廣東省湛江市吳川川西中學(xué)高三數(shù)學(xué)文期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)，對任意，，都有，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A. B. C. D.參考答案：D【分析】由題意將原問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)單調(diào)性的問題，利用導(dǎo)函數(shù)的符號結(jié)合題意確定實(shí)數(shù)的取值范圍即可．【詳解】由題意可知函數(shù)f（x）是（﹣∞，0）上的單調(diào)遞減函數(shù)，且當(dāng)x＜0時，，，可得：2axex+1≥0，即恒成立，令g（x）＝xex（x＜0），則g'（x）＝ex（x+1），據(jù)此可得函數(shù)g（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣1）上單調(diào)遞減，在區(qū)間（﹣1，0）上單調(diào)遞增，函數(shù)g（x）的最小值為，則，可得：實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值，恒成立問題的處理方法等知識，屬于中檔題．2.已知為等差數(shù)列,若,則的值為（

） A．

B．

C．

D．參考答案：A略3.與命題“若a∈M，則b?M”等價的命題是()A．若a?M，則b?M

B．若b?M，則a∈MC．若b∈M，則a?M

D．若a?M，則b∈M參考答案：C4.已知實(shí)數(shù)，函數(shù)，若關(guān)于的方程有三個不等的實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A.

B.

C.

D.參考答案：B當(dāng)時，為增函數(shù)，當(dāng)時，，為增函數(shù)，令，解得，故函數(shù)在上遞減，上遞增，最小值為.由此畫出函數(shù)圖像如下圖所示，令，因?yàn)?，所以，則有，所以，所以，要有三個不同實(shí)數(shù)根，則需，解得.

5.已知集合，那么集合為（

）

A、

B、

C、

D、參考答案：B略6.函數(shù)在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是A．

B．

C．

D．

參考答案：C略7.復(fù)數(shù)z滿足,則復(fù)數(shù)z的虛部是

（

）A

2i

B

-2i

C

2

D

-2參考答案：D8.從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如右圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知身高在[120，130]內(nèi)的學(xué)生人數(shù)為

(

)

A．20 B．25C．30 D．35參考答案：C略9.從圓外一點(diǎn)向這個圓作兩條切線，則兩切線夾角的余弦值為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D試題分析：圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，設(shè)兩切線夾角為，則，所以；故選D．考點(diǎn)：1.直線與圓相切；2.二倍角公式．10.已知雙曲線（a＞0，b＞0）的一個焦點(diǎn)與拋物線y2=12x的焦點(diǎn)重合，且雙曲線的離心率等于，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.若冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則它在點(diǎn)處的切線方程為

參考答案：略12.定義：曲線上的點(diǎn)到直線的距離的最小值稱為曲線上的點(diǎn)到直線的距離，已知曲線到直線的距離等于曲線到直線的距離，則實(shí)數(shù)______________.參考答案：【知識點(diǎn)】點(diǎn)到直線的距離；用導(dǎo)數(shù)求切線方程

H2

B11【答案解析】

解析：曲線到直線的距離為圓心到直線的距離與圓的半徑之差，即，由可得，令，則.在曲線上對應(yīng)的點(diǎn)，所以曲線到直線的距離即為點(diǎn)到直線的距離，故，所以，可得|，當(dāng)時，曲線與直線相交，兩者距離為0，不合題意，故.故答案為：【思路點(diǎn)撥】先根據(jù)定義求出曲線到直線的距離，然后根據(jù)曲線的切線與直線平行時，該切點(diǎn)到直線的距離最近建立等式關(guān)系，解之即可．13.已知數(shù)列{}的前項(xiàng)和，若它的第項(xiàng)滿足，則

