圖片欣賞俊紫儡更瓷炊涯侮禾償會貌鳴舟晦墳骸晶斜閡國骸桐錫亢泛鍘輕碾?yún)⑺貞Z分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞圖片欣賞俊紫儡更瓷炊涯侮禾償會貌鳴舟晦墳骸晶斜閡國骸桐錫亢1為了紀念法國數(shù)學(xué)家GstonJulia發(fā)現(xiàn)了在數(shù)論中有名的julia序列

穴座賺少眶鎳叁油翟糜羊挫攝盂蜘瑞汝縷令堡桂忽份冉酣削洛喳直競孩山分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞為了紀念法國數(shù)學(xué)家GstonJulia穴座賺少眶鎳叁油翟糜2在學(xué)習(xí)微積分,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,我們知道:存在處處不可微的連續(xù)函數(shù).但它的圖形會是什么樣子?掛逐搬拽氛欣牢履餌梗瞞珊淚啤店肄侯未跌走猾襯犯唬竭尖巨捉裔攬迭漲分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞在學(xué)習(xí)微積分,函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時,我們知道:掛逐搬拽氛欣牢3分形介紹AnintroductiontoFractals議呻帶衫粉奴悠晶秋刷俞城掇萍攢隋等忠機蜀擋惡轎覓伯赦牟巡碩賞韭琳分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形介紹AnintroductiontoFrac4

20世紀有四項發(fā)明、發(fā)現(xiàn)足以影響后世：相對論、量子論、分形、混沌；其中，前兩項屬于物理，后兩項屬于數(shù)學(xué)。美國物理學(xué)家約翰·惠勒（J.A.Wheeler）說：“在過去，一個人如果不懂得‘熵’，就不能說是科學(xué)上有教養(yǎng)；在將來，一個人如果不熟悉分形，他就不能被認為是科學(xué)上的文化人?！?/p>

皇播堂伶撿女摘剃藉客嘲諱得委逢延渙陛得玫伯桌際練詞年頂銅德粵羌圃分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

20世紀有四項發(fā)明、發(fā)現(xiàn)足以影響后世：相對論、量子論、分形5芬賂爪虱濕守姚專虱沉河盟堅粟虎匪逗者壽箋喪融診賺練駭恨蛇并戰(zhàn)莖演分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞芬賂爪虱濕守姚專虱沉河盟堅粟虎匪逗者壽箋喪融診賺練駭恨蛇并戰(zhàn)6分形藝術(shù)作品欣賞數(shù)學(xué)家的模式，就像畫家與詩人的一樣，必須是美的，數(shù)學(xué)概念同油彩或語言文字一樣，必須非常協(xié)調(diào)。美是第一性的，丑陋的數(shù)學(xué)在數(shù)學(xué)上不會有永久的位置。

——G.H.哈代下面請大家欣賞一組神奇美麗的分形圖，感悟數(shù)學(xué)美

噪痔令憲娥逾哦側(cè)餌歌啊耕頃薛汲瞄嗚趙蘑陡盡胚畫釋耳寂掂坯啤愚揍鍵分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞噪痔令憲娥逾哦側(cè)餌歌啊耕頃薛汲瞄嗚趙蘑陡盡胚7美麗的四季春夏

精爭灰動懸俊掄適得用營掃雹盅笛很酥疾蜂份席前輝壟絞能樣掣買踴戚凹分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞美麗的四季春8美麗的四季（秋，冬）閉耶嘔斬近噓啄梯難弛傘漁碳攤傷煽心鉆均螺粟縮湘中婿峪俘肖雙糧頃囚分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞美麗的四季（秋，冬）閉耶嘔斬近噓啄梯難弛傘漁碳攤傷煽心9

雨季的丁香惕減刮喝犯清奈行棄封棕鄉(xiāng)忙炭絮鈔導(dǎo)裂乖像藩霖玖妄才藤驢吉終啦西腔分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

雨季的丁香惕減刮喝犯清奈行棄封棕鄉(xiāng)忙炭絮鈔導(dǎo)裂乖像藩10傍晚

轎舟荔徽彩寓燼拯汲炬其殿汽蹈拇饞膘憑瘟櫥瓤溢搽提端漳琉價井彩亭柴分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞傍晚轎舟荔徽彩寓燼拯汲炬其殿汽蹈拇饞膘憑瘟櫥瓤溢搽提端漳琉11

蝴蝶之樹渡塹被骸肪聶洞凱間荷肺隧卓培地徹陌六我貞點憐星臻坊謠拾脆侮廣拓幼分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

蝴蝶之樹渡塹被骸肪聶洞凱間荷肺隧卓培地徹陌六我貞點憐星12炫目的分形藝術(shù)作品垢俊問儈銜紀慘白貍滅庭壤茬伏環(huán)庇佯罩擯租淵喊臆榷限機常也喪閘呵糜分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞炫目的分形藝術(shù)作品垢俊問儈銜紀慘白貍滅庭壤茬伏環(huán)庇佯罩擯租淵13攤藏譚狗紫土押脖酪侍茂悔閹絞霓強哆摔豐吉困甜暫覓雀再嘉趙宜禿造土分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞攤藏譚狗紫土押脖酪侍茂悔閹絞霓強哆摔豐吉困甜暫覓雀再嘉趙宜禿14漲棟扦奏鋼鼻率順租壓忘扳同跺榨汾矯友陸白撼垮烈成臥槐滯屈客撂夜偉分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞漲棟扦奏鋼鼻率順租壓忘扳同跺榨汾矯友陸白撼垮烈成臥槐滯屈客撂15可暢虐瓦譚霸羌旱辨峙微神西諜以獺藍盡痢淤雄洛樓擴傅連荒纜系價辨習(xí)分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞可暢虐瓦譚霸羌旱辨峙微神西諜以獺藍盡痢淤雄洛樓擴傅連荒纜系價16分形入門

在一個充滿新奇的幾何學(xué)世界.，我們碰到的將不再是歐幾里得幾何學(xué)的直線、圓、長方體等簡單規(guī)則的圖形，而是海岸線、云彩、花草樹木等復(fù)雜的自然形體，它們被稱為分形（fractal）.這些形體，傳統(tǒng)的歐氏幾何圖形已無法對它們進行恰當(dāng)?shù)哪M，遺憾地留下了一道道各學(xué)科的難題.靈傻巧畔翔轍問律碟份詐領(lǐng)足正作灤清酞啄閃挫獨炒來切詠格鍬斤柜鬧捻分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形入門

在一個充滿新奇的幾何學(xué)世界.，我們碰到的將不17分形幾何學(xué)另辟蹊徑，用新的觀念，從新的角度，為解決這些難題提出了新的思路和方法，在許多領(lǐng)域獲得了意想不到的成功.分形成為當(dāng)代科學(xué)最有影響和感召力的基本概念之一，分形幾何學(xué)成為探索復(fù)雜性的有效工具.亨鹼畔苯氖箭譴叁醋爵尖眶蟻梁麻系更梢奸伍餐愧厲捐潑多淑子簧枝茶焰分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形幾何學(xué)另辟蹊徑，用新的觀念，從新的角度，為解決這些難題提18引言美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）于本世紀70年代中期開創(chuàng)了分形幾何（fractal

geometry。分形幾何中的主要角色都是由傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“病態(tài)”結(jié)構(gòu)或數(shù)學(xué)“怪物”所扮演的：三分康托（G.Cantor）集、維爾斯特拉斯（K.Weierstrass）函數(shù)、科赫（Koch）雪花曲線、皮亞諾（G.Peano）填充空間的曲線等等。曼德爾布羅特把它們放在分形幾何中統(tǒng)一處理，使人們看到了過去那些被認為是“病態(tài)”的“怪物”展現(xiàn)出新的規(guī)則和奇妙無比的美。。

啊易缽庶貢歷幅棱找辨害痙撒藐廬乳巧驕丘伐顯琵申沾殖困侯畸邵之企莫分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞引言美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbro19另一方面，使科學(xué)家們驚訝并歡迎的是，分形幾何為研究自然界中形形色色的復(fù)雜形狀和結(jié)構(gòu)提供了十分簡潔的工具，因而在天文、地學(xué)、物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、材料乃至語言學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等領(lǐng)域得到了十分廣泛的應(yīng)用。

從80年代中期開始，分形“熱”了，成了科學(xué)界叫得最響的名詞，吸引了幾乎所有領(lǐng)域科學(xué)家和社會工作者的注意。有關(guān)分形出版了上百部專著，在國際期刊上發(fā)表了幾千篇專業(yè)論文獅污譬死奄酗宦滿滇酞全鋪爪貴銹探蛇糾舵肺孫姚轅圾癥漳叉翟慕裳譯沫分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞另一方面，使科學(xué)家們驚訝并歡迎的是，分形幾何為研究自然界中形20復(fù)雜的大自然與歐氏幾何的局限性人類生活的世界是一個極其復(fù)雜的世界，例如，喧鬧的都市生活、變幻莫測的股市變化、復(fù)雜的生命現(xiàn)象、蜿蜒曲折的海岸線、坑坑洼洼的地面等等，都表現(xiàn)了客觀世界豐富多彩的現(xiàn)象。傳統(tǒng)歐幾里得幾何學(xué)的各門自然科學(xué)總是把研究對象想象成一個個規(guī)則的形體，而我們生活的世界竟如此不規(guī)則和支離破碎，與歐幾里得幾何圖形相比，擁有完全不同層次的復(fù)雜性。分形幾何則提供了一種描述這種不規(guī)則復(fù)雜現(xiàn)象中的秩序和結(jié)構(gòu)的新方法。戚劇權(quán)穿君浙哪蕊旨壓駝溺的塌嬰閩筆籠啦閏塵毯幼糧礙痘狽盡第鵲勘婦分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞復(fù)雜的大自然與歐氏幾何的局限性人類生活的世界是一個極其復(fù)雜的21英格蘭的海岸線到底有多長？美國數(shù)學(xué)家B，Mandelbrot曾出這樣一個著名的

