第十章第五節(jié)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束第二類曲面積分二、第二類曲面積分的概念與性質(zhì)一、有向曲面三、第二類曲面積分的計(jì)算.一、有向曲面觀察以下曲面的側(cè)(假設(shè)曲面是光滑的)曲面分上側(cè)和下側(cè)曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.曲面的分類:1.雙側(cè)曲面;2.單側(cè)曲面.典型雙側(cè)曲面機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:播放機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.定義：用曲面法向量的指向規(guī)定曲面的側(cè)，規(guī)定了側(cè)的曲面稱為有向曲面。機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.曲面?zhèn)鹊木唧w規(guī)定如下：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.二、第二類曲面積分引例:流體流向曲面一側(cè)的流量.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解：利用微元法分割、近似、求和、取極限.則該點(diǎn)流速為單位法向量為.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.分割.3.求和機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.近似則該點(diǎn)流速為：.3.取極限機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.第二類曲面積分的定義：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.——兩類曲面積分之間的關(guān)系機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則則.稱為Q

在有向曲面上對

z,x

的曲面積分;稱為R

在有向曲面上對x,y

的曲面積分.稱為P

在有向曲面上對y,z

的曲面積分;機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束——第二類曲面積分的坐標(biāo)表示其中：.第二類曲面積分存在的必要條件:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束說明：.基本性質(zhì)：（1）線性性質(zhì)：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解：.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解：.三、第二類曲面積分的計(jì)算法機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束則.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束合一投影法.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束合一投影法.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束合一投影法.

?

若則有?若則有(前正后負(fù))(右正左負(fù))說明:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束

?

若則有(上正下負(fù))分面投影法.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:合一投影法.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束合一投影法.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解1:關(guān)于y是奇函數(shù).例5：解1機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束合一投影法.解2利用兩類曲面積分之間的關(guān)系機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束例5：.解:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束根據(jù)對稱性

思考:

下述解法是否正確:注意：第二類曲面積分沒有奇偶對稱性！.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.說明：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束..機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解:同理：

所以：原式分面投影法.例8：

求取外側(cè).解1:注意±號其中機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束分面投影法.類似的機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束向yoz平面投影向zox平面投影分面投影法.例8：

求取外側(cè).解2:其中機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束橢球面的參數(shù)方程.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解2:.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束奇函數(shù).四、內(nèi)容小結(jié)定義:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束聯(lián)系:.則機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束1.合一投影法計(jì)算:其它情況類似。.時(shí)，（上側(cè)取“+”,下側(cè)取“”)機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束當(dāng)2.分面投影法其它情況類似。注意：

在第二類曲面積分中，由于積分與曲面的側(cè)有關(guān)，因此要慎用對稱性。一般的講，應(yīng)在曲面積分化為二重積分后再考慮能否利用對稱性來化簡計(jì)算。.作業(yè)習(xí)題9-5(P288)2，5，6，7，9機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.解：機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束合一投影法備用題.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束關(guān)于x是奇函數(shù).機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解1:.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束解2:.3、設(shè)是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計(jì)算解1:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.3、設(shè)是其外法線與z軸正向夾成的銳角,計(jì)算解2:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏斯帶典型單側(cè)曲面:機(jī)動目錄上頁下頁返回結(jié)束.莫比烏