10.5角平分線第2課時(shí)ABCPMNDEF10.5角平分線第2課時(shí)ABCPMNDEFContents目錄01020304舊知回顧學(xué)習(xí)目標(biāo)新知探究隨堂練習(xí)05課堂小結(jié)Contents目錄01020304舊知回顧學(xué)習(xí)目標(biāo)新知探究1.角平分線的性質(zhì)定理定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等.這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根據(jù)之一.如圖,∵OC是∠AOB的平分線,P是OC上任意一點(diǎn),

PD⊥OA,PE⊥OB,垂足分別是D,E(已知)∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等)CB1A2PDEO1.角平分線的性質(zhì)定理這個(gè)結(jié)論是經(jīng)常用來證明兩條線段相等的根2.角平分線的判定定理定理：在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上.如圖,∵PD=PE,PD⊥OA,PE⊥OB,

垂足分別是D,E(已知),∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上.(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上).這個(gè)結(jié)論又是經(jīng)常用來證明點(diǎn)在直線上(或直線經(jīng)過某一點(diǎn))的根據(jù)之一.CB1A2PDEO2.角平分線的判定定理如圖,∵PD=PE,PD⊥OA,1.能夠證明三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)且這一點(diǎn)到三條邊的距離相等；2.角平分線的性質(zhì)定理和判定定理的靈活運(yùn)用..1.能夠證明三角形的三條角平分線交于一點(diǎn)且這一點(diǎn)到三條邊的距剪一個(gè)三角形紙片通過折疊找出每個(gè)角的平分線.觀察這三條角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么?結(jié)論:三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).你想證明這個(gè)命題嗎?你能證明這個(gè)命題嗎?剪一個(gè)三角形紙片通過折疊找出每個(gè)角的平分線.觀察這三條角平分利用尺規(guī)作出三角形三個(gè)角的角平分線.觀察這三條角平分線,你發(fā)現(xiàn)了什么?結(jié)論:三角形三個(gè)角的角平分線相交于一點(diǎn).你想證明這個(gè)命題嗎?你能證明這個(gè)命題嗎?利用尺規(guī)作出三角形三個(gè)角的角平分線.觀察這三條角平分線,你思考分析

命題:三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).基本思路:我們知道,兩條直線相交只有一個(gè)交點(diǎn).要想證明三條直線相交于一點(diǎn),只要能證明兩條直線的交點(diǎn)在第三條直線上即可.這時(shí)可以考慮前面剛剛學(xué)到的逆定理.如何證三條直線交于一點(diǎn)？思考分析命題:三角形三個(gè)角的平分線相交于一點(diǎn).基本思路

如圖,設(shè)△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P,過點(diǎn)P分別作BC,AC,AB的垂線,垂足分別E,F,D.∵BM是△ABC的角平分線,點(diǎn)P在BM上∴PD=PE(角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等).同理,PE=PF.∴點(diǎn)P在∠BAC的平分線上(在一個(gè)角的內(nèi)部,且到角兩邊距離相等的點(diǎn),在這個(gè)角的平分線上)，并且PD=PE=PF.∴△ABC的三條角平分線相交于一點(diǎn)P，并且P點(diǎn)到三條邊的距離相等.ABCPMNDEF如圖,設(shè)△ABC的角平分線BM,CN相交于點(diǎn)P

定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.如圖,在△ABC中,∵BM,CN,AH分別是△ABC的三條角平分且

PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC這又是一個(gè)證明三條直線交于一點(diǎn)的根據(jù)之一，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.∴BM,CN,AH相交于一點(diǎn)P,且PD=PE=PF(三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等).DEFABCPMNH定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)

例3如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平線,DE⊥AB,垂足為E.(2)求證:AB=AC+CD.(1)如果CD=,求AC的長;例3如圖,在△ABC中,已知AC=BEDABC

例3如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平線,DE⊥AB,垂足為E.(1)如果CD=,求AC的長;解（1）∵

AD是△ABC的角平線,DE⊥AB,

DC⊥AC,∴DE=CD=∵AC=BC∴∠B=∠BAC(等邊對等角)∵∠C=90°∴∠B=45°∴∠BDE=90°-

45°=45°∴BE=DE

在等腰直角三角形BDE中EDABC例3如圖,在△ABC中,已知EDABC解（2）證明：由（1）的求解過程可知，

Rt△ACD≌Rt△AED(HL)∴AC=AE.∵BE=DE=CD,∴AB=AE+BE=AC+CD

例3如圖,在△ABC中,已知AC=BC,∠C=90°,AD是△ABC的角平線,DE⊥AB,垂足為E.(2)求證:AB=AC+CD.EDABC解（2）證明：由（1）的求解過程可知，1.如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等，則可選擇的地址有幾處？滿足條件共4個(gè)l3l21lCBA1.如圖：直線l1、l2、l3表示三條相互交叉2.已知:如圖,∠C=90°,∠B=30°,AD是Rt△ABC的角平分線.

求證:BD=2CD.ABCD證明：

∵∠C=90°，

∠B=30°

∴Rt△ABC中，AB=2BC,∠BAC=60°

∵

AD是△ABC的角平分線

∴∠BAD=∠DAC=30°,AD=BD

∴Rt△ACD中，AD=2CD

∴

BD=2CD2.已知:如圖,∠C=90°,∠B=30°,AD是R3.已知:如圖,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平分線相交于點(diǎn)F.

求證:點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.ABCFDE證明：

∵

BF是∠CBD的角平分線∴

F到BC,AD的距離相等

∵

BF是∠CBD的角平分線∴

F到BC,AE的距離相等∴

F到AD,AE的距離相等從而點(diǎn)F在∠DAE的平分線上.3.已知:如圖,△ABC的外角∠CBD和∠BCE的角平證明：(1)∵P是∠AOB平分線上的一個(gè)點(diǎn)，

PC⊥OA,PD⊥OB∴PC=PD

在Rt△POC和Rt△POD，OP=OP

∴Rt△POC

≌Rt△POD

∴OC=OD4.已知:如圖,P是∠AOB平分線上的一個(gè)點(diǎn)，并且PC⊥OA,

PD⊥OB,垂足分別是C,D.求證:(1)OC=OD;BAPDCO證明：(1)∵P是∠AOB平分線上的一個(gè)點(diǎn)，4.已知:4.已知:如圖,P是∠AOB平分線上的一個(gè)點(diǎn)，并且PC⊥OA,

PD⊥OB,垂足分別是C,D.求證:(2)OP是CD的垂直平分線.BAPDCO證明：(2)由PC=PD得P在CD的垂直平分線上由OC=OD得O在CD的垂直平分線上∴OP是CD的垂直平分線.4.已知:如圖,P是∠AOB平分線上的一個(gè)點(diǎn)，并且PC

定理:三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等.如圖,在△ABC中,∵BM,CN,AH分別是△ABC的三條角平分且

PD⊥AB,PE⊥BC,PF⊥AC這又是一個(gè)證明三條直線交于一點(diǎn)的根據(jù)之一，這個(gè)交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心.DEF∴BM,CN,AH相交于一點(diǎn)P,且PD=PE=PF(三角形的三條角平分線相交于一點(diǎn),并且這一點(diǎn)到三邊的距離相等).ABCPMN