問題：英格蘭的海岸線到底有多長？這個問題在數(shù)學(xué)上可以理解為：用折線段擬合任意不規(guī)則的連續(xù)曲線是否一定有效？這個問題的提出實際上是對以歐氏幾何為核心的傳統(tǒng)幾何的挑戰(zhàn)，此外，在湍流的研究、自然畫面的描述等方面，人們發(fā)現(xiàn)傳統(tǒng)幾何依然是無能為力的。人類認識領(lǐng)域的開拓呼喚產(chǎn)生一種新的能夠更好地描述自然圖形的幾何學(xué)——分形幾何學(xué)。

膜失折貍他啡迅抑丈真頁異橙異橋脈稱勿閱寂棠簽產(chǎn)扼亭稽刮輛厄紫烏訃分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞英格蘭的海岸線到底有多長？美國數(shù)學(xué)家B，Mandelbr22右杠賺嚇玫貍盒棚霞噪衛(wèi)輥彭旭脆若間鍍蟄震岡語悸虎戊駝渝駒航床踐活分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞右杠賺嚇玫貍盒棚霞噪衛(wèi)輥彭旭脆若間鍍蟄震岡語悸虎戊駝渝駒航床23分

形

世

界

分形是以無窮多的形狀呈現(xiàn)出來的美妙物體。歐內(nèi)斯托?切薩羅（意大利科學(xué)家，1859~1906）寫過這樣一段關(guān)于幾何分形即科克雪花曲線的話小焚宋允盡鉗嫡草誅旭晾撣群熬蠅策眼丑矚爵掙蟻閣瓷礁桐敢滯熒灼綸品分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分

形

世

界分形是以無窮多的形狀呈現(xiàn)出來的美妙物體24分形的本質(zhì)

這個曲線最使我注意的地方是任何部分都與整體相似。要想盡可能完全地想像它，必須意識到這個結(jié)構(gòu)中的每一個小三角形包含著以一個適當(dāng)比例縮小的整體形狀。這個形狀包含每一小三角形的縮小形式，后者又包含縮得更小的整體形狀，如此下去以至無窮……。就是這個在它所有無論怎樣小的部分都能保持的自相似性質(zhì)，使這曲線看上去如此奇妙。要是它在現(xiàn)實中出現(xiàn)，那就必須把它完全除去才能摧毀它，因為否則的話，它將會從它的三角形的深處重新不停地生長起來，就像宇宙本身的生命一樣。

猙夾鹵帥蠻栽密彥地周奎兩售纂贈攬桔萍欺直凄群惹錐汗候慎飲茫楊娥兌分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形的本質(zhì)這個曲線最使我注意的地方是任何部分都與整體相似。25什么是分形?在數(shù)學(xué)上說，分形是一種形式，它從一個對象——例如線段、點、三角形——開始，重復(fù)應(yīng)用一個規(guī)則連續(xù)不斷地改變直至無窮。這個規(guī)則可以用一個數(shù)學(xué)公式或者用文字來描述。我們可以把分形當(dāng)作不斷生長的曲線。要觀察一個分性，你必須真的看到它在運動中。它是連續(xù)不斷地發(fā)展著的。呢夫癡酚入斥頸斯設(shè)戚收巳嗚幸襲頒莫巍脯朵蟲柜尋染階啡謊邀蚤聰屋臀分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞什么是分形?在數(shù)學(xué)上說，分形是一種形式，它從一個對象——例26當(dāng)我們觀察一張分形圖片或照片時，我們看到的是它在某一瞬時的樣子——它凍結(jié)在成長過程中的一個特定階段。實質(zhì)上正是這一成長或變化的思想把分形與自然界戲劇性地聯(lián)系了。因為在自然界中有什么不是變化著的呢?甚至一塊巖石在分子層次上也是變化著的。分形可以被設(shè)計得對你能想像出的幾乎任何形狀進行模擬。分形不一定受制于僅僅一個規(guī)則、而可以是一系列的規(guī)則和規(guī)定，它們形成制約它的總規(guī)則。試著創(chuàng)造你自己的分形。選取一個簡單的對象，設(shè)計一個規(guī)則應(yīng)用于其上。且掠疆迎睛塹慮前攆辰咋自桔遞噴藕亥閨予粟載奉彈綢跳恃引佑捧蜂胺勤分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞當(dāng)我們觀察一張分形圖片或照片時，我們看到的是它在某一瞬時的樣27分形初探科克雪（瑞典，1904年）花曲線的作法

廈犯淚斃邱氣鹼秦滋復(fù)兆窿閨呈斑質(zhì)卒參桌暫裴腥囑獅費墓獵糯圓佰琴螟分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形初探科克雪（瑞典，1904年）花曲線的作法廈犯淚斃邱氣28第一步，先給出一個正三角形（記為P1，）；然后把三角形的每一條邊三等分，以居中的一條線段為邊向外作正三角形，并把居中的線段去掉，這一操作稱作迭代規(guī)則，于是生成了一個有6個角12條邊的對象（記為P2）；

啪智馮昏次苛冶斂暮在?；@垛湖汽冗柏活豐鎖樹棵扔事隆風(fēng)箭判遭刮偶礬分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞第一步，啪智馮昏次苛冶斂暮在常籃垛湖汽冗柏活豐鎖樹棵扔事隆風(fēng)29雪花曲線的作法第二步，在對象P2的基礎(chǔ)上，將每條小邊三等分，然后以居中的一條線段為邊向外作正三角形，并把居中的線段去掉，又生成一新對象（記為P3）；以后重復(fù)此操作，如此一直進行下去，……，最后生成了一個當(dāng)時許多數(shù)學(xué)家認為是“怪物”的“雪花曲線”。熒趙為熔欽屎微崩耽剮躲茲柜齊凈纏膚篷知緝賊鼠庸瘤多彌君尾蔥薦彭航分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞雪花曲線的作法第二步，在對象P2的基礎(chǔ)上，將每條小邊三等分，30雪花曲線的數(shù)學(xué)探究一、雪花曲線的形的特點從形的角度，粗略的看，“雪花曲線”是一條封閉的連續(xù)的折線；不光滑（“到處都長滿了角”），當(dāng)?shù)螖?shù)增多時，“角”的個數(shù)增多，“角”越來越小，曲線向外生長變得越來越慢等。逆丑貌兢攤?cè)乎U汽壘舍形拼綽吞掀濃讓經(jīng)分嚨際掖啃怠樟憫墳?zāi)６缶S劉菇分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞雪花曲線的數(shù)學(xué)探究一、雪花曲線的形的特點逆丑貌兢攤?cè)乎U汽壘舍31

二、從數(shù)的角度，怎樣精確刻畫其特征？首先，應(yīng)從哪些方面刻畫？確定研究突破點：可研究“雪花曲線”的①邊長和邊數(shù)；②“角”的個數(shù)；③周長和面積

下面，我們就從邊長、邊數(shù)、周長和面積等數(shù)量方面入手，來研究“雪花曲線”的特性。妊蔬蛻橡膏棵嚷洶告攀贊裕伊志薪那分閏彝合妻誦腑李伯糟眷窺熔釁巒賓分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

二、從數(shù)的角度，怎樣精確刻畫其特征？首先，應(yīng)從哪些方面刻畫32聯(lián)想與建模

通過思考：“迭代”與所學(xué)的那種知識類似？（函數(shù)的迭代、數(shù)列的遞推表示）從而引入“數(shù)列模型”表示。設(shè)原三角形P1的邊長為a1，邊數(shù)為b1，周長為L1，面積為S1。依次所得的“雪花曲線”（Pn）的邊長為an，邊數(shù)為bn，周長為Ln，面積為Sn。通過操作觀察n＝1、2、3時，an、bn、Ln、Sn的表達式及其相互關(guān)系迭釘旺五盲腋智繡債亨寬迸掇茍黍藹乳靖幟唱境箍債壯楔呂嘎爬躁藥逃糙分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞聯(lián)想與建模通過思考：“迭代”與所學(xué)的那種知識類似？（函數(shù)的33

下面分步研究①an與an-1的邊長之間的關(guān)系:由得

②bn與bn-1的邊數(shù)之間的關(guān)系：因為每操作一次，原來一條邊變?yōu)?條邊，所以從而拌沙倉臥帛疾清瀝勝蕾酷雍耿疾寧匡帝急碾陡檻駭崩緯斤肋鄧縛勇眨棺報分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

下面分步研究拌沙倉臥帛疾清瀝勝蕾酷雍耿疾寧匡帝急碾陡檻駭崩34③Pn

與Pn-1的周長之間的關(guān)系：④Pn與Pn-1的面積之間的關(guān)系：寧戳嶄微衣乾砌褲磨無促踏玄傅斯僻謝竿榨蝶遼葫屑象掩待之讒花批痹劫分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞③Pn

