河南省平頂山市臨汝鎮(zhèn)鄉(xiāng)中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理下學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知為等差數(shù)列，其前項(xiàng)和為，若，，則公差等于（

）． A． B． C． D．參考答案：C設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，則由，，得：，解得，．故選．2.條件，條件；若p是q的充分而不必要條件，則的取值范圍是A．

B．

C．

D．參考答案：B略3.已知，那么的值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B4.已知命題，命題，且,則()A.命題是真命題 B.命題是假命題C.命題是假命題 D.命題是真命題參考答案：A【分析】先分別判斷命題與命題的真假，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】令，則易知在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即；因此命題為真命題；由得；所以，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；因此，命題，且為假命題；所以命題是真命題.故選A【點(diǎn)睛】本題主要考查簡(jiǎn)單的邏輯連接詞，復(fù)合命題真假的判定，熟記判定方法即可，屬于?？碱}型.5.函數(shù)f(x)＝2x＋3x的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()．A．(－2，－1)

B．(－1,0)

C．(0,1)

D．(1,2)參考答案：B6.已知，且，現(xiàn)給出如下結(jié)論：①；②；③；④。其中正確結(jié)論的序號(hào)是（

）A．①③

B．①④

C．②③

D．②④參考答案：C7.若（（））=A. B.1 C. D.2參考答案：C略8.己知全集U=R，集合A． B．C． D． 參考答案：C9.某企業(yè)投入100萬元購入一套設(shè)備．該設(shè)備每年的運(yùn)轉(zhuǎn)費(fèi)用是0.5萬元，此外每年都要花費(fèi)一定的維護(hù)費(fèi)，第一年的維護(hù)費(fèi)為2萬元，由于設(shè)備老化，以后每年的維護(hù)費(fèi)都比上一年增加2萬元．為使該設(shè)備年平均費(fèi)用最低，該企業(yè)（

）年后需要更新設(shè)備.A.

10

B.

11

C.

13

D.

21參考答案：A由題意可知年的維護(hù)費(fèi)用為，所以年平均污水處理費(fèi)用為，由均值不等式得，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，所以選A.10.若的大小關(guān)系（

）A.

B. C. D.與x的取值有關(guān)參考答案：D略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.給出定義：若，則叫做實(shí)數(shù)的“親密函數(shù)”，記作，在此基礎(chǔ)上給出下列函數(shù)的四個(gè)命題：①函數(shù)在上是增函數(shù)；②函數(shù)是周期函數(shù)，最小正周期為1；③函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱；④當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).其中正確命題的序號(hào)是

參考答案：答案：②③④解析：時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖像可知①錯(cuò)，②，③對(duì)，再作出的圖像可判斷有兩個(gè)交點(diǎn)，④對(duì)12.下面有5個(gè)命題：①函數(shù)的最小正周期是．②終邊在軸上的角的集合是．③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)的圖象和函數(shù)的圖象有3個(gè)公共點(diǎn)．④把函數(shù)的圖象向右平移得到的圖象．⑤函數(shù)在上是減函數(shù)．其中，真命題的編號(hào)是___________（寫出所有真命題的編號(hào)）參考答案：答案：①④解析：①，正確；②錯(cuò)誤；③，和在第一象限無交點(diǎn)，錯(cuò)誤；④正確；⑤錯(cuò)誤．故選①④．13.

.參考答案：14.(不等式選講選做題)若為正實(shí)數(shù)，，則的最大值是______參考答案：15.已知正實(shí)數(shù)成等差數(shù)列，成等比數(shù)列，則的最小值是

．參考答案：略16.要使函數(shù)的圖像不經(jīng)過第二象限，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

.參考答案：略17.已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)處的切線過點(diǎn)，則a=_____．參考答案：【分析】求得函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，可得切線的斜率，由兩點(diǎn)的斜率公式，解方程可得a的值．【詳解】，，又因?yàn)?，切點(diǎn)是，切線方程是：，.故答案為【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查兩點(diǎn)的斜率公式，以及方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（本小題滿分12分）如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，，，側(cè)面，△是等邊三角形，，，是線段的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：；

（Ⅱ）求與平面所成角的正弦值．

參考答案：（Ⅰ）證明：因?yàn)閭?cè)面，平面，

所以.

