§3.7力學(xué)量算符之間的對(duì)易關(guān)系討論微觀態(tài)中某一力學(xué)量時(shí)，總是以的本征值譜作為力學(xué)量的可能值。若我們同時(shí)觀測狀態(tài)中的一組不同力學(xué)量，將會(huì)得到什么結(jié)果呢？這一講我們主要討論這個(gè)問題。主要內(nèi)容有：一個(gè)關(guān)系：力學(xué)量算符之間的對(duì)易關(guān)系

三個(gè)定理:

§3.7力學(xué)量算符之間的對(duì)易關(guān)系討論微觀態(tài)中某一力1算符之積若?(?ψ)=(??)ψ=êψ則??=ê其中ψ是任意波函數(shù)。一般來說算符之積不滿足交換律，即??≠??這是算符與通常數(shù)運(yùn)算規(guī)則的唯一不同之處。算符之積若?(?ψ)=(??)ψ=êψ一般2對(duì)易關(guān)系若??≠??，則稱?與?不對(duì)易。由于所以(3.7-1)對(duì)易關(guān)系若??≠??，則稱?與?不對(duì)易。由于所以3為了運(yùn)算上的方便，引入量子括號(hào)上式可寫為(3.7-2)同理可得(3.7-3)(3.7-4)為了運(yùn)算上的方便，引入量子括號(hào)上式可寫為(3.7-2)同理可4

不難證明對(duì)易括號(hào)滿足如下對(duì)易關(guān)系：1)[?,?]=-[?,?]2)[?,?+ê]=[?,?]+[?,ê]3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]4)[?,[?,ê]]+[?,[ê,?]]+[ê,[?,?]]=0

上面的第四式稱為Jacobi恒等式。不難證明對(duì)易括號(hào)滿足如下對(duì)易關(guān)系：5

證明3)[?,?ê]=[?,?]ê+?[?,ê]

利用則[?,?]≡??-??證明3)[?,?ê]=[?,?]ê+6(3.7-5)角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系(3.7-5)角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系7同理可得

寫成矢量

(3.7-6)(3.7-7)同理可得寫成矢量(3.7-6)(3.7-7)8同理可得

(3.7-8)同理可得(3.7-8)9定理：若兩個(gè)力學(xué)量算符有一組共同完備 的本征函數(shù)系，則二算符對(duì)易。證：由于n組成完備系，所以任意態(tài)函數(shù)(x)可以按其展開：定理：若兩個(gè)力學(xué)量算符有一組共同完備 的本征函數(shù)系，則二算符10則因?yàn)?x)是任意函數(shù)則因?yàn)?x)是任意函數(shù)11兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)（x）時(shí)，力學(xué)量F一般沒有確定值。如果力學(xué)量F有確定值，（x）必為F的本征態(tài)，即兩力學(xué)量同時(shí)有確定值的條件體系處于任意狀態(tài)（x）時(shí)，力學(xué)12如果有另一個(gè)力學(xué)量G在態(tài)中也有確定值，則必也是G的一個(gè)本征態(tài)，即結(jié)論：當(dāng)在