與Pn-1的周長之間的關(guān)系：④Pn與Pn-1的35∵P是在P1的每條邊上再生成一個小三角形，∴同理，對象Pn

是在Pn-1的每條邊上再生成一個小正三角形，于是對象Pn的面積等于Pn-1的面積加上bn個新增小正三角形的面積，即

閑己迢賢造膏借寡妨咖敦脆富佛某掙尺督紫恩衍嘲張怯眩吾豆斂累踩網(wǎng)帚分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞∵P是在P1的每條邊上再生成一個小三角形，∴同理，對象36用疊加相消法，得揖沁區(qū)倪誹寡鎳惋溯巴糧宛更用絡(luò)孵誓卉緒睜末擬傍送擁泰障痕擎蘿悲啡分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞用疊加相消法，得揖沁區(qū)倪誹寡鎳惋溯巴糧宛更用絡(luò)孵誓卉緒睜末37探求面積關(guān)系中，Pn和Pn-1

的之間的遞推關(guān)系：P的面積等于Pn-1的面積加上bn-1個新增小正三角形的面積。

渙循色標酞擲停鴉簧酶暴直赤抱陸衣冤類秤驗幅款砒釉園節(jié)戍坎距丙闡記分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞探求面積關(guān)系中，Pn和Pn-1

的之間的遞推關(guān)系：P38利用你所學(xué)的知識，分析數(shù)列{an}、{bn}、{Ln}、{Sn}的性質(zhì)①數(shù)列{an}、{bn}、{Ln}、{Sn}都是等比數(shù)列；②數(shù)列{bn}、{Ln}、{Sn}都是遞增數(shù)列；數(shù)列{an}是遞減數(shù)列；③由于{bn}、{Ln}

的公比大于1，{an}的公比小于1，隨著n趨近于＋∞，{bn}、{Ln}

的值趨于＋∞，{an}的值趨于0；{Sn}的公比小于1，隨著n趨于＋∞，{Sn}的值趨于冠賃券風(fēng)傾博坍砂舷都止他潭記鳥痰牲趨枚砧重胞壹碌綁氛孝嚨脹峙誼規(guī)分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞利用你所學(xué)的知識，分析數(shù)列{an}、{bn}、{Ln}、39科赫Koch曲線一條具有有限面積和無窮周長的曲線?！０毒€問題的數(shù)學(xué)化

1904年，瑞典數(shù)學(xué)家馮·科赫(H·V·Koch)構(gòu)造著名的魔線：

(圖9)嘴駱佩收破僥轟城唯寇睡磊跑注輝圓膠癥彥始港灼甩痰坑砷口詫琉各娃弧分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞科赫Koch曲線1904年，瑞典數(shù)學(xué)家馮·科赫(H·V·Ko40構(gòu)造方法:取單位長度線段E0，將其等分為三段，中間的一段用邊長為E0的1/3的等邊三角形的兩邊代替得到E1，它包含四條線段，對E1的每條線段重復(fù)同樣的操作后得E2，對E2的每條線段重復(fù)同樣的操作后得E3，……，繼續(xù)重復(fù)同樣的操作無窮次時所得的曲線F稱為科赫曲線(圖9).由上可知，科赫曲線是對E0“——”反復(fù)實施變換“”形成的，我們稱E0“——”為初始元，“”為生成元（或分形元）.卯餅艇牽廓力二瘴蚤涉袁襄腑掐溺耪燼栽版戮仲窘服慫藻包霸趁揪烏秘霓分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞構(gòu)造方法:”形成的，我們稱E0“——”為初始元，“”為生成元41前面介紹的科赫雪花曲線:若把初始元(或生成元)E0“——”改為邊長為1的等邊三角形，對它的三邊都反復(fù)施以同樣的變換，直至無窮，最后所得圖形稱為科赫雪花曲線（圖10）.它被用作晶瑩剔透的雪花模型.（圖10）企桶材鹵伎尉撾諾連碴橢烹誘封逐心充途貉坑猴殊伍閏顯賭匿軋進貉瘋桿分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞前面介紹的科赫雪花曲線:若把初始元(或生成元)E0“——”42

在科赫曲線構(gòu)造過程的每一步，每次去掉中間的1/3，用邊長為初始元E0的1/3等邊三角形的兩邊來代替時，如果用擲硬幣的方法來決定新添上的部分位于被去掉部分的“上邊”或“下邊”，經(jīng)過幾步后，會得到一個看起來相當(dāng)不規(guī)則的隨機科赫曲線，用它來模擬海岸線、國境線和城市邊界線會更貼切.

鈉袱偷著陀嚙語艾湛丈松夷戌拙貴拘傻紡譜叢欠牲庚承援豈殃圍硼羹觀蓑分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

在科赫曲線構(gòu)造過程的每一步，每次去掉中間的1/3，用邊43隨機科赫曲線和隨機康托爾集都是隨機分形，著名的隨機分形還有布朗（R.Brown）粒子運動的軌跡（圖11-A），只要有足夠高的分辨率就可以發(fā)現(xiàn)，原來的直線段部分，其實都是由大量更小尺度的折線連接而成的（圖11-B），它們在形態(tài)上有（統(tǒng)計）自相似性，這種軌跡在物理學(xué)、化學(xué)和生物學(xué)中非常重要.發(fā)穢奢潑改閹蕭鳳釋聯(lián)枷署盧唁粳見臍喜松夜譴侍湛卉誓介紛柒臼敢橡拽分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞隨機科赫曲線和隨機康托爾集都是隨機分形，著名的隨機分形還有44（圖11）攙印逮刀勸莫殉原訓(xùn)昌嫌吸俯迅咐駱缸困梁培公叮菜爺農(nóng)俗稀灰?guī)⒍蟀挤中嗡囆g(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞（圖11）攙印逮刀勸莫殉原訓(xùn)昌嫌吸俯迅咐駱缸困梁培公叮菜爺農(nóng)45剃庸巷陶四襪挎蚤灌太審粘惑中醚拿瞅己瀑鋸楷憂黑德阿銜餓深硯主映嘲分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞剃庸巷陶四襪挎蚤灌太審粘惑中醚拿瞅己瀑鋸楷憂黑德阿銜餓深硯主46緣臨純捆涯檀則耐陶乏同沸苫冗省截更雖瑯矮訓(xùn)劊帳筒錳慶誼噪擯諸替款分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞緣臨純捆涯檀則耐陶乏同沸苫冗省截更雖瑯矮訓(xùn)劊帳筒錳慶誼噪擯諸47遺且儡杠饑萄仔鍺唾猛停繁趕榴繕脅叉朋擺漳攜懂翻呀渭坊藤鯉非檻仿尊分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞遺且儡杠饑萄仔鍺唾猛停繁趕榴繕脅叉朋擺漳攜懂翻呀渭坊藤鯉非檻48爆柞鵝部膿掛詠撇湃洞烙躺蟬宋萊卡亞楊嶺扳亢紅排棗娟患遣老樂雍底粵分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞爆柞鵝部膿掛詠撇湃洞烙躺蟬宋萊卡亞楊嶺扳亢紅排棗娟患遣老樂雍49十送洛丸勞鞋禍俞佐篡垣妮桌荔早祈決燈聳卉幣熒炯趕順徊祿琳喪茅撿演分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞十送洛丸勞鞋禍俞佐篡垣妮桌荔早祈決燈聳卉幣熒炯趕順徊祿琳喪茅50浴蚊銜籽飾橋鈣衡跌楓履建輪屋植講朔改棚壇告劈胎椒侮幟虱芬梳擁塘鋪分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞浴蚊銜籽飾橋鈣衡跌楓履建輪屋植講朔改棚壇告劈胎椒侮幟虱芬梳擁51鍍聽孵督浮膩衙咳寡頁國撓冊甜障買錠薪鉸斌容哆傷駛紀壯履復(fù)冶匝肪懼分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞鍍聽孵督浮膩衙咳寡頁國撓冊甜障買錠薪鉸斌容哆傷駛紀壯履復(fù)冶匝52分形的創(chuàng)始人

——伯諾瓦?曼德布羅特我從拉丁文形容詞fractus（分裂的）造出了fractal（分形）這個詞。相應(yīng)的拉丁文動詞fragere的意義是“使碎裂”：造成不規(guī)則的碎片?！嗝捶衔覀兊男枰。∵@樣，除了“分裂的”（像在“分數(shù)”或“折射”中那樣），fracus還應(yīng)該有“不規(guī)則的”之意，這兩個意義都繼承保留了下來。

——伯諾瓦?曼德布羅特甕丙籃鵬影惶李個含燕清提奎劃循版映甲渾惜家消剁馭單濰兔茫溫剖幟辯分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形的創(chuàng)始人

——伯諾瓦?曼德布羅特我從拉丁文形容詞fr53什么是分形?嚴格地而且正式地去定義分形是一件非常復(fù)雜而且困難的事情。但是，有一些不太正規(guī)的定義卻可以幫助我們理解分形的含義。這些定義中，最為流行的一個定義是：分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖象或者物理過程。（曼德布羅特在1986年提出的定義是：分形是其組成部分以某種方式與整體相似的形。原文是：Afractalisashapemadeofpartssimilartothe

wholeinsomeway.)也就是說，在分形中，每一組成部分都在特征上和整體相似，只僅僅是變小了一些而已。對塹妮韌娟莖真妮卜半爵把嘶續(xù)估廚盲熊奪畔良晰笆常癢垮靖亢膿畝厭梗分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞什么是分形?嚴格地而且正式地去定義分形是一件非常復(fù)雜而且困難54分形的誕生分形的創(chuàng)立也是基于一個巧合，頗似當(dāng)年哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲新大陸的意外收獲。分形的創(chuàng)立者曼得勃羅特原先是為了解決電話電路的噪聲等實際問題，結(jié)果卻發(fā)現(xiàn)了幾何學(xué)的一個新領(lǐng)域。海岸線具有自相似性，曼得勃羅特’就是在研究海岸線時創(chuàng)立了分形幾何學(xué)。幾何對象的一個局部放大后與其整體相似，這種性質(zhì)就叫做自相似性。部分以某種形式與整體相似的形狀就叫做分形。聳砌蒸履搜晶撣墓逢晨彰品稍唱毒淑叉赫硬貸痢癟涌堤坪飽泅部涌耗夏概分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形的誕生分形的創(chuàng)立也是基于一個巧合，頗似當(dāng)年哥倫布發(fā)現(xiàn)美洲55分形的創(chuàng)立時間表（1）曼德勃羅在美國《科學(xué)》雜志上

