第五章積分學不定積分定積分定積分第五章積分學不定積分定積分定積分1第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質機動目錄上頁下頁返回結束定積分的概念及性質第五章第一節(jié)一、定積分問題舉例二、定積分的定義三、定積分的性質2一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續(xù)曲線以及兩直線所圍成,求其面積A.機動目錄上頁下頁返回結束矩形面積梯形面積一、定積分問題舉例1.曲邊梯形的面積設曲邊梯形是由連續(xù)曲線3解決步驟:1)

大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入n–1個分點用直線將曲邊梯形分成n個小曲邊梯形;2)

常代變.在第i個窄曲邊梯形上任取作以為底,為高的小矩形,并以此小矩形面積近似代替相應窄曲邊梯形面積得機動目錄上頁下頁返回結束解決步驟:1)大化小.在區(qū)間[a,b]中任意插入43)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積機動目錄上頁下頁返回結束3)近似和.4)取極限.令則曲邊梯形面積機動目錄52.變速直線運動的路程設某物體作直線運動,且求在運動時間內物體所經過的路程s.解決步驟:1)大化小.將它分成在每個小段上物體經2)常代變.得已知速度機動目錄上頁下頁返回結束n個小段過的路程為2.變速直線運動的路程設某物體作直線運動,且求在運動時間內63)近似和.4)取極限.上述兩個問題的共性:解決問題的方法步驟相同:“大化小,常代變,近似和,取極限”所求量極限結構式相同:特殊乘積和式的極限機動目錄上頁下頁返回結束3)近似和.4)取極限.上述兩個問題的共性:解決問題7二、定積分定義(P277)任一種分法任取總趨于確定的極限I,則稱此極限I為函數在區(qū)間上的定積分,即此時稱f(x)在[a,b]上可積.記作機動目錄上頁下頁返回結束二、定積分定義(P277)任一種分法任取總趨于確定的極限8積分上限積分下限被積函數被積表達式積分變量積分和定積分是一個數值，僅與被積函數及積分區(qū)間有關,即而與積分變量用什么字母表示無關,機動目錄上頁下頁返回結束積分上限積分下限被積函數被積表達式積分變量積分和定積分是一個9利用定積分的定義，我們前面討論的兩個實際問題可以分別表述如下：

利用定積分的定義，我們前面討論的兩個實際問題可以10定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值各部分面積的代數和機動目錄上頁下頁返回結束定積分的幾何意義:曲邊梯形面積曲邊梯形面積的負值各部分面積的11定理1.定理2.且只有有限個間斷點可積的充分條件:(證明略)例1.

利用定義計算定積分解:將[0,1]n等分,分點為取機動目錄上頁下頁返回結束定理1.定理2.且只有有限個間斷點可積的充分條件:(證明略12注注目錄上頁下頁返回結束注注目錄上頁下頁返回結束13[注]

利用得兩端分別相加,得即[注]利用得兩端分別相加,得即14例2.

用定積分表示下列極限:解:機動目錄上頁下頁返回結束例2.用定積分表示下列極限:解:機動目錄上頁15說明:機動目錄上頁下頁返回結束根據定積分定義可得如下近似計算方法:將[a,b]分成n等份:(左矩形公式)(右矩形公式)說明:機動目錄上頁下頁返回結束16(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛普森機動目錄上頁下頁返回結束公式,復化求積公式等,并有現成的數學軟件可供調用.(梯形公式)為了提高精度,還可建立更好的求積公式,例如辛17三、定積分的性質(設所列定積分都存在)(k為常數)證:=右端機動目錄上頁下頁返回結束三、定積分的性質(設所列定積分都存在)(k為常數)證:=18證:當時,因在上可積,所以在分割區(qū)間時,可以永遠取c為分點,于是機動目錄上頁下頁返回結束證:當時,因在上可積,所以在分割區(qū)間時,可以永遠取19當a,b,c的相對位置任意時,例如則有機動目錄上頁下頁返回結束當a,b,c的相對位置任意時,例如則有機動206.若在[a,b]上則證:推論1.若在[a,b]上則機動目錄上頁下頁返回結束6.若在[a,b]上則證:推論1.若在[a21推論2.證:即7.設則機動目錄上頁下頁返回結束推論2.證:即7.設則機動目錄上頁下頁228.積分中值定理則至少存在一點使證:則由性質7可得根據閉區(qū)間上連續(xù)函數介值定理,使因此定理成立.性質7目錄上頁下頁返回結束8.積分中值定理則至少存在一點使證:則由性質7可得根據閉23說明:可把故它是有限個數的平均值概念的推廣.機動目錄上頁下頁返回結束積分中值定理對因說明:可把故它是有限個數的平均值概念的推廣.機動目24例4.

計算從0秒到T秒這段時間內自由落體的平均速度.解:已知自由落體速度為故所求平均速度機動目錄上頁下頁返回結束例4.計算從0秒到T秒這段時間內自由落體的平均速度25內容小結1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性質3.積分中值定理機動目錄上頁下頁返回結束矩形公式梯形公式連續(xù)函數在區(qū)間上的平均值公式近似計算內容小結1.定積分的定義—乘積和式的極限2.定積分的性26思考與練習1.用定積分表示下述極限:解:或機動目錄上頁下頁返回結束思考與練習1.用定積分表示下述極限:解:或機動目錄27思考:如何用定積分表示下述極限提示:極限為0!機動目錄上頁下頁返回結束思考:如何用定積分表示下述極限提示:極限為0!機動282.P287題33.P287題4(2),(4)題4(4)解:設則即機動目錄上頁下頁返回結束2.P287題33.P287