1.5有理數(shù)的乘除1．有理數(shù)的乘法(1)有理數(shù)的乘法法則①兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘．如：－3×(－2)＝＋(3×2)＝6，(－2)×3＝－(2×3)＝－6.②任何數(shù)與零相乘仍得零．如：(－5)×0＝0.(2)有理數(shù)乘法的步驟第一步：確定積的符號；第二步：計算各因數(shù)的絕對值；第三步：計算絕對值的積．由于絕對值總是正數(shù)或0，因此絕對值相乘就是小學中的算術乘法．由此可見，有理數(shù)乘法實質上就是通過符號法則，歸結為算術的乘法完成的．解技巧有理數(shù)的乘法運算技巧(1)兩個有理數(shù)相乘時，先確定積的符號，再把絕對值相乘，帶分數(shù)相乘時，要先把帶分數(shù)化為假分數(shù)，分數(shù)與小數(shù)相乘時，一般統(tǒng)一寫成分數(shù)．(2)一個數(shù)同零相乘，仍得零，同1相乘，仍得原數(shù)，同－1相乘得原數(shù)的相反數(shù)．(3)兩數(shù)相乘，若把一個因數(shù)換成它的相反數(shù)，則所得的積是原來積的相反數(shù)．【例1】計算：(1)eq\f(4,5)×0.2；(2)13×(－4)；(3)(－1.3)×(－5)；(4)；(5).分析：利用乘法法則進行計算．這里(1)中是正數(shù)和正數(shù)相乘，因而得正；(2)中是正數(shù)和負數(shù)相乘，因而得負；(3)中是負數(shù)與負數(shù)相乘，因而得正；(4)中是負數(shù)和負數(shù)相乘，因而得正；(5)中是負數(shù)和零相乘，因而得零．小數(shù)和帶分數(shù)一般化為分數(shù)或假分數(shù)．解：(1)原式＝eq\f(4,5)×eq\f(1,5)＝eq\f(4,25)；(2)原式＝－(13×4)＝－52；(3)原式＝＋(1.3×5)＝6.5；(4)原式＝；(5)原式＝0.2.倒數(shù)(1)倒數(shù)的概念如果兩個有理數(shù)的乘積為1，我們稱這兩個有理數(shù)互為倒數(shù)，如2與eq\f(1,2)，eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))與eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)))分別互為倒數(shù)．用字母表示：若ab＝1，則a，b互為倒數(shù)，反之，若a，b互為倒數(shù)，則ab＝1.(2)倒數(shù)的求法若a≠0，則a的倒數(shù)是eq\f(1,a)，正數(shù)的倒數(shù)是正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)是負數(shù)，0無倒數(shù)．為了方便，一般采用如下方法：

①非零整數(shù)——直接寫成這個數(shù)分之一．如：4的倒數(shù)是eq\f(1,4)，－6的倒數(shù)是－eq\f(1,6).②分數(shù)的倒數(shù)——把分子、分母顛倒寫即可；帶分數(shù)要化為假分數(shù)，小數(shù)要化為分數(shù)后再把分子、分母顛倒位置寫．如：－eq\f(3,4)的倒數(shù)是－eq\f(4,3)；－0.25的倒數(shù)是－4，－1eq\f(2,3)的倒數(shù)是－eq\f(3,5).③倒數(shù)等于本身的數(shù)是±1，零沒有倒數(shù)．辨誤區(qū)倒數(shù)與相反數(shù)的區(qū)別一定要注意倒數(shù)的概念和相反數(shù)的概念的區(qū)分，互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為零，互為倒數(shù)的兩數(shù)之積為1，同時正數(shù)的倒數(shù)仍為正數(shù)，負數(shù)的倒數(shù)仍為負數(shù)．【例2】求下列各數(shù)的倒數(shù)．(1)－3；(2)eq\f(4,5)；(3)－0.2；(4)3eq\f(2,3).分析：求一個整數(shù)的倒數(shù)直接寫成這個數(shù)分之一即可；求一個分數(shù)的倒數(shù)，就是把這個分數(shù)的分子、分母顛倒位置即可；求一個小數(shù)的倒數(shù)，先把這個小數(shù)化成分數(shù)，再求其倒數(shù)；求一個帶分數(shù)的倒數(shù)，要先化為假分數(shù)再求．解：(1)－3的倒數(shù)為－eq\f(1,3)；(2)eq\f(4,5)的倒數(shù)為eq\f(5,4)；(3)由于－0.2＝－eq\f(1,5)，所以－0.2的倒數(shù)為－5；(4)由于3eq\f(2,3)＝eq\f(11,3)，所以3eq\f(2,3)的倒數(shù)為eq\f(3,11).3．有理數(shù)乘法法則的推廣(1)幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為零，積為零．如：1×2×(－5)×0×6＝0.(2)幾個不為零的數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定．