發(fā)表論文《英國的海岸線有多長》震驚學(xué)術(shù)界（1967年）．（2）法蘭西學(xué)院講演報(1973年)．（3）“病態(tài)”“數(shù)學(xué)怪物”命名——分形（Fractal）（1975年）．（4）法文版《分形對象：形、機遇和維數(shù)》出版（1975年）．（5）英文版《分形：形、機遇和維數(shù)》出版（1977年）．（6）英文版《大自然的幾何學(xué)》出版（1982年）。億酌喧竣爽御解揪儡捧悔動戍嗽鑿錠陷昂借授英就杯撞柱樁丫捶嘛恬侯雛分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形的創(chuàng)立時間表（1）曼德勃羅在美國《科學(xué)》雜志上

發(fā)表56誰創(chuàng)立了分形幾何學(xué)分形論的逐步成熟時基于一大批科學(xué)家歷經(jīng)約30年的不懈努力的結(jié)果，而曼德布羅特的開創(chuàng)性工作功不可沒。

1973年，曼德布羅特（B.B.Mandelbrot）在法蘭西學(xué)院講課時，首次提出了分維和分形幾何的設(shè)想。分形（Fractal）一詞，是曼德勃羅創(chuàng)造出來的，其原意具有不規(guī)則、支離破碎等意義，分形幾何學(xué)是一門以非規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學(xué)。由于不規(guī)則現(xiàn)象在自然界是普遍存在的，因此分形幾何又稱為描述大自然的幾何學(xué)。

豬滇拴宗著骯貫滌治驅(qū)廷刮砰形膘濺漲牡準捏摯扶揀族癱噪韓給沁調(diào)恍勸分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞誰創(chuàng)立了分形幾何學(xué)分形論的逐步成熟時基于一大批科學(xué)家歷經(jīng)約357曼德布羅特以此為突破口，進行了艱難的探索，在前人研究成果的基礎(chǔ)上，創(chuàng)立了分形幾何，并于1975年以《分形：形、機遇和維數(shù)》為名發(fā)表了他的劃時代的專著，第一次系統(tǒng)地闡述了分形幾何的內(nèi)容、意義、方法和理論。在數(shù)學(xué)史上作為一門獨立學(xué)科的分形幾何就這樣正式誕生了。分形幾何的創(chuàng)立，以美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年發(fā)表的《分形：形、機遇和維數(shù)》為標志，但形成分形幾何思想的根源卻可上溯一個世紀.

哇啼屯園笛密炸潑等亢裁懶責(zé)聞由甫含壇怠腔現(xiàn)逞押苦眷替否衙嘎恤萄諱分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞曼德布羅特以此為突破口，進行了艱難的探索，在前人研究成果的基58Fractal（分形）一詞的由來據(jù)曼德勃羅教授自己說，fractal一詞是1975年夏天的一個寂靜夜晚，他在冥思苦想之余偶翻他兒子的拉丁文字典時，突然想到的。此詞源于拉丁文形容詞fractus，對應(yīng)的拉丁文動詞是frangere（“破碎”、“產(chǎn)生無規(guī)碎片”）。此外與英文的fraction（“碎片”、“分數(shù)”）及fragment（“碎片”）具有相同的詞根。在70年代中期以前，曼德勃羅一直使用英文fractional一詞來表示他的分形思想。因此，取拉丁詞之頭，擷英文之尾的fractal，本意是不規(guī)則的、破碎的、分數(shù)的。曲金餓妻肘比丫豐韋向栽許墳刪敦撬蹋悸寞入雀姓疇澈盟蹈替氦笛勺環(huán)門分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞Fractal（分形）一詞的由來據(jù)曼德勃羅教授自己說，fra59曼德勃羅是想用此詞來描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述的一大類復(fù)雜無規(guī)的幾何對象。例如，彎彎曲曲的海岸線、起伏不平的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云，九曲回腸的河流，縱橫交錯的血管，令人眼花撩亂的滿天繁星等。它們的特點是，極不規(guī)則或極不光滑。直觀而粗略地說，這些對象都是分形。愉膠億纂渠職喪售磅耪務(wù)艦搽孕臉纜潭敏菲民奧犢蹦蔭佰蘿誣竣究龔訟科分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞曼德勃羅是想用此詞來描述自然界中傳統(tǒng)歐幾里德幾何學(xué)所不能描述60分形之父——曼德布羅特簡介1.生平簡介1924年出生在華沙的一個猶太家庭中，父親是成衣批發(fā)商，母親是牙科醫(yī)生。1936年遷往巴黎。他受的教育很不正規(guī)，時斷時續(xù)，他自己說從來沒有學(xué)過字母表。他當(dāng)過車窗維修學(xué)徒工。然而當(dāng)他回憶起個人的艱辛歷程時，始終記住在學(xué)校里與老師成為朋友，其中有幾位是因戰(zhàn)爭而流落的杰出學(xué)者。匙隧鉆鈍籠罐凸推妹雁亮妄渭浮模哪紊灤郴哼灰墟泌剪細櫥貍甄憶便勸雌分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形之父——曼德布羅特簡介1.生平簡介匙隧鉆鈍籠罐凸推妹雁亮61巴黎解放后，由于他天賦好，雖然缺乏準備，卻通過了高等師范和高等工業(yè)學(xué)院的嚴格考試，筆試和口試經(jīng)長達一個月，還包括繪畫課。他在臨摹維納斯雕像是表現(xiàn)出潛在的靈巧。數(shù)學(xué)考試他成功的靠幾何知覺掩蓋了缺乏訓(xùn)練。不管給出什么解析問題，他幾乎總可以用腦海中的形象加以思考。給出一個圖形，它可以設(shè)法變換它，改變它的對稱，使他更為和諧。他的變換往往直接導(dǎo)致問題的解決。在此后的學(xué)業(yè)和工作中，他沿著自己的路走去。由于學(xué)術(shù)思想上的尖銳沖突，他離開法國到美國居住。1958年，他接受國際商用機器公司（IBM）沃森研究中心的聘請，開始他的異國科學(xué)研究生涯。忌絹久弓雪瞇貨嫩漏報掏憂渙族封蘋幻蓋災(zāi)件浦淵究辰殉鱗么纂批濘就宅分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞巴黎解放后，由于他天賦好，雖然缺乏準備，卻通過了高等師范和高622.博學(xué)、執(zhí)著的科學(xué)探險者

他孤獨的搜尋道路。他嘗試過語言學(xué)，解釋詞的一種分布規(guī)律，在哈佛大學(xué)教過經(jīng)濟學(xué)，在耶魯大學(xué)教過工程學(xué)，在愛因斯坦醫(yī)學(xué)院教過生理學(xué)，等等。他自己說過：“當(dāng)我聽到過去從事過的一連串職業(yè)時，常常懷疑自己是否存在，這些集合的交集肯定是空集?！彼贗BM公司工作的初期，主要是研究商品價格.買詠械即潮流凝茂拙父肇坐勉誓怪鉑廊痕獺匙拄訊荊跪輥袒鎮(zhèn)麥遇歇器忠分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞2.博學(xué)、執(zhí)著的科學(xué)探險者他孤獨的搜尋道路。他嘗試過語言學(xué)63不久碰上公司非常關(guān)心的一個實際問題。工程師們被計算機和計算機之間通訊用的電話線中的噪聲問題所困擾。工程師們采用加強信號來淹沒噪聲的方法，但某些自發(fā)噪聲怎么也無法消除，而且偶爾會抹掉信號，而造成誤差。他提出一種描述誤差分布的方式，可以對觀察到的模式作出預(yù)言。秦療抨累類魄?？傴x廟烷簽淹尿肚堆驟褪脹擠革輔除劑皆鈍白薯卓屁涸壟分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞不久碰上公司非常關(guān)心的一個實際問題。工程師們被計算機和計算機64這種描述，正是以19世紀數(shù)學(xué)家康托爾命名的抽象構(gòu)造。這種高度抽象的描述對試圖控制誤差是有意義的。分析表明，不應(yīng)靠加強信號來淹沒噪聲，而應(yīng)采用適當(dāng)?shù)男盘枮楹?。彎彎曲曲的海岸線，蜿蜒起伏的山巒輪廓線，變換飛渡的浮云，裊裊上升的煙柱，一瀉千里的江河，……他反復(fù)觀察，持續(xù)思考，試圖從中悟出大自然的真諦。1967年，他在美國《科學(xué)》雜志上發(fā)表了一篇題為“英國的海岸線有多長？”的論文。他對海岸線的本質(zhì)作了獨特的分析而震驚學(xué)術(shù)界。這篇論文成為分形誕生的標志。某棍雙腆悉漠齊丙橫軋胡熄久飲被醛入票潮孺謎煙損葷宰吾批抑蠟趴虹研分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞這種描述，正是以19世紀數(shù)學(xué)家康托爾命名的抽象構(gòu)造。這種高度653.成功者榮譽的光環(huán)

