算下面討論分塊矩陣的運算。分塊矩陣的運算規(guī)則與普通矩陣的運算規(guī)則相同或相類似，不同點在于分塊的方法（或者說對小塊的行數(shù)、列數(shù)）要作些限制。（1）加法及數(shù)乘設(shè)A，B是兩個m

·

n矩陣，采用相同的分塊法，得到兩個分塊矩陣

A11A

=

...

As1Ast

A1t

B11B1t

...... ...

......... ...

B

=

......

Bs1Bst

其中Aij

與Bij

是相同類型的矩陣，則............

A11

+

B11A1t

+

B1t

A

+

B

=

...kA11...

kA

=

......

kA1t

...

kAs1

...

kAst

As1

+

Bs1

Ast

+

Bst

例如，矩陣和分塊法如下：D

=

12

1

1C

=

10

0

111D

D

D

D1

5

00

1

=

12

21 22

11C

CC

C0

9

32

0

=

12

21 22

則11

11

D12

+

C12

D

+

CD

+

C

=

D21

+

C21

D22

+

C22

=

21

14

3

2

1

2

1

2與直接對矩陣D和C求和是一樣的。（2）乘法設(shè)A為m

·

l

矩陣，B為l

·

n

矩陣，將A，B劃分成分塊矩陣時，對A的列的劃分方法與對B的行的劃分方法相同，得到

A11A

=

...

As1Ast

A1t

B11B1r

...... ...

......... ...

B

=

......

Bt

1Btr

其中A的第k列各小塊Aik

的列數(shù)與B的第k行各小塊Bkj的行數(shù)相等。則C11C1r

...... ...

...AB

=

...Cs1Csr

Cij

=

Ai1

B1

j

+

Ai

2

B2

j

+

...

+

Ait

Btj(i

=

1,...,

s,

j

=

1,...,

r

)例1.

設(shè)

1

0

0

00A

=

0

1

0-1

2

11

00

111B

=

0

1

0

1

0-1

2

0

1

0

4

1-1

-1

2求AB。解：（3）轉(zhuǎn)置

A11A1r

分塊矩陣A

=

...

As1Asr

...

的轉(zhuǎn)置矩陣為111rAT

ATAT

s1

=

...

AT............... ...

...

AT

sr

即分塊矩陣的轉(zhuǎn)置，除了將行依次換成相同序號的列之外，每個小塊還要進行轉(zhuǎn)置。2（4）分塊對角矩陣設(shè)

A1

0

... 0

0

A

=

0

A

...

... ...

...

...

...

0

0A

n

其中主對角線上的子塊A1

,A2

,...,An

都是方陣，主對角線之外的子塊都是零矩陣，這種矩陣稱為分塊對角矩陣。例如，下列矩陣可以分塊成分塊對角矩陣：0A

=

20310

A

A

0

5

2

01

0

=

2

分塊矩陣有以下兩個性質(zhì)：A的行列式A

=

A1

A2

...

AnA可逆的充要條件是A1

,A2

,...,An

都可逆，且當可逆時，有1A-1-1

A-1A-1

=0

...

0

0

2

...

0

...

...

...

...

0

0

...

A

n

證明：例2.

求下列矩陣的逆矩陣5

2

0

（1）A

=

2

1

00

0

3（2）20

B

=5

2

0 0

1

00

0

1

-20

101

解：解：對A，B作如下分塊

1

0

0

01

0

00A

=-1

101A

E

0

=

E

1

12

1

1

0

1

0

1

0-1

2

0B=

1

0

4

1-1

-1

2

01

=

B E

B2

B3

則有2AB=

E

0

B1B

A E

B

1

3

E

=1

1

2

A

B

+

B13

A

+

B

B1E1

12A

B

+

B

=-1

2

11

1

-1

0

1 0

2

+

-1

-1

-3

4

1=

02

+

-1

0

-2

41-1

=

-1

1

3A

+

B

=

-1

1

1

2

4

1

3

3+

=2

0

3

1

于是得到21BA

B

+A

+

B

1

13

1

0

1

02

0-2

4

3

30

1

0

0

0

0B1A

=

AB

1=

00-12

1

1

1

0

1A

E

E0E=

1

-1

1

0

1

0

B

=

=-1

2

0

-1

1

0

4

1-1

-1

20

12B1

BE

1

=

B

1

3

1

3證明：（i）留到第三節(jié)中再證。(ii)由(i)可知A

?0的充要條件是Ai?

0（i=1，2，…，n）故A可逆的充要條件是A1,A2

,...,An都可逆。當可逆時，有12A

0

...

0

1A-1A-1-10

0

...2

...

0

...

...0

...

A...

A

0n

=

n

0

E

00

0

A

... 0

0

...

...

... ...

...

0

0

...0

...E

...

...

...

...

...

0

0

...

E

=

E故結(jié)論成立，證畢。解：（1）A

=

A1

0

A

2

10

，其中

A

=

52

122

，A

=

31111AA*A-1

=1

=5

1

-2

1

-2