態(tài)中測量力學(xué)量F和G時(shí)，如果同時(shí)具有確定值，那么必是二力學(xué)量共同本征函數(shù)。如果有另一個(gè)力學(xué)量G在態(tài)中也有確定值，則13定理：一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算符兩兩對(duì)易。例1：例2：定理：一組力學(xué)量算符具有共同完備本征函數(shù)系的充要條件是這組算14力學(xué)量完全集合（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對(duì)易的力學(xué) 量算符的最小（數(shù)目）集合稱為力學(xué)量完全集。例1：三維空間中自由粒子，完全確定其狀態(tài)需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：例2：氫原子，完全確定其狀態(tài)也需要三個(gè)兩兩對(duì)易的力學(xué)量：例3：一維諧振子，只需要一個(gè)力學(xué)量就可完全確定其狀態(tài)：（2）力學(xué)量完全集中力學(xué)量的數(shù)目一般與體系自由度數(shù)相同。（3）由力學(xué)量完全集所確定的本征函數(shù)系，構(gòu)成該體系態(tài)空間的 一組完備的本征函數(shù)，即體系的任何狀態(tài)均可用它展開。力學(xué)量完全集合（1）定義：為完全確定狀態(tài)所需要的一組兩兩對(duì)易15測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)由上節(jié)討論表明，兩力學(xué)量算符對(duì)易則同時(shí)有確定值； 若不對(duì)易，一般來說，不存在共同本征函數(shù)， 不同時(shí)具有確定值。問題：兩個(gè)不對(duì)易算符所對(duì)應(yīng)的力學(xué)量在某一狀態(tài)中究竟不確定到什么程度？即不確定度是多少？不確定度：測量值Fn與平均值<F>的偏差的大小。測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)由上節(jié)討論表明，兩力學(xué)量算符對(duì)易則同時(shí)有16若(3.7-9)令(3.7-10)若(3.7-9)令(3.7-10)17測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)設(shè)二厄密算符對(duì)易關(guān)系為：即測不準(zhǔn)關(guān)系的嚴(yán)格推導(dǎo)設(shè)二厄密算符對(duì)易關(guān)系為：即18算符對(duì)易關(guān)系ppt課件19由代數(shù)二次式理論可知，該不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)系：將并利用所以由代數(shù)二次式理論可知，該不等式成立的條件是系數(shù)必須滿足下列關(guān)20（二）坐標(biāo)和動(dòng)量的測不準(zhǔn)關(guān)系（1）測不準(zhǔn)關(guān)系（二）坐標(biāo)和動(dòng)量的測不準(zhǔn)關(guān)系（1）測不準(zhǔn)關(guān)系21由測不準(zhǔn)關(guān)系確定諧振子的零點(diǎn)能振子能量于是：由于由測不準(zhǔn)關(guān)系確定諧振子的零點(diǎn)能振子能量于是：由于22二均方偏差不能同時(shí)為零，故E最小值也不能是零。為求E的最小值，取式中等號(hào)。求極值：解得：因均方偏差不能小于零，故取正零點(diǎn)能就是測不準(zhǔn)關(guān)系所要求的最小能量則二均方偏差不能同時(shí)為零，故E最小值也不能是零。為求E23（三）角動(dòng)量的測不準(zhǔn)關(guān)系例1：利用測不準(zhǔn)關(guān)系證明，在Lz本征態(tài)Ylm下， 〈Lx〉=〈Ly〉=0證：由于在Lz本征態(tài)Ylm中，測量力學(xué)量Lz

有確定值，所以Lz均方偏差必為零，即（三）角動(dòng)量的測不準(zhǔn)關(guān)系例1：利用測不準(zhǔn)關(guān)系證明，在Lz24則測不準(zhǔn)關(guān)系：平均值的平方為非負(fù)數(shù)欲保證不等式成立，必有：同理：例2：L2，LZ共同本征態(tài)Ylm

下，求測不準(zhǔn)關(guān)系：解：由例1可知：則測不準(zhǔn)關(guān)系：平均值的平方為非負(fù)數(shù)欲保證不等式成立，必有：同25例題4一維運(yùn)動(dòng)的粒子處在

求解：歸一化后可得利用有所以

例題4一維運(yùn)動(dòng)的粒子處在所以26所以

滿足不確定關(guān)系

所以滿足不確定關(guān)系27例在對(duì)某一狀態(tài)進(jìn)行測量時(shí)，同時(shí)得到能量能唯一確定這一狀態(tài)嗎？解：能。因?yàn)槿齻€(gè)力學(xué)量對(duì)易，故共同本征態(tài)為

例在對(duì)某一狀態(tài)進(jìn)行測量時(shí)，同時(shí)得到能量28例題求粒子處于時(shí)角動(dòng)量分量和分量的平均值。解：首先應(yīng)注意，是的共同本征函數(shù)，而不對(duì)易，故不是