當負因數(shù)有奇數(shù)個時，積為負；當負因數(shù)有偶數(shù)個時，積為正．(3)由上面的法則可以知道：幾個不等于零的數(shù)相乘，首先確定積的符號，然后，再把每個因數(shù)的絕對值相乘．這就是多個因數(shù)求積的常用方法．解技巧多個有理數(shù)相乘的技巧多個有理數(shù)相乘時，先觀察因數(shù)中有沒有0.如果有0，積就是0；如果沒有0，一般按從左向右的順序計算絕對值的積作為積的絕對值．【例3】計算：(1)；(2)(＋5.9)×(－1992)×(＋1993)×(－2000)×0；(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)．分析：(1)四個因數(shù)只有一個是負數(shù)，所以結果是負數(shù)，再把帶分數(shù)化為假分數(shù)，約分之后得出結果；(2)因為乘式中含有一個因數(shù)0，故積為零；(3)式子中的負數(shù)有3個，所以結果是負數(shù)．多個有理數(shù)進行運算時，應一次確定結果的符號，再計算各因數(shù)絕對值的積，這樣既簡捷又不易出錯．解：(1)＝－eq\f(22,7)×eq\f(22,3)×eq\f(7,22)×eq\f(21,22)＝－7.(2)(＋5.9)×(－1992)×(＋1993)×(－2000)×0＝0.(3)(－5)×8×(－7)×(－0.25)＝－(5×8×7×0.25)＝－70.4.有理數(shù)的除法(1)有理數(shù)除法的意義在有理數(shù)運算中，除法的意義依然是乘法的逆運算，即已知兩個因數(shù)的積和其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算．除法可以轉化為乘法來進行．(2)有理數(shù)的除法法則①有理數(shù)的除法法則一(直接相除的法則)：Ⅰ.兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除．

Ⅱ.零除以一個不為零的數(shù)，仍得零．零不能作除數(shù)．用字母表示：Ⅰ.若a＞0，b＞0，則eq\f(a,b)＝eq\f(|a|,|b|)；若a＜0，b＜0，則eq\f(a,b)＝eq\f(|a|,|b|)；若a＜0，b＞0，則eq\f(a,b)＝－eq\f(|a|,|b|)；若a＞0，b＜0，則eq\f(a,b)＝－eq\f(|a|,|b|).Ⅱ.若a≠0，則eq\f(0,a)＝0.②有理數(shù)的除法法則二(化除為乘的法則)：除以一個不為零的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)．用字母表示：a÷b＝a×eq\f(1,b)(b≠0)．析規(guī)律兩個除法法則的區(qū)別對于除法的兩個法則，在計算時根據具體情況，靈活運用，一般在不能整除的情況下應用法則二，在能整除的情況下，應用法則一比較簡便．【例4】計算：(1)(－16)÷(－4)；(2)；(3)；(4)0÷(－20)．分析：在做除法時，選擇哪一個除法法則，應從運算是否方便考慮，和乘法一樣，做除法時，先要把帶分數(shù)化為假分數(shù)．解：(1)(－16)÷(－4)＝16÷4＝4；(2)；(3)＝eq\f(11,6)×eq\f(8,7)＝eq\f(44,21)；(4)0÷(－20)＝0.5．有理數(shù)的乘、除混合運算(1)有理數(shù)的乘、除混合運算①形式a÷b÷c；a×b÷c；a÷b×c，這些都是有理數(shù)的乘、除混合運算．②方法有理數(shù)的乘、除混合運算，先將除法轉化為乘法，然后按照乘法法則確定積的符號，最后求出結果．如，計算：(－81)÷2eq\f(1,4)×eq\f(4,9)÷(－15)．③運算順序對于連除或乘除混合運算問題，我們可以按從左到右的順序依次進行計算，也可以直接把除法轉化為乘法來計算．(2)有理數(shù)的四則混合運算對于含有加、減、乘、除的有理數(shù)的混合運算，運算順序是：如沒有括號，應先做乘除運算，后做加減運算；如有括號，應先做括號里的運算，再做其他運算．【例5－1】計算：(1)(－eq\f(3,5))×(－3eq\f(1,2))÷(－1eq\f(1,4))÷3；(2)－2eq\f(1,4)÷1.125×(－8)．分析：

乘除混合運算要按從左到右順序進行．對于有理數(shù)的乘除法混合運算，應將它們統(tǒng)一為有理數(shù)的乘法運算．先由負因數(shù)的個數(shù)確定結果的符號，再把帶分數(shù)化為假分數(shù)，同時把小數(shù)也化為分數(shù)，最后考慮約分．解：(1)(－eq\f(3,5))×(－3eq\f(1,2))÷(－1eq\f(1,4))÷3＝(－eq\f(3,5))×(－eq\f(7,2))×(－eq\f(4,5))×eq\f(1,3)＝－eq\f(3,5)×eq\f(7,2)×eq\f(4,5)×eq\f(1,3)＝－eq\f(14,25)；(2)－2eq\f(1,4)÷1.125×(－8)＝eq\f(9,4)÷eq\f(9,8)×8＝eq\f(9,4)×eq\f(8,9)×8＝16.【例5－2】計算：(eq\f(1,5)－eq\f(1,3))×(eq\f(1,4)＋eq\f(1,5))÷(－eq\f(1,20))÷(－eq\f(1,3)).