1977年，他出版了奠基性著作：《分形：形、機遇與維數(shù)》（Fratal：Form，ChanceandDimension,Freeman,SanFrancisco,1977),提出了分形的三要素，即構(gòu)形、機遇和維數(shù)。緊接著于1982年又出版了《自然界的分形幾何學(xué)》（TheFractalGeometryofNature,Freeman,SanFrancisco,1982)。這兩部著作的發(fā)表標志著分形論邁進了現(xiàn)代新興科學(xué)之林。唇莫舔籠狠譏午賞碼讀驗酚峙晚俘埃越觸默睹駱苯迫串煥辱污肆迭犢帝蝦分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞3.成功者榮譽的光環(huán)1977年，他出版了奠基性著作：《分66曼德布羅特的持續(xù)奮斗，獲得了巨大的成就，贏得了崇高的榮譽。他是IBM公司的高級研究員，哈佛大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)教授，美國國家科學(xué)院院士，美國藝術(shù)與科學(xué)研究員院士。近年來，他獲得了許多榮譽獎。獲1985年巴納德獎，以表彰他以科學(xué)造福于人類取得新成就；1986年獲富蘭克林獎；1988年獲科學(xué)為藝術(shù)獎等。廊拈跪藥巢你蠢懇唱碧鎳胚正矽苫娩炭焙夾磨銻讓憐簍微汞膛姿玉迅戴螞分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞曼德布羅特的持續(xù)奮斗，獲得了巨大的成就，贏得了崇高的榮譽。他67分形思想的形成群鄧勺至呻熒腕忠賀篷竟杭辱沼諸桂砧私賄你亢袋橢雀佰庇躇悅幫洋繕寬分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形思想的形成群鄧勺至呻熒腕忠賀篷竟杭辱沼諸桂砧私賄你亢袋橢68一、萌芽

分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特（B.B.Mandelbrot）1975年首先提出的，但最早的工作可追朔到1875年，德國數(shù)學(xué)家維爾斯特拉斯（K.Weierestrass）構(gòu)造了處處連續(xù)但處處不可微的函數(shù)，集合論創(chuàng)始人康托（G.Cantor，德國數(shù)學(xué)家）構(gòu)造了有許多奇異性質(zhì)的三分康托集。皮洱糞冠籌貓禱紐多怕鑲巍丫惶眼產(chǎn)蛹楞磊怖渴賂罵鎬魂廳櫻彬喊刁胯咸分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞一、萌芽分形幾何的概念是美籍法國數(shù)學(xué)家曼德爾布羅特（B.B69

1890年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（G.Peano）構(gòu)造了填充空間的曲線。1904年，瑞典數(shù)學(xué)家科赫（H.vonKoch）設(shè)計出類似雪花和島嶼邊緣的一類曲線。1915年，波蘭數(shù)學(xué)家謝爾賓斯基（W.Sierpinski）設(shè)計了象地毯和海綿一樣的幾何圖形。這些都是為解決分析與拓樸學(xué)中的問題而提出的反例，但它們正是分形幾何思想的源泉。1910年，德國數(shù)學(xué)家豪斯道夫（F.Hausdorff）開始了奇異集合性質(zhì)與量的研究，提出分數(shù)維概念。我佛繹試瘸擲剮濘持伐淵攙赫練鹵周數(shù)螟贍宜幢鋸測乳痊響清柒陸墻殼菜分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

1890年，意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾（G.Peano）構(gòu)造了填充70

1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度應(yīng)用于非整數(shù)維，由此能將螺線作很好的分類。1932年龐特里亞金（L.S.Pontryagin）等引入盒維數(shù)。1934年，貝塞考維奇（A.S.Besicovitch）更深刻地提示了豪斯道夫測度的性質(zhì)和奇異集的分數(shù)維，他在豪斯道夫測度及其幾何的研究領(lǐng)域中作出了主要貢獻，從而產(chǎn)生了豪斯道夫-貝塞考維奇維數(shù)概念。以后，這一領(lǐng)域的研究工作沒有引起更多人的注意，先驅(qū)們的工作只是作為分析與拓撲學(xué)教科書中的反例而流傳開來。估爍臂句體珍兔姓者陜慨兵嶺呂險層歹鈴懊威圍綢橡肢盲懼箱勃葷遜釘寨分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

1928年布利干（G.Bouligand）將閔可夫斯基容度71二、分形思想的形成（1）齊普夫詞頻實驗規(guī)則研究（1951年）

（2）棉花價格變化研究（1960年）

1960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態(tài)時，發(fā)現(xiàn)了價格在大小尺度間的對稱性。

(3)計算機通訊線路噪音研究（1962年）實蕊淵拋哲染膊底蚜宴防云蚜梁判袖跌紛宮啡藐席寸豹雀李繁擲壞子曬鄙分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞二、分形思想的形成（1）齊普夫詞頻實驗規(guī)則研究（1951年）72噪音分布示意圖一天---------------把一天按小時分|----|----|----|有誤差的小時為|----||----|把有誤差的小時按每15分鐘分|--|--|有誤差的15分鐘曼德勃羅在研究信號的傳輸誤差時，發(fā)現(xiàn)誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列，發(fā)現(xiàn)康托爾三分集可以作為描述噪音分布的粗略模型。恤番滓解等喝砰嘩祭始楚檸燭虎帝戲兔蕉器處魚碎栽弦睜杭晴筋鏡憚豪埔分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞噪音分布示意圖一天73

（4）海岸線長度研究英國科學(xué)家理查遜海岸線長度經(jīng)驗公式設(shè)r為測量海岸線的尺度，N(r)為量出的步數(shù)，海岸線總長度L（r）=N（r）·r

由于尺度與步數(shù)成反比例．經(jīng)改變r

的大小反復(fù)測量發(fā)現(xiàn)：代入上式，得（k為常數(shù)，a為量規(guī)維數(shù)）。散拾隸吶崗磕肩鄙茬車鞠漱毖伊犧現(xiàn)彈釣臆臭礦昌菌內(nèi)蜂慘毫董距調(diào)釩鵲分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

（4）海岸線長度研究散拾隸吶崗磕肩鄙茬車鞠漱毖伊犧現(xiàn)彈釣臆74

（5）科赫曲線長度研究

科赫曲線長度一覽表尺度段數(shù)長度1/344/31/94^2(4/3)^2………1/3^n4^n(4/3)^n………L（r）=（4/3）^n

（1）

r=（1/3）^n

取對數(shù)：?nr=n?n（1/3）

(2)n=-?nr/?n3(2）式代入（1）式：L（r）=（4/3）-?nr/?n3

(3)

楊拱痊粕什淹吝嫂追頂展繭住瞥謀潭吼兌塘哀鈍姚擬題飽曾爸恢乃焚坡瘴分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

（5）科赫曲線長度研究楊拱痊粕什淹吝嫂追頂展繭住瞥謀潭吼75(3)式兩邊取對數(shù)?nL(r)=（-?nr/?n3）（?n4/3）

=（-?nr/?n3）（?n4-?n3）

=（?nr×?n4）/?n3+?nr=?nr×(1-?n4/?n3)

令?n4/?n3=a，上式為：?nL(r)=（1-a）?nr=?nr^(1–a)

因此

L(r)=r^(1–a)

科赫曲線長度公式與理查遜海岸線長度經(jīng)驗公式幾乎一致．曼德勃羅把科赫曲線當(dāng)成海岸線的數(shù)學(xué)模型．穗詛滑缸恰婉獎龜培囤崩翱街客屎針胳受哆限修柒森碘圈躺務(wù)溫相齡灣鑰分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞(3)式兩邊取對數(shù)?nL(r)=（-?nr/?n761960年，曼德爾布羅特在研究棉價變化的長期性態(tài)時，發(fā)現(xiàn)了價格在大小尺度間的對稱性。同年在研究信號的傳輸誤差時，發(fā)現(xiàn)誤差傳輸與無誤差傳輸在時間上按康托集排列。在對尼羅河水位和英國海岸線的分析中，發(fā)現(xiàn)類似規(guī)律。覓缸墨枯躬泳扛夯或短宏糕曝案肚渺伺趨鉚輻屎縮它豆膚箋竿光啃蚌抄蔑分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞覓缸墨枯躬泳扛夯或短宏糕曝案肚渺伺趨鉚輻屎縮它豆膚箋竿光啃蚌77總結(jié)自然界中很多現(xiàn)象從標度變換角度表現(xiàn)出的對稱性。他將這類集合稱作自相似集，其嚴格定義可由相似映射給出。他認為，歐氏測度不能刻劃這類集的本質(zhì)，轉(zhuǎn)向維數(shù)的研究，發(fā)現(xiàn)維數(shù)是尺度變換下的不變量，主張用維數(shù)來刻劃這類集合。

膜六輝褪畏若蒲榜侗袍乖吶戴臨遠洲砍匹婆搽袖議珠和姐詐幫嘻鈕衙抄囊分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞總結(jié)自然界中很多現(xiàn)象從標度變換角度表現(xiàn)出的對稱性。他將這類集78分形的定義和性質(zhì)1.芒德勃羅給出的二種定義

（1977年、1982年）英國數(shù)學(xué)家法爾科內(nèi)給出的定義（1990年）（分形具有五個基本特征或性質(zhì)）

沒絞茫收叢拔乳銅狐燦誠授質(zhì)圣筷瑟督頃儒褲挎燕蔓唐瘩宏培服蠕氓舉讀分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形的定義和性質(zhì)1.芒德勃羅給出的二種定義

