傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式（圖）上一回說(shuō)到，利用傅立葉級(jí)數(shù)（FourierSeries,簡(jiǎn)稱FS）這個(gè)數(shù)學(xué)法寶，可以將一般的周期信號(hào)分解為直流成分、基波和無(wú)窮多個(gè)高次諧波成分的疊加，從而方便地確定其頻譜。但上述的傅立葉級(jí)數(shù)表達(dá)式只是傅立葉級(jí)數(shù)的三角形式，在實(shí)用中還有傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式，本文介紹。一、傅立葉級(jí)數(shù)的三角形式對(duì)于一個(gè)周期為T的周期函數(shù)fT（t），在一定條件下可以在連續(xù)點(diǎn)t處展開為傅立葉級(jí)數(shù)的三角形式，即：其中el=2n/T為周期函數(shù)的圓頻率，也就是信號(hào)的基頻；傅立葉系數(shù)分別為(2)(3)(4)在信號(hào)分析理論中a0叫做直流分量，an叫做余弦分量系數(shù)，bn叫做正弦分量系數(shù)。二、傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式根據(jù)歐拉公式有（5）其中j為虛數(shù)單位，即/=口（6）不難從傅立葉級(jí)數(shù)的三角形式導(dǎo)出傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式：fT{t）=》（n為整數(shù)）—g（7）其中傅立葉系數(shù)一般為復(fù)數(shù)q=#；/r妙ndt,（n=0,+1,+2,+3,-}（8）三、傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式與三角形式的關(guān)系根據(jù)歐拉公式由式（7）有（9）不難看出傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式與三角形式可以描述同一個(gè)周期信號(hào)，只是數(shù)學(xué)形式不同而已。其中兩種形式的傅立葉系數(shù)關(guān)系如下：

(10)或(12)%o(13)2|qaQ=G=Cn￡ii(10)或(12)%o(13)2|qaQ=G=Cn￡ii為正整數(shù)）緒=」（?—Gi為正整數(shù)）(CQ=aQ-Cn=-jgr&為正整數(shù))iJ=|(%卡加童5為正整數(shù)］(11)可以看出傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式中的傅立葉系數(shù)不再是實(shí)數(shù)，而是復(fù)數(shù)。四、周期信號(hào)的頻譜分析從傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式也可以進(jìn)行頻譜分析。由式（9）得可知，周期函數(shù)fT（t）包含的直流分量為基波分量的振幅為基波初相位為fr（t）=》匚誇叫亡+》坊込伍嗎上+甲Jn=—?=1他=—tan-1-((#)其幅角(pn就是雙邊頻率各次諧波成分的初相位，其中n為整數(shù)。再看看傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式可寫成(22)其數(shù)學(xué)含義就是說(shuō)，一般周期信號(hào)可以分解為無(wú)窮多個(gè)離散頻率分量的疊加，各分量的頻率是基頻的整數(shù)倍，振幅是傅立葉系數(shù)Cn的復(fù)模，初相位是傅立葉系數(shù)Cn的幅角。注意：當(dāng)n=0時(shí)傅立葉系數(shù)C0為大于或等于0的實(shí)數(shù)，其代表的成分就是周期信號(hào)的直流分量；當(dāng)n=±1時(shí)所代表的雙邊頻率成分就是周期信號(hào)的基波分量；而其余各對(duì)雙邊頻率成分就是周期信號(hào)的各個(gè)高次諧波分量?？梢姴捎弥笖?shù)形式的傅立葉級(jí)數(shù)，分析周期信號(hào)的頻譜更為直截了當(dāng)。六、周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜分析ET22V21ET22V21itiouhzh^OOfi.biaci.i6S.com例如：前面講過(guò)的周期矩形脈沖信號(hào)，波形如下圖:圖1周期矩形脈沖的時(shí)域波形可根據(jù)傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式，直接求其雙邊頻譜函數(shù)為(23(23)((25)其中(24)稱之為抽樣函數(shù)或Sa(x)函數(shù)，是信號(hào)分析技術(shù)中非常有用的函數(shù)，其圖象如下：圖2抽樣函數(shù)的圖象由上可知，周期矩形脈沖信號(hào)的雙邊頻譜函數(shù)的模為|F〔Q|=[Cn\=^lSa(n^/2}\其雙邊振幅頻譜如下圖所示：Ig)l=Ig)l=I帶tiyi'嚴(yán)7(假它T=2?5C3hou^zhe5008.tilog.1El.cojn圖3周期矩形脈沖函數(shù)的雙邊振幅頻譜0,頻譜函數(shù)的幅角，即各次諧波分量的初相位為0,2Jr—(2fc+l^i—；卜。為整數(shù))+1i—蘭itV(2fc+刃一TT(26)相位頻譜如下圖:相位頻譜如下圖:圖4周期矩形脈沖信號(hào)的相位頻譜可以看出，對(duì)于一個(gè)以T為周期的周期矩形脈沖信號(hào)fT（t），可以利用傅立葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式方便地分析出其離散頻譜?；l31越低（即周期T越長(zhǎng)），或脈沖