參考答案：8略14.的值為.____________參考答案：15.已知是等差數(shù)列，且，，則公差=______________。參考答案：略16.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為．參考答案：【考點(diǎn)】L!：由三視圖求面積、體積．【分析】由三視圖還原原幾何體，該幾何體為棱長為2的正方體截去一個三棱錐C1﹣EFG，其中E、F、G分別為B1C1、D1C1、CC1的中點(diǎn)．然后由正方體體積減去三棱錐體積得答案．【解答】解：由三視圖還原原幾何體如圖：該幾何體為棱長為2的正方體截去一個三棱錐C1﹣EFG，其中E、F、G分別為B1C1、D1C1、CC1的中點(diǎn)．∴該幾何體的體積為V=．故答案為：．17.已知復(fù)數(shù)，則____________.參考答案：2略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.如圖，曲線Γ由曲線C1：和曲線C2：組成，其中點(diǎn)F1，F(xiàn)2為曲線C1所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，點(diǎn)F3，F(xiàn)4為曲線C2所在圓錐曲線的焦點(diǎn)，（1）若F2（2，0），F(xiàn)3（﹣6，0），求曲線Γ的方程；（2）如圖，作直線l平行于曲線C2的漸近線，交曲線C1于點(diǎn)A、B，求證：弦AB的中點(diǎn)M必在曲線C2的另一條漸近線上；（3）對于（1）中的曲線Γ，若直線l1過點(diǎn)F4交曲線C1于點(diǎn)C、D，求△CDF1面積的最大值．參考答案：【考點(diǎn)】直線與圓錐曲線的綜合問題．【分析】（1）由F2（2，0），F(xiàn)3（﹣6，0），可得，解出即可；（2）曲線C2的漸近線為，如圖，設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），設(shè)直線l：y=，與橢圓方程聯(lián)立化為2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，利用△＞0，根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式，只要證明，即可．（3）由（1）知，曲線C1：，點(diǎn)F4（6，0）．設(shè)直線l1的方程為x=ny+6（n＞0）．與橢圓方程聯(lián)立可得（5+4n2）y2+48ny+64=0，利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、三角形的面積計(jì)算公式、基本不等式的性質(zhì)即可得出．【解答】（1）解：∵F2（2，0），F(xiàn)3（﹣6，0），∴，解得，則曲線Γ的方程為和．（2）證明：曲線C2的漸近線為，如圖，設(shè)直線l：y=，則，化為2x2﹣2mx+（m2﹣a2）=0，△=4m2﹣8（m2﹣a2）＞0，解得．又由數(shù)形結(jié)合知．設(shè)點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），M（x0，y0），則x1+x2=m，x1x2=，∴=，．∴，即點(diǎn)M在直線y=﹣上．（3）由（1）知，曲線C1：，點(diǎn)F4（6，0）．設(shè)直線l1的方程為x=ny+6（n＞0）．，化為（5+4n2）y2+48ny+64=0，△=（48n）2﹣4×64×（5+4n2）＞0，化為n2＞1．設(shè)C（x3，y3），D（x4，y4），∴，．∴|y3﹣y4|==，===，令t=＞0，∴n2=t2+1，∴===，當(dāng)且僅當(dāng)t=，即n=時等號成立．∴n=時，=．19.(12分)如圖，在四棱錐中，底面是的中點(diǎn).

(I)證明：；

(II)證明：平面；

(III)求二面角的大小.參考答案：解析：(I)證明：在四棱錐中，因底面平面故.

平面.

而平面.(II)證明：由可得.是的中點(diǎn)，.

由(I)知，且所以平面.而平面.

底面在底面內(nèi)射影是.

又綜上得平面.(III)解法一：過點(diǎn)作垂足為連結(jié).由(II)知，平面在平面內(nèi)的射影是則.因此是二面角的平面角.

由已知，得.設(shè)可得

在中，.則

在中，

所以二面角的大小是解法二：由題設(shè)底面平面則平面平面交線為

過點(diǎn)作垂足為故平面過點(diǎn)作垂足為連結(jié)故因此是二面角的平面角.

由已知，可得.設(shè)可得

∽

于是，

在中，

所以二面角的大小是【考點(diǎn)】本小題考查直線與直線垂直、直線與平面垂直、二面角等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力.20.某市出租車的計(jì)價標(biāo)準(zhǔn)是：3km以內(nèi)(含3km)10元；超出3km但不超過18km的部分1元km；超出18km的部分2元km.(1)如果某人乘車行駛了20km，他要付多少車費(fèi)？某人乘車行駛了xkm，他要付多少車費(fèi)？(2)如果某人付了22元的車費(fèi)，他乘車坐了多遠(yuǎn)？某人付了10＋x(x>0)元的車費(fèi)，他乘車坐了多遠(yuǎn)？參考答案：(1)乘車行駛了20km，付費(fèi)分三部分，前3km付費(fèi)10(元)，3km到18km付費(fèi)(18－3)×1＝15(元)，18km到20km付費(fèi)(20－18)×2＝4(元)，故總付費(fèi)10＋15＋4＝29(元)．設(shè)付車費(fèi)y元，當(dāng)0<x≤3時，車費(fèi)y＝10；當(dāng)3<x≤18時，車費(fèi)y＝10＋(x－3)＝x＋7；當(dāng)x>18時，車費(fèi)y＝25＋2(x－18)＝2x－11.故y＝(2)付出22元的車費(fèi)，說明此人乘車行駛的路程大于3km，且小于18km.前3km付費(fèi)10元，余下的12元乘車行駛了12km，故此人乘車行駛了15km.設(shè)乘車行駛了ykm，當(dāng)0<x≤15時，y＝3＋x；當(dāng)x>15時，y＝18＋＝x＋．故y＝21.今年雷鋒日，某中學(xué)預(yù)備從高中三個年級選派4名教師和20名學(xué)生去當(dāng)雷鋒志愿者，學(xué)生的名額分配如下：（I）若從20名學(xué)生中選出3人參加文明交通宣傳，求他們中恰好有1人是高一年級學(xué)生的概率；高一年級高二年級高三年級10人6人4人（II）若將4名教師安排到三個年級（假設(shè)每名教師加入各年級是等可能的，且各位教師的選擇是相互獨(dú)立的），記安排到高一年級的教師人數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望.

參考答案：解：（I）設(shè)“他們中恰好有1人是高一年級學(xué)生”為事件，則答：若從選派的學(xué)生中任選3人進(jìn)行文明交通宣傳活動，他們中恰好有1人是高一年級學(xué)生的概率為.

………4分（II）解法1：的所有取值為0，1，2，3，4.由題意可知，每位教師選擇高一年級的概率均為.所以

;

;;;.

隨機(jī)變