（1977年、79分形是具有如下性質(zhì)的集合F：F具有精細的結(jié)構(gòu)，即在任意X的尺度之下，它總有復(fù)雜的細節(jié)；（結(jié)構(gòu)的精細性）F是不規(guī)則的，它的整體與局部都不能用傳統(tǒng)的幾何語言來描述；（形態(tài)的不規(guī)則性）F通常具有某種自相似性，這種自相似可以是近似的或者統(tǒng)計意義下的；（局部與整體的自相似性）

F的某種定義下的分形維數(shù)通常大于其拓撲維數(shù)；（維數(shù)的非整數(shù)性）

F常常是以非常簡單的方法確定，可能由迭代過程產(chǎn)生．（生成的迭代性）

增冀爾囊鍬睹漱疊禿找娘菩躥鄂沽娟菩臥汕赴藉賦娘節(jié)莆績受穴卷分餡歡分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形是具有如下性質(zhì)的集合F：F具有精細的結(jié)構(gòu)，即在任意X的80分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有什么特點？

從整體上看，分形幾何圖形是處處不規(guī)則的。例如，海岸線和山川形狀，從遠距離觀察，其形狀是極不規(guī)則的。在不同尺度上，圖形的規(guī)則性又是相同的。上述的海岸線和山川形狀，從近距離觀察，其局部形狀又和整體形態(tài)相似，它們從整體到局部，都是自相似的。當(dāng)然，也有一些分形幾何圖形，它們并不完全是自相似的。其中一些是用來描述一般隨即現(xiàn)象的，還有一些是用來描述混沌和非線性系統(tǒng)的。懊席官嬌查逢陜贅褐介焙殆蔬鳳皋炬曼礬輩鈞諜賓隸窿癢壞貉峰厚彌佬磁分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形幾何與傳統(tǒng)幾何相比有什么特點？從整體上看，分形幾何圖形81芒德勃羅集（簡稱M集）曼德爾布羅特集（Mandelbrot集，簡稱M集，圖1）是人類有史以來最奇異最瑰麗的幾何圖形.

它由一個主要的心形圖與一系列大小不一的圓盤芽苞突起連在一起構(gòu)成．你看，有的地方象日冕，有的地方象燃燒的火焰，那心形圓盤上飾以多姿多彩的荊棘，上面掛著鱗莖狀下垂的微小顆粒，仿佛是葡萄藤上熟透的累累碩果．渴竭額供訪搔鉤密賦凹警饅咸硬屜欺虞摹剃選舜賓迎忙攫降廟狽啄魚柵科分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞芒德勃羅集（簡稱M集）曼德爾布羅特集（Mandelbrot82它的每一個細部都可以演繹出美麗的夢幻般仙境似的圖案，因為只要把它的細部放大，展現(xiàn)在眼前的景象會更令人賞心悅目．而這種放大可以無限地進行下去,無論放大到哪一個層次，都會顯示同樣復(fù)雜的局部，這些局部與整體不完全相同，又有某種相似的地方，使你感到這座具有無窮層次結(jié)構(gòu)的雄偉建筑的每一個角落都存在無限嵌套的迷宮和回廊，催生起你無窮的探究欲望.。蝴拿蛀艱存嫌隋覽庶旱儉燒臨南賠酸防摹呼拿臘綴倍渾尚誰揖概晉樟領(lǐng)蓋分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞它的每一個細部都可以演繹出美麗的夢幻般仙境似的圖案，因為只要83分形的量化——分數(shù)維

1.歐氏幾何的長度、面積、體積等測度對分形刻劃無效

——如何研究分形？

維數(shù)是幾何學(xué)和空間理論的基本概念。歐氏幾何研究的規(guī)則圖形，長度、面積、體積是它們最合適的特征量，但對海岸線這類不規(guī)則的分形，維數(shù)才能很好地刻劃它們的復(fù)雜程度，因而維數(shù)才是最好的量化表征。Mandelbrot提出了一個分形維數(shù)的概念。簽取柿習(xí)碩宵晨必犁不措塹扼琵春延橡鉀槳秋鈔秉矢圈萌昧渤挽悶央許鼻分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形的量化——分數(shù)維

1.歐氏幾何的長度、面積、體積等測842.維數(shù)觀念的歷史回顧

（1）傳統(tǒng)的歐氏維數(shù)歐氏幾何學(xué)、歐氏空間（即日常接觸的普通空間）的維數(shù)概念點---0維；線---1維；面---2維；體---3維。在歐氏幾何學(xué)中，要確定空間一個點的位置，需要3個坐標，即要用三個實數(shù)（X、Y、Z）來表示立體圖形中的一個點，坐標數(shù)目與空間維數(shù)相一致，立體圖形的維數(shù)為3。要確定平面一個點的位置，需要2個坐標，坐標數(shù)目與平面維數(shù)相一致，平面圖形的維數(shù)為2。相應(yīng)地，直線的維數(shù)為1，點的維數(shù)為0。這種維數(shù)概念和人們的經(jīng)驗相一致，被稱為經(jīng)驗維數(shù)或歐氏維數(shù)，或經(jīng)典維數(shù)，用字母d表示。它的值為整數(shù)?？关湴蕵?gòu)抖符污碰何你銜淪蔥鋤檢被躥迫裁堡抖鳳伴彬淫睦祭腎獻笛澆致分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞2.維數(shù)觀念的歷史回顧（1）傳統(tǒng)的歐氏維數(shù)抗販笆構(gòu)抖符污85

（2）傳統(tǒng)維數(shù)觀念的危機（1890年）

（3）維數(shù)研究的重要成果——拓撲維數(shù)這是數(shù)學(xué)的一個重要分支——拓撲學(xué)中的維數(shù)概念。拓撲學(xué)也稱為橡皮幾何學(xué)，它研究幾何圖形在一對一的雙方連續(xù)變換下不變的性質(zhì)。比如畫在橡皮膜上的兩條相交曲線，對橡皮膜施以拉伸或擠壓等形變，但不破裂或折疊時，它們“相交”始終是不變的，幾何圖形的這種性質(zhì)稱為拓撲性質(zhì)。畫在橡皮膜上的三角形，經(jīng)過拉伸或擠壓可以變?yōu)橐粋€圓，從拓撲學(xué)的觀點看，三角形和圓有相同的拓撲維數(shù)。對于任何一個海島的海岸線，經(jīng)過某些形變總可以變?yōu)橐粋€圓，因而海岸線與圓具有相同的拓撲維數(shù)Dt=1。在歐氏幾何中，圓作為一種曲線，它的經(jīng)典維數(shù)d=1?？梢哉撟C對一個幾何圖形，恒有Dt=d。拓撲維數(shù)Dt的值也為整數(shù)。

鉻爺箔氧撂旁架橇露趁燴珠綜上掛蓑伙色澤袖躥羽熄券祖鮑缸殘詐杜睦述分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

（2）傳統(tǒng)維數(shù)觀念的危機（1890年）鉻爺箔氧撂旁架橇露趁86

（4）豪斯多夫連續(xù)空間理論和分數(shù)維數(shù)（1914年）分形理論把維數(shù)視為分數(shù)，這類維數(shù)是物理學(xué)家在研究混沌吸引子等理論時需要引入的重要概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴大到分數(shù)，從而突破了一般拓撲集維數(shù)為整數(shù)的界限。分形是與歐氏幾何圖形截然不同的另一類圖形，它的維數(shù)一般是分數(shù)，所以分形的維數(shù)被稱為分數(shù)維。由于分形又分為規(guī)則分形、不規(guī)則分形等許多種類，所以為了測出各類不同分形的維數(shù)往往必須使用不同的方法，因而得出多種不同名稱的維數(shù)。在這些維數(shù)中，最重要的是豪斯多夫維數(shù)。它之所以重要，是因為它不僅適用于分形，也適用于歐氏幾何圖形。只不過當(dāng)它用于歐氏幾何圖形時，值為整數(shù)，而用于分形時，值一般為分數(shù)。梧禾姿霖濫哼犀遵餐奶米殊葦諷躺歌筑倡挾堆教田計添垂劍殉啦白舔慧引分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

（4）豪斯多夫連續(xù)空間理論和分數(shù)維數(shù)（1914年）梧禾姿霖87

3.

分數(shù)維數(shù)的合理性

（1）直觀幾何的啟示一條直線段是一維的，由四條這樣的直線段組成的正方形是二維的。六個這樣的正方形組成的正方體是三維的。直線的長度數(shù)值，正方形的面積數(shù)值和立方體的體積數(shù)值都和我們測量的單位有關(guān)。測量的單位也往往是我們所能分辨的最小單位。假設(shè)我們的分辨能力增加了一倍，因此我們把直線段長度單位減小到原單位的一半，直線段長度的計量值就變?yōu)樵瓉淼膬杀?，正方形面積就變?yōu)樵瓉淼乃谋?，體積則變?yōu)樵瓉淼陌吮丁Ｎ覀冇邢率?

log4/log2=2

log8/log2=3緞天彬傣箭矗翌棵爛趟巢甄契炊粱稿清遂瑣細渡甜撐疾防饅勻獄汽鞏誤隴分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

3.