又因?yàn)椤魇堑冗吶切?，是線段的中點(diǎn)，所以．

因?yàn)?，所以平面．而平面，所以．………?分（Ⅱ）解：以為原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．

則，，，．，，．設(shè)為平面的法向量．由

即令，可得．………9分設(shè)與平面所成的角為．．所以與平面所成角的正弦值為．…………………12分19.（14分）在長(zhǎng)方形ABB1A1中，AB=2AA1=2，C，C1分別是AB，A1B1的中點(diǎn)（如圖一）．將此長(zhǎng)方形沿CC1對(duì)折，使平面ACC1A1⊥平面CBB1C1（如圖二），已知D是AB的中點(diǎn)．（Ⅰ）求證：BC1∥平面A1CD；（Ⅱ）求證：平面A1CD⊥平面ABB1A1；（Ⅲ）求三棱錐C1﹣A1CD的體積．參考答案：【考點(diǎn)】：棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積；直線與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定．【專題】：空間位置關(guān)系與距離．【分析】：（I）利用正方形的性質(zhì)、三角形中位線定理、線面平行的判定定理即可得出．（Ⅱ）由AC=BC，D為AB中點(diǎn)，可得CD⊥AB；利用線面垂直的判定定理可得：CC1⊥平面ABC．又可得BB1⊥CD．可得CD⊥平面AA1B1B，即可證明：平面ACD⊥平面AA1B1B．（Ⅲ）作DH⊥AC于H，由于CC1⊥平面ABC，可得DH⊥平面ACC1A1．利用V=即可得出．（Ⅰ）證明：連接AC1，設(shè)AC1∩A1C=E，連接DE，∵AC=AA1=1=CC1=A1C1，AA1⊥AC，∴ACC1A1是正方形，∴E是AC1中點(diǎn)，又D為AB中點(diǎn)，∴ED∥BC1，又ED?平面A1CD，BC1?平面A1CD，∴BC1∥平面A1CD．（Ⅱ）證明：∵AC=BC，D為AB中點(diǎn)，∴CD⊥AB，∵CC1⊥AC，CC1⊥BC，且相交，∴CC1⊥平面ABC．∵BB1∥CC1，∴BB1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴BB1⊥CD．∴CD⊥平面AA1B1B，∵CD?平面ACD，∴平面ACD⊥平面AA1D1B．（Ⅲ）解：作DH⊥AC于H，由于CC1⊥平面ABC．∴CC1⊥DH，又DH⊥AC，∴DH⊥平面ACC1A1．∴DH即為D到平面平面ACC1A1的距離．又∵平面平面ACC1A1⊥平面CBB1C1且交線是CC1，BC?平面CBB1C1，BC⊥CC1，∴BC⊥平面平面ACC1A1．∴BC⊥AC，而DH⊥AC，且BC=1，∴DH=，V===．【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了正方形的性質(zhì)、線面面面平行垂直的判定與性質(zhì)定理、三角形中位線定理、三棱錐的體積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．20.(本小題滿分12分）已知向量.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）設(shè)函數(shù)，已知在△ABC中，內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為，若,求

()的取值范圍.

參考答案：解：（1）

…………2分

…………6分

（2）+由正弦定理得

…9分,,

所以

--------------------12分21.某人上午7時(shí)乘船出發(fā)，以勻速v海里/小時(shí)（4≤v≤20）從A港前往相距50海里的B地，然后乘汽車以勻速ω千米/小時(shí)（30≤ω≤100）自B港前往相距300千米的C市，計(jì)劃當(dāng)天下午4到9時(shí)到達(dá)C市．設(shè)乘船和汽車的所要的時(shí)間分別為x、y小時(shí)，如果所需要的經(jīng)費(fèi)P=100+3（5﹣x）+（8﹣y）（單位：元）（1）試用含有v、ω的代數(shù)式表示P；（2）要使得所需經(jīng)費(fèi)P最少，求x和y的值，并求出此時(shí)的費(fèi)用．參考答案：【考點(diǎn)】36：函數(shù)解析式的求解及常用方法；5D：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用．【分析】（1）分析題意，找出相關(guān)量之間的不等關(guān)系，（2）求出x，y滿足的約束條件，由約束條件畫出可行域，要求走得最經(jīng)濟(jì)，即求可行域中的最優(yōu)解，將目標(biāo)函數(shù)看成是一條直線，分析目標(biāo)函數(shù)p與直線截距的關(guān)系，進(jìn)而求出最優(yōu)．【解答】解：（1）由題意得：x=，4≤v≤20，y=，30≤ω≤100，∴P=100+3（5﹣）+（8﹣）=123﹣﹣，其中，4≤v≤20，30≤ω≤100，（2）由（1）可得2.5≤x≤12.5，3≤y≤10，①由于汽車、乘船所需的時(shí)間和應(yīng)在9至14小時(shí)之間，∴9≤x+y≤14

②因此滿足①②的點(diǎn)（x，y）的存在范圍是圖中陰影部分目標(biāo)函數(shù)p=100+3（5﹣x）+（8﹣y）=123﹣3x﹣y，當(dāng)x=11，y=3時(shí)，p最小，此時(shí)，p=123﹣33﹣3=87【點(diǎn)評(píng)】本題考查不等式關(guān)系的建立，考查線性規(guī)劃知識(shí)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．22.（本小題共14分）設(shè)是一個(gè)自然數(shù)，是的各位數(shù)字的平方和，定義數(shù)列：是自然數(shù)，（，）．（Ⅰ）求，；（Ⅱ）若，求證：；（Ⅲ）求證：存在，使得．參考答案：（Ⅰ）；．