分析：本題是有理數(shù)的加減乘除混合運算，可按四則混合運算的順序進行計算，有括號的要先算括號里面的．解：(eq\f(1,5)－eq\f(1,3))×(eq\f(1,4)＋eq\f(1,5))÷(－eq\f(1,20))÷(－eq\f(1,3))＝－eq\f(2,15)×eq\f(9,20)×(－20)×(－3)＝－(eq\f(2,15)×eq\f(9,20)×20×3)＝－eq\f(18,5).6．有理數(shù)的乘法的運算律(1)乘法交換律兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積不變．即ab＝ba.(2)乘法結合律三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或先把后兩個數(shù)相乘，積不變．即(ab)c＝a(bc)．(3)分配律一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加．即a(b＋c)＝ab＋ac.分配律在有理數(shù)的運算以及今后的有關代數(shù)式運算及變形中運用非常廣泛，它的正向運用(即從左到右)與逆向運用(即從右到左)對于不同形式的計算與變形都起著簡化的作用，應注意靈活運用．如，計算：(1eq\f(3,4)－eq\f(7,8)－eq\f(7,12))×(－1eq\f(1,7))，考慮前一個括號里面的各個因數(shù)的分子都是7，而后面括號里面的因數(shù)的分母是7，可以直接利用乘法的分配律簡化運算．【例6】用簡便方法計算：(1)(－eq\f(1,2)＋eq\f(1,6)－eq\f(3,8)＋eq\f(5,12))×(－24)；(2)－13×eq\f(2,3)－0.34×eq\f(2,7)＋eq\f(1,3)×(－13)－eq\f(5,7)×0.34.分析：第(1)題中有(－24)是括號中各分母的公倍數(shù)，所以應利用分配律變形；第(2)題把－0.34×eq\f(2,7)與eq\f(1,3)×(－13)交換位置，然后利用結合律將前兩項結合、后兩項結合，即分成兩組，再分別在每組中逆用分配律即可．解：(1)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))×(－24)＋eq\f(1,6)×(－24)＋eq\f(3,8)×24＋eq\f(5,12)×(－24)＝12－4＋9－10＝7.

(2)原式＝－13×eq\f(2,3)＋eq\f(1,3)×(－13)－0.34×eq\f(2,7)－eq\f(5,7)×0.34＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－13×\f(2,3)＋\f(1,3)×－13))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0.34×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,7)))－\f(5,7)×0.34))＝＝(－13)×1＋0.34×(－1)＝－13－0.34＝－13.34.7．有理數(shù)混合運算的技巧進行有理數(shù)的乘除運算，除了注意運算順序和運算法則之外，還要注意一些運算技巧，力求使運算簡便．解答有理數(shù)除法運算有關的問題時，我們應注意利用有理數(shù)的除法法則，將有理數(shù)的除法運算轉化為有理數(shù)的乘法運算．如果被除數(shù)或除數(shù)中有小數(shù)應先化為分數(shù)，有帶分數(shù)應先化為假分數(shù)，便于約分，簡化運算．辨誤區(qū)除法沒有分配律除法沒有分配律，如在有理數(shù)的除法運算中，如果按a÷(b＋c)＝a÷b＋a÷c進行分配就錯了．除法是沒有分配律的，從而不能運用分配律．像6÷3×eq\f(1,3)有時會習慣性地將3和分母中的3約分，這是錯誤的，應嚴格按運算順序進行計算，并經過一定練習才能靈活進行有理數(shù)的混合運算．有理數(shù)的乘、除混合運算的性質有：①a÷b÷c＝a÷(b×c)＝a÷c÷b.即一個數(shù)除以另一個數(shù)所得的商再除以第三個數(shù)，等于第一個數(shù)除以第二、三兩數(shù)的積；也等于第一個數(shù)除以第三個數(shù)所得的商再除以第二個數(shù)．如：740÷(37×4)＝740÷37÷4＝20÷4＝5.②a×b÷c＝a×(b÷c)＝(a÷c)×b.即兩個數(shù)的積除以第三個數(shù)，等于其中任意一個乘數(shù)除以第三個數(shù)，再與另一個乘數(shù)相乘．如：136×73÷68＝2×73＝146.③a÷b×c＝a÷(b÷c)．即第一個數(shù)除以第二個數(shù)所得的商再乘以第三個數(shù)，等于先求出第二個數(shù)除以第三個數(shù)的商，再用第一個數(shù)除以這個商．如：480000÷144×12＝480000÷(144÷12)＝480000÷12＝40000.以上三個公式中，添括號或去括號都有規(guī)律．添括號時，如果一個數(shù)的前面是乘號，那么這個數(shù)前面添上括號后，括到括號里面的運算符號不變；如果一個數(shù)的前面是除號，那么在這個數(shù)前面添上括號后，括到括號里面的運算符號要改變，乘號變除號，除號變乘號．