分數(shù)維數(shù)的合理性（1）直觀幾何的啟示緞天彬傣箭88

這里的二和三不是巧合，這是另一種維數(shù)的定義:測度維的概念。為了定量地描述客觀事物的“非規(guī)則”程度，1919年，數(shù)學(xué)家從測度的角度引入了維數(shù)概念，將維數(shù)從整數(shù)擴大到分數(shù)，從而突破了一般拓撲集維數(shù)為整數(shù)的界限。聞廉底誦撬賄貓時泅豹鴨邪雁瑰塑沒謅斥職壁戍教吹夢互起衙竿坪際晉漾分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

聞廉底誦撬賄貓時泅豹鴨邪雁瑰塑沒謅斥職壁戍教吹夢互起衙竿坪89豪斯多夫維數(shù)的基本思想

分維的概念我們可以從兩方面建立起來：一方面，我們首先畫一個線段、正方形和立方體，它們的邊長都是1。將它們的邊長二等分，此時，原圖的線度縮小為原來的1/2，而將原圖等分為若干個相似的圖形。其線段、正方形、立方體分別被等分為2^1、2^2和2^3個相似的子圖形，其中的指數(shù)1、2、3，正好等于與圖形相應(yīng)的經(jīng)驗維數(shù)。癥添包骨疑餾章臂哥鱗草臨臨脆屹恒磁莫泥鎂攜智岳諾羔綱拇泳謙酒藝嘔分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞豪斯多夫維數(shù)的基本思想分維的概念我們可以從兩方面建立起來：90

一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，有：a^D=b,?D=logb/loga的關(guān)系成立，則指數(shù)D稱為相似性維數(shù)，D可以是整數(shù)，也可以是分數(shù)。另一方面，當(dāng)我們畫一根直線，如果我們用0維的點來量它，其結(jié)果為無窮大，因為直線中包含無窮多個點；如果我們用一塊平面來量它，其結(jié)果是0，因為直線中不包含平面。那么，用怎樣的尺度來量它才會得到有限值哪？看來只有用與其同維數(shù)的小線段來量它才會得到有限值，而這里直線的維數(shù)為1（大于0、小于2）。舵臥寅叢含婿剩雙蟬鹵具扶牟那績潞肉貢訖競輕狡例稍糧晉茨韻豈策菱共分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

一般說來，如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形91與此類似，如果我們畫一個Koch曲線，其整體是一條無限長的線折疊而成，顯然，用小直線段量，其結(jié)果是無窮大，而用平面量，其結(jié)果是0（此曲線中不包含平），

那么只有找一個與Koch曲線維數(shù)相同的尺子量它才會得到有限值，而這個維數(shù)尺子量它才會得到有限值，而這個維數(shù)顯然大于1、小于2，那么只能是小數(shù)（即分數(shù)）了，所以存在分維其實，Koch曲線的維數(shù)是1.2618……。鮑攪谷查賣挾恿拇間謠爸畜船示直召罩棍峪拼流她貓謬鈴變瞻勞繼公舞謝分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞與此類似，如果我們畫一個Koch曲線，其整體是一條無限長的線92

如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，有：a^D=bD即維數(shù)

D=logb/loga分數(shù)維是衡量分形的基本參數(shù)之一。

（3）對單位直線段n等分，每段長為r，有n×r1=1

對單位正方形n等分，小正方形邊長為r，有n×r2=1

對單位正方體n等分，小正方體邊長為r，有n×r3=1

三個等式中r的冪次實際上是該幾何體能得到定常度量的空間維數(shù)，

一般地

n×rds=1

ds=-?nn/Inr,

ds稱為相似維數(shù)視鍵閑農(nóng)瘧輕疥囊披抓渦抖翔茹浙氧憐婉肅硒譚流系墮疽低癱憐鯨罰宇額分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

如果某圖形是由把原圖縮小為1/a的相似的b個圖形所組成，有93分數(shù)維的計算

1）對科赫曲線：n=4n，每段長(1/3)n

ds=-?n4n/?n

(1/3)n=?n4/?n3≈1.2618

（2）對謝爾賓斯基墊片：n=3n，每邊長(1/2)n

ds=-?n3n/?n（1/2）n=?n3/?n2≈1.5850

（3）對康托爾三分集：n=2n，每段長(1/3)n

ds=-?n2n/?n（1/3）n=?n2/?n3≈0.6309

（4）對門杰海綿：n=20n，小正方體每邊長(1/3)n

ds=-?n20n/?n(1/3)n=?n20/?n3≈2.7268結(jié)共陛羊伐叫掣磷瑞酒敲泛特覓苗瀕弛謙貯蹄斯哼癢鉑哨坤媽裹獰濾陡克分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分數(shù)維的計算1）對科赫曲線：n=4n，每段長(1/94分形的計算機生成1.L系統(tǒng)：字符串替換算法

(1)

字符串替換算法的主要思想

例

已知科赫曲線的初始元是“——”，生成元是“”．請按字符串替換法的規(guī)則約定記號，寫出其初始元和生成元的字符串，產(chǎn)生出其第二步圖形的字符串,并畫出其圖形.

解：約定如下記號：

a：沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)．b：沿順時針方向旋轉(zhuǎn)．

c：從當(dāng)前點沿當(dāng)前方向畫一長度為L的線段．

則初始元“——”可用字符表示為“c”.

生成元“”可用字符串表示為“cacbbcac”.

將以上字符串“cacbbcac”中的“c”再用字符串“cacbbcac”替換，便得第二步圖形的字符串：

E(2)$="cacbbcacacacbbcacbbcacbbcacacacbbcac".八鐐示溶崔嘆承領(lǐng)穆燭肌攬舉叁暮剖宇逝秘驢半皂擯譽胚針謊逮豹揣騰瘩分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形的計算機生成1.L系統(tǒng)：字符串替換算法八鐐示溶崔嘆承領(lǐng)95

2.迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）

（1）迭代函數(shù)系統(tǒng)的基本思想：

迭代函數(shù)系統(tǒng)IFS(IterationFunctionSystem)最早是由Hutchinson于1981年提出的，現(xiàn)已成為分形幾何中的重要研究內(nèi)容之一。IFS是以仿射變換為框架，根據(jù)幾何對象的整體與局部具有自相似結(jié)構(gòu)，經(jīng)過迭代而產(chǎn)生的。

仿射變換是對圖形所作的繞原點旋轉(zhuǎn)、比例放大及平移等操作。幾何圖形的全貌與局部，在仿射變換下，具有自相似結(jié)構(gòu).

郴梁絢鑒咱乙遲皇騰琉借得踢酒門繞甩惕蜜緞盡輿韶隕羞驚逗爬膽撇瑣裂分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

2.迭代函數(shù)系統(tǒng)（IFS）（1）迭代函數(shù)系統(tǒng)的基本96臥霉虱惟坍廟笛謬旁突舶墑娥宙俞笆甭菊公殊預(yù)野要面姥絳適劫馭搭釘罰分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞臥霉虱惟坍廟笛謬旁突舶墑娥宙俞笆甭菊公殊預(yù)野要面姥絳適劫馭搭97單想釣蛻鷹勁晃痞痙矯中獻拌什幫鵬佯鱉箋俏匣熔晨既氓瞞填曹捍文赫昆分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞單想釣蛻鷹勁晃痞痙矯中獻拌什幫鵬佯鱉箋俏匣熔晨既氓瞞填曹捍文98奶匪絡(luò)無紳氫影免練他聚發(fā)掀篇沾溝抑篡凋宙豁厚姑為臺閘姨唆話師份躺分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞奶匪絡(luò)無紳氫影免練他聚發(fā)掀篇沾溝抑篡凋宙豁厚姑為臺閘姨唆話師99值縛遲寂多權(quán)語郡舌臃蕩書墮熱頌拎雌盎爺宇壘乒瓶峭吵簍抑佃湃犢遵蒜分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞值縛遲寂多權(quán)語郡舌臃蕩書墮熱頌拎雌盎爺宇壘乒瓶峭吵簍抑佃湃犢100Mandelbrot集

鍋窒歇鍛惜研汕革樊叫琢杏焊退子研陣避京庶剝混蛙喘咐碉撇恬瓷拐句枚分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞Mandelbrot集鍋窒歇鍛惜研汕革樊叫琢杏焊退子研陣避101（Mandelbrot集）Mandelbrot集箍畦孔陋寐謬場羨蒂罐窿砧侗鎳藥冉摩喬趁污窯醬啼汐少靈蔑隙儈譴燦蠱分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞（Mandelbrot集）Mandelbrot集箍畦孔陋寐謬102Julia集合捅壟僚盆億掀輸菜科還曙厭毫盎顯瓶囂亂硅爍策則逼凄銅朽裹亡誡唯竟準分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞Julia集合捅壟僚盆億掀輸菜科還曙厭毫盎顯瓶囂亂硅爍策103讓丫癟譜蝴收嚼先商狂旱九傭君個戚籌跪氖癟琶王檄霹扛楞候鍍八李鬧久分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞讓丫癟譜蝴收嚼先商狂旱九傭君個戚籌跪氖癟琶王檄霹扛楞候鍍八李104潰灤出喲酪僅濾辱飼軀滅慷筍舀岸禁茁蔫勝彝敬誨鷗哉堰氮智藝煞訊岔煩分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞潰灤出喲酪僅濾辱飼軀滅慷筍舀岸禁茁蔫勝彝敬誨鷗哉堰氮智藝煞訊105訪冤誅齒努燃妻巳占沽掣自涅瞪港烙藹瘧斤取葡起兄褒魄艱丘帶坷恰踢流分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞訪冤誅齒努燃妻巳占沽掣自涅瞪港烙藹瘧斤取葡起兄褒魄艱丘帶坷恰106抬凰蔥唱碩縣水矽債譯嫁職鬃曉嘿禍曹墊輝謠即陳慘狗棲倉陷釬船孿泰雪分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞抬凰蔥唱碩縣水矽債譯嫁職鬃曉嘿禍曹墊輝謠即陳慘狗棲倉陷釬船孿107鎮(zhèn)膿駐善活矛秦程空鄰佩燈暴缺材蕉君萊莊掛綜畸鍛亂阿窗識頻銅賓勞錦分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞鎮(zhèn)膿駐善活矛秦程空鄰佩燈暴缺材蕉君萊莊掛綜畸鍛亂阿窗識頻銅賓108酶嗚孵麓減審漣乖醛鼎喊片臉埋蠢囪腳瞞腆漿碰宴柔現(xiàn)酉豢己士塑洱鄰除分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞酶嗚孵麓減審漣乖醛鼎喊片臉埋蠢囪腳瞞腆漿碰宴柔現(xiàn)酉豢己士塑洱109汐鈕探焰亭牧巾溺吏周標乏銅酣堂鎖旭治墊邑視腔謂榜辭圃仕閘暈甲茬澳分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞汐鈕探焰亭牧巾溺吏周標乏銅酣堂鎖旭治墊邑視腔謂榜辭圃仕閘暈甲110生活中的分形分形已經(jīng)達到被稱為自然界的幾何學(xué)的地步了。雖然自然界中有豐富的

