房東是個大帥哥湖南省湘潭市2017第三次高考模擬數(shù)學(xué)（理）試題第Ⅰ卷（共60分）一、選擇題：本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知全集，集合，，則集合等于（）A．B．C．D．2.若(為虛數(shù)單位)，則復(fù)數(shù)的虛部為（）A．B．C．1D．3.如圖所示的陰影部分是由軸，直線以及曲線圍成，現(xiàn)向矩形區(qū)域內(nèi)隨機投擲一點，則該點落在陰影區(qū)域的概率是（）A．B．C.D．4．“”是“直線與圓相切”的（）A．充要條件B．充分不必要條件C．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件5．若雙曲線的兩條漸近線互相垂直，則它的離心率為（）A．B．C.2D．6．函數(shù)的圖象大致是（）沿折到的位置，使得二面角的大小為90°（如圖），為的中點，點在線段上，且．(1)證明：直線平面；(2)求直線與平面所成角的正弦值．19.某屆奧運會上，中國隊以26金18銀26銅的成績稱金牌榜第三、獎牌榜第二，某校體育愛好者在高三年級一班至六班進行了“本屆奧運會中國隊表現(xiàn)”的滿意度調(diào)查（結(jié)果只有“滿意”和“不滿意”兩種），從被調(diào)查的學(xué)生中隨機抽取了50人，具體的調(diào)查結(jié)果如下表：(1)在高三年級全體學(xué)生中隨機抽取一名學(xué)生，由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)估計該生持滿意態(tài)度的概率；(2)若從一班至二班的調(diào)查對象中隨機選取4人進行追蹤調(diào)查，記選中的4人中對“本屆奧運會中國隊表現(xiàn)”不滿意的人數(shù)為，求隨機變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.20.已知點，點是直線上的動點，過作直線，，線段的垂直平分線與交于點．(1)求點的軌跡的方程；(2)若點是直線上兩個不同的點，且的內(nèi)切圓方程為，直線的斜率為，求的取值范圍．21.已知函數(shù)．(1)若函數(shù)在處取得極值，求實數(shù)的值；(2)若函數(shù))在區(qū)間上為增函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍；(3)若當(dāng)時，方程有實數(shù)根，求實數(shù)的最大值．請考生在22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題記分.22.選修4-4：坐標系與參數(shù)方程在平面直角坐標系中，圓的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以為極點，軸的非負半軸為極軸且取相同的單位長度建立極坐標系．(1)求圓的極坐標方程；(2)若直線的極坐標方程是，射線與圓的交點為，與直線的交點為．求線段的長．23.選修4-5：不等式選講已知函數(shù)的最小值為1．(1)求的值；(2)若恒成立，求實數(shù)的最大值.試卷答案一、選擇題1.A,.又∵,∴，故選A.2.D∵，∴，則的虛部為，故選D.3．D所求概率為，故選D.4．B當(dāng)時，圓的圓心到直線的距離為，等于半徑，此時圓與直線相切；若直線與圓相切，則圓心到直線距離為，解得或0．故應(yīng)選B．5．A6．B由，解得或，所以函數(shù)有兩個零點，又A，C不正確，所以，由，解得或，由，解得，即是函數(shù)的一個極大值點，所以D不成立，故選B．7．C，，結(jié)束循環(huán)，故選C．8．B由三視圖可知該幾何體上半部分為半球，下面是一個圓柱，所以其表面積為.9.C因為，所以,,又，所以整數(shù)最小值為1024.故選C．10.A因為，所以被10除得的余數(shù)為1，而2011被10除得的余數(shù)是1，故選A．11.A設(shè)，斜率分別為，則的斜率為，且，所以，同理，因此.故選A．12．C因為，所以，所以.因為，且，所以恒成立恒成立恒成立，即恒成立，所以恒成立，又因為時，，所以.故選C.二、填空題13.121令，則；令，則，所以.14.，令，作出不等式組表示的可行域，分析知當(dāng)時，．所以，解之得或（舍去），所以.15.－1，若函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則或.∴，∴，又∵，∴，此時.16.∵，①，∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，②由②-①，得，即.又∵是以－1為首項，為公比的等比數(shù)列，∴，即，∴.當(dāng)時；當(dāng)時，，且，所以當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以數(shù)列的最大項為.三、解答題17.解：(1)因為，所以，所以，所以.又因為，所以.(2)因為，，，所以，所以.因為，所以.又因為，所以，所以.18．證明：(1)由題設(shè)知，故兩兩垂直，建立如圖直角坐標系，則由題知，故.又，故，∴.又，故.設(shè)平面的一個法向量為．又,所以取，得.所以．又因為不在平面上，故直線平面；(2)由(1)可知為平面的一個法向量，又,故.19.解：(1)因為在被抽取的50人中，持滿意態(tài)度的學(xué)生共36人，所以持滿意態(tài)度的頻率為，據(jù)此估計高三年級全體學(xué)生持滿意態(tài)度的概率為.（2）的所有可能取值為O，1，2，3；；；.的分布列為.20．解：(1)據(jù)題設(shè)分析知，點的軌跡是以點為焦點，直線為準線的拋物線，所以曲線的方程為.(2)設(shè)，點，點，直線的方程為，化簡，得，又因為內(nèi)切圓的方程為．所以圓心到直線的距離為1，即，所以，由題意，得，所以.同理，有，所以是關(guān)于的方程的兩根，所以因為所以.因為，所以.直線的斜率，則，所以.因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，所以，所以，所以.所以的取值范圍是.21．解：(1)，因為函數(shù)在處取得極值，所以，即，解得，且經(jīng)檢驗成立.(2)因為函數(shù)在區(qū)間上為增函數(shù)，所以對恒成立．討論：當(dāng)時，對上恒成立，所以在上為增函數(shù)，故符合題意．當(dāng)時，，所以，且對上恒成立，令，其對稱軸方程為，又因為，所以，所以要使對上恒成立，只要即可，即，所以.又因為，所以.綜上，實數(shù)的取值范圍為.(3)當(dāng)時，方程可化為.所以在區(qū)間上有解.引入，令，則，所以當(dāng)時，，從而函數(shù)在上為增函數(shù)；當(dāng)時，，從而函數(shù)在上為減函數(shù)，因此.又，所以當(dāng)時，．又，所以，因此當(dāng)時，取得最大