【例7－1】計算：(1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)＋\f(1,3)))÷eq\f(1,60)；(2)eq\f(1,60)÷.分析：(1)先將除法轉化為乘法，運用了分配律后使運算簡便；第(2)題屬于易錯題，因為除法沒有分配律，只有乘法才有分配律，而一些學生往往因不看清題目而錯誤地運用運算律．解：(1)方法一：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)＋\f(1,3)))÷eq\f(1,60)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(15,60)－\f(12,60)＋\f(20,60)))×60＝eq\f(23,60)×60＝23.方法二：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)＋\f(1,3)))÷eq\f(1,60)＝(eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,3))×60＝eq\f(1,4)×60－eq\f(1,5)×60＋eq\f(1,3)×60＝23.(2)方法一：eq\f(1,60)÷(eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,3))＝eq\f(1,60)÷(eq\f(15,60)－eq\f(12,60)＋eq\f(20,60))＝eq\f(1,60)÷eq\f(23,60)＝eq\f(1,23).

方法二：∵eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)－\f(1,5)＋\f(1,3)))÷eq\f(1,60)＝(eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,3))×60＝eq\f(1,4)×60－eq\f(1,5)×60＋eq\f(1,3)×60＝23，∴根據倒數(shù)的定義有eq\f(1,60)÷(eq\f(1,4)－eq\f(1,5)＋eq\f(1,3))＝eq\f(1,23).【例7－2】計算：(－48)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＋\f(3,4)＋\f(1,12))).分析：在有理數(shù)的計算中，如果能夠準確地確定運算結果的符號，則可省去一些不必要的括號，運算步驟的簡明與流暢可以提高運算的正確率．解：(－48)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)＋\f(3,4)＋\f(1,12)))＝48×eq\f(2,3)－48×eq\f(3,4)－48×eq\f(1,12)＝32－36－4＝－8.【例7－3】計算：－3.5×35.2＋(－7)×32.4.分析：仔細觀察算式的特點，可以發(fā)現(xiàn)3.5和7存在倍數(shù)關系，不妨將7寫成3.5×2，然后逆用分配律來簡化計算．解：－3.5×35.2＋(－7)×32.4＝－3.5×35.2＋(－3.5)×2×32.4＝－3.5×(35.2＋2×32.4)＝－3.5×100＝－350.【例7－4】計算：0.25÷eq\f(1,68)×(－eq\f(15,17)).分析：本題如果先計算0.25÷eq\f(1,68)的結果再乘以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(15,17)))，運算過程就很繁雜，而且容易出錯．仔細觀察每一個數(shù)的特點，考慮0.25×4＝1，可將68分解成4×17.,去括號時，如果括號的前面是乘號，那么去掉括號后，括號里面的運算符號不變；如果括號的前面是除號，那么去掉括號后，括號里面的運算符號要改變，乘號變除號，除號變乘號．解：0.25÷eq\f(1,68)×(－eq\f(15,17))＝0.25×68×(－eq\f(15,17))＝0.25×4×17×(－eq\f(15,17))＝(0.25×4)×＝1×(－15)＝－15.8．計算器的使用計算器是一種方便實用的計算工具，計算速度快，計算準確，操作方便．使用時要特別注意以下幾點：(1)按下數(shù)字鍵后，應看清顯示器上的顯示是否正確；(2)用計算器進行有理數(shù)的加減運算時，按式子的順序從左向右按；(3)用計算器進行有理數(shù)的乘除運算時，特別是有負數(shù)出現(xiàn)時，先應按eq\x(－)，再輸入其絕對值；(4)對于加減乘除混合運算，只要按算式的書寫順序輸入，計算器會按要求求出結果．【例8】用計算器計算：－15.13＋4.85＋(－7.69)－(－13.88)．分析：不同的計算器用法不一樣，要注意，使用計算器能進行一些較為復雜的運算．解：用帶符號鍵eq\x(－)的計算器計算．按鍵順序：eq\x(－)eq\x(1)eq\x(5)eq\x(·)eq\x(1)eq\x(3)eq\x(＋)eq\x(4)eq\x(·)eq\x(8)eq\x(5)eq\x(＋)eq\x(－)eq\x(7)eq\x(