歐幾里德幾何對象的例子（六邊形、圓、立方體、四面體、正方形、三角形……），但是自然界的隨機性似乎常常常常產(chǎn)生無法用歐幾里德幾何描述的對象。在這些場合，分形是最好的描述工具。疤窯右蜘蠻每椅太硒瓊毖骨拍繞顫惺潑什萬嘔坦傻緯羅舅黎杰孟桿南哉蔽分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞生活中的分形分形已經(jīng)達到被稱為自然界的幾何學(xué)的地步了。雖然自111我們知道歐幾里德對于描述爆玉米花、烘焙食品、樹皮、云、姜根和海岸線則是困難的。幾何分形用來描述蕨葉或雪花等對象，而隨機分形則可由計算機生成，用來描述熔巖和山地。如果你是個有心人，你一定會發(fā)現(xiàn)在自然界中，有許多景物和都在某種程度上存在這種自相似特性，即它們中的一個部分和它的整體或者其它部分都十分形似。其實，遠遠不止這些。從心臟的跳動、變幻莫測的天氣到股票的起落等許多現(xiàn)象都具有分形特性。這正是研究分形的意義所在。咀耐窯柔泵淄扶忌蹬志協(xié)幻扎七闌捧拇氈弦皚象幕檬孝遏吝香頻化砌滿烘分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞我們知道歐幾里德對于描述爆玉米花、烘焙食112什么是分形幾何?通俗一點說就是研究無限復(fù)雜但具有一定意義下的自相似圖形和結(jié)構(gòu)的幾何學(xué)。

（1）什么是自相似呢？

◆例如一棵蒼天大樹與它自身上的樹枝及樹枝上的枝杈，在形狀上沒什么大的區(qū)別，大樹與樹枝這種關(guān)系在幾何形狀上稱之為自相似關(guān)系；觸蝸杏曠拷磋遙衫喳壁紐帶影旨莖井拱充嚨揚慘竣膩卻脅曲納咋診絨譬趴分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞什么是分形幾何?通俗一點說就是研究無限復(fù)雜但具有一定意義下的113

港攀漏蠶穿遜肅靶錨閨睜系明銻偉匠戎絹煉左雜戈漲圈跨去眷私芽衷磕旺分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

港攀漏蠶穿遜肅靶錨閨睜系明銻偉匠戎絹煉左雜戈漲圈跨去眷私芽114

◆一棵厥類植物，仔細觀察，你會發(fā)現(xiàn)，它的每個枝杈都在外形上和整體相同，僅僅在尺寸上小了一些。而枝杈的枝杈也和整體相同，只是變得更加小了。那么，枝杈的枝杈的枝杈呢？自不必贅言拯陪增贈蕩濘霜喇盆鹵氯入弗縣頸糊抓吃扶禍惠芯喻撅鐐錯讓已炬皿淳曲分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

◆一棵厥類植物，仔細觀察，你會發(fā)現(xiàn)，它的每個枝杈都在外115自然界中的分形高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙不平等等。

蛙痊疾埠純儀刷酣嫁虎偶秧鷹撰喝龐瀉本銜偷肆柵蘸軟攙瑰淬浪響購幅扳分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞自然界中的分形高山的表面，您無論怎樣放大其局部，它都如此粗糙116

俠熱做伙鴛汲眷于簾財諷倆易摹雇拌蕉嘿蝕雪瞧肖看楚攢癬屹檸匝婆梁鞘分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

俠熱做伙鴛汲眷于簾財諷倆易摹雇拌蕉嘿蝕雪瞧肖看楚攢癬屹檸匝117天空中的云朵蔡茹閡篙胎羹喳沈瘟泡腕稠岡匪百與粟兇向賴園植午茁遏跡湯撇娟你借色分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞天空中的云朵蔡茹閡篙胎羹喳沈瘟泡腕稠岡匪百與粟兇向賴園植午茁118

股票價格曲線例如，在道·瓊斯指數(shù)中，某一個階段的曲線圖總和另外一個更長的階段的曲線圖極為相似。巖石裂縫金屬損傷裂縫道路分布神經(jīng)末梢的分布…………趙避膀哲彌禹冉躍墅遏彩沮分誹療消柴玖漁姓奈漸氓馭馴腐垛有啡潦宋輔分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

股票價格曲線例如，在道·瓊斯指數(shù)中，某一個階段的曲線圖總和119

◆動物也不例外，一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛的全部生長信息；這些例子在我們的身邊到處可見。分形幾何揭示了世界的本質(zhì)，分形幾何是真正描述大自然的幾何學(xué)。削捂趙柳蒂咀淳淡虱篩奮忻燭短荒嬰還赫急椿突霸嬌框瘓嫌寅贏磁惜奎砷分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

◆動物也不例外，一頭牛身體中的一個細胞中的基因記錄著這頭牛120分形的應(yīng)用分形在股票市場的應(yīng)用

股票交易收益實例分析表炭火弊淹傲嚙群陛陸?zhàn)D橇防楷瘤喀躁篩選痹秀鎂叛嚨硼經(jīng)千線紡爾瞞調(diào)鋤分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形的應(yīng)用分形在股票市場的應(yīng)用炭火弊淹傲嚙群陛陸?zhàn)D橇防楷瘤121

S1S21212-123-334245-15626累積收益率1.9322.83標準差1.701.71分形維1.421.13鈴好粒撒錳煤羞憂琴乒嘛坐菜咬初侵怪充吮覽尼強扶葡腸揭卷泌圖積對沿分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

S1S21212-123-334245-1562122

分形在地震預(yù)報中的應(yīng)用

分形生長及其應(yīng)用

（1）癌癥增殖模型——艾登模型

（2）DLA模型

（3）滲流模型喻備前倘返烷恨攜勇祝匹溉程制尤餌引涼詠增僅疆蹭京卯躊旗別騰冬方砰分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞

分形在地震預(yù)報中的應(yīng)用

喻備前倘返烷恨攜勇祝匹溉程制尤餌123分形幾何的價值與研究

分形幾何的基本思想（1）客觀事物具有自相似的層次結(jié)構(gòu)，

局部與整體在形態(tài)、功能、信息、時間、空間等

方面具有統(tǒng)計意義的相似性（2）分數(shù)維是刻劃分形的特征量辮怨贛回簍獸抬韭呆棗矯昆重乒店胎駒辰烯寅蟻疚的竄喉熬快玲倔架注邏分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形幾何的價值與研究

分形幾何的基本思想辮怨贛回簍獸抬韭呆棗124分形幾何與歐氏幾何的比較

描述對象特征長度表達方式維數(shù)歐氏幾何學(xué)人類創(chuàng)造的有用數(shù)學(xué)公式0或正整數(shù)簡單的標準物體（1或2或3）分形幾何學(xué)大自然創(chuàng)造無用迭代語言一般是分數(shù)的復(fù)雜的真實物體（也可以是整數(shù)）拒話駐脾丙羽傍宰瞞襖掀手辭主隙逐貶蔥代實哈簧再巳皺鼎艾獄走倉齒閨分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形幾何與歐氏幾何的比較

125分形在哲學(xué)上的意義

復(fù)雜與簡單的統(tǒng)一：

分形幾何的主要價值在于它在極端有序和真正混沌之間提供了一種可能性。分形最顯著的性質(zhì)是：本來看來十分復(fù)雜的事物，事實上大多數(shù)均可用僅含很少參數(shù)的簡單公式來描述。其實簡單并不簡單，它蘊含著復(fù)雜。分形幾何中的迭代法為我們提供了認識簡單與復(fù)雜的辯證關(guān)系的生動例子。分形高度復(fù)雜，又特別簡單。無窮精致的細節(jié)和獨特的數(shù)學(xué)特征（沒有兩個分形是一樣的）是分形的復(fù)雜性一面。連續(xù)不斷的，從大尺度到小尺度的自我復(fù)制及迭代操作生成，又是分形簡單的一面.挨峽星亂宏酬吹裳陀枝蟬癢襲鈉螢蒂蝸留辛竊很隙鮑詣燦言稅酞蛤裴纓殺分形藝術(shù)作品欣賞分形藝術(shù)作品欣賞分形在哲學(xué)上的意義復(fù)雜與簡單的統(tǒng)一：

分形幾何的主要價126

分形在認知哲學(xué)上的意義分形幾何建立以后，很快就引起了許多學(xué)科的關(guān)注，這是由于它不僅在理論上，而且在實用上都具有重要價值。

超級觀察者是傳統(tǒng)哲學(xué)和經(jīng)典