相似三角形幾何模型-一線三等角2022-9一線三等角引入：已知：∠B=∠ACE=∠D=a求證：：（1）△ABC∽△CDE（3）如圖2當(dāng)c為BD為中點(diǎn)，求證：AC平分∠BAE，EC平分∠AED.反之亦然。圖1圖2例1：如圖，等邊△ABC中，邊長為6，D是BC上動(dòng)點(diǎn)，∠EDF=60°當(dāng)BD=1，F(xiàn)C=3時(shí)，則BE=變式：如圖，D是等邊△ABC邊AB上的點(diǎn)，AD=2，DB=4．現(xiàn)將△ABC折疊，使得點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕為EF，且點(diǎn)E、F分別在邊AC和BC上，則=_______．例2：如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，連接AD、DE．且∠B＝∠ADE＝∠C．（1）證明：△BDA∽△CED；（2）若∠B＝45°，BC＝6，當(dāng)點(diǎn)D在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)D不與B、C重合）．且△ADE是等腰三角形，求此時(shí)BD的長．例3：如圖，已知直線y=-x+b與y軸相交于點(diǎn)B（0，3），與x軸交于點(diǎn)A，將△AOB沿y軸折疊，使點(diǎn)A落在x軸上的點(diǎn)C．（1）求點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）設(shè)點(diǎn)P為線段CA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P與點(diǎn)A、C不重合．聯(lián)結(jié)PB．以點(diǎn)P為端點(diǎn)作射線PM交AB于點(diǎn)M，使∠BPM=∠BAC．①求證：△PBC∽△MPA．②是否存在點(diǎn)P，使△PBM為直角三角形？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．課后作業(yè)：1.如圖，點(diǎn)M是AB上一點(diǎn)，AE與BD交于點(diǎn)C，，且DM交AC于F，ME交BC于G．找出圖形中所有的相似三角形2.如圖，D是等邊△ABC邊AD上的一點(diǎn)，且AD：DB=1：2，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF，點(diǎn)E、F分別在AC、BC上，則CE：CF=（）A． B． C． D．3.如圖，等邊的邊長為，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，將等邊沿過點(diǎn)的直線折疊，該直線與直線交于點(diǎn)，使點(diǎn)落在直線上的點(diǎn)處，且折痕為則的長為______．4.等腰△ABC，AB=AC=8，∠BAC=120°，P為BC的中點(diǎn)，小慧拿著含30°角的透明三角板，使30°角的頂點(diǎn)落在點(diǎn)P，三角板繞P點(diǎn)旋轉(zhuǎn)．

(1)如圖a，當(dāng)三角板的兩邊分別交AB、AC于點(diǎn)E、F時(shí)．求證：△BPE～△CFP；

(2)操作：將三角板繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)到圖b情形時(shí)，三角板的兩邊分別交BA的延長線、邊AC于點(diǎn)E、F．探究１：△BPE與△CFP還相似嗎？探究２：連結(jié)EF，△BPE與△PFE是否相似？請說明理由；設(shè)EF=m,△EPF的面積為S，試用m的代數(shù)式表示S。5.數(shù)學(xué)模型學(xué)習(xí)與應(yīng)用．【學(xué)習(xí)】如圖1，，，于點(diǎn)C，于點(diǎn)E．由，得∠1=∠D；又，可以通過推理得到≌．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型；(1)【應(yīng)用】如圖2，點(diǎn)B，P，D都在直線l上，并且．若，，，用含x的式子表示CD的長；(2)【拓展】在中，點(diǎn)D，E分別是邊BC，AC上的點(diǎn)，連接AD，DE，，，．若為直角三角形，求CD的長；(3)如圖3，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B為平面內(nèi)任一點(diǎn)．是以O(shè)A為斜邊的等腰直角三角形，試直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)．6.（1）數(shù)學(xué)課上，老師給出了一個(gè)模型∶如圖1，∠BAD=∠ACB=∠AED=90°，由∠1+∠+2+∠BAD=180°，∠2+∠D+∠AED=180°，可得∠1=∠D；又因?yàn)椤螦CB=∠AED=90°，可得△ABC∽△DAE，進(jìn)而得到．我們把這個(gè)數(shù)學(xué)模型稱為“一線三等角”模型．應(yīng)用∶（2）實(shí)戰(zhàn)組受此模型的啟發(fā)，將三等角變?yōu)榉侵苯?，如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D在邊BC上，并且DA=DE，∠B=∠ADE=∠C．若BC=a，AB=b，求CE的長度（用含a，b的代數(shù)式表示）．

拓展∶（3