第12章結(jié)構(gòu)的極限荷載§12-1概述§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機(jī)構(gòu)·靜定梁的計(jì)算§12-3單跨靜定梁的極限荷載§12-4比例加載時(shí)有關(guān)極限荷載的幾個(gè)定理§12-5計(jì)算極限荷載的窮舉法和試算法§12-6連續(xù)梁的極限荷載§12-7剛架的極限荷載§12-8矩陣位移法求剛架極限荷載的概念第12章結(jié)構(gòu)的極限荷載§12-1概述§12-2極限彎1、彈性分析方法把結(jié)構(gòu)當(dāng)作理想彈性體，用容許應(yīng)力法計(jì)算結(jié)構(gòu)的強(qiáng)度。其強(qiáng)度條件為2、塑性分析方法按極限荷載計(jì)算結(jié)構(gòu)強(qiáng)度，以結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性階段并最后喪失承載能力時(shí)的極限狀態(tài)作為結(jié)構(gòu)破壞的標(biāo)志。強(qiáng)度條件為§12-1概述σmax—結(jié)構(gòu)的實(shí)際最大應(yīng)力；[σ]—材料的容許應(yīng)力；

σu—材料的極限應(yīng)力；k—安全系數(shù)。F—結(jié)構(gòu)實(shí)際承受的荷載；Fu—極限荷載；K—安全系數(shù)。1、彈性分析方法2、塑性分析方法§12-1概述σmax—結(jié)§12-1概述

結(jié)構(gòu)塑性分析中，為簡化計(jì)算，把材料的應(yīng)力與應(yīng)變關(guān)系作合理地簡化。簡化為理想彈塑性材料。如圖所示。OA段：材料是理想彈性的，應(yīng)力與應(yīng)變成正比。AB段：材料是理想塑性的，應(yīng)力不變，應(yīng)變可以任意增長。CD段：應(yīng)力減為零時(shí)，有殘余應(yīng)變OD。

結(jié)構(gòu)的塑性分析中，疊加原理不再適用。只考慮荷載一次加于結(jié)構(gòu)，且各荷載按同一比例增加—比例加載?！?2-1概述結(jié)構(gòu)塑性分析中，為簡化計(jì)算，

圖a所示梁的橫截面有一對稱軸，承受位于對稱平面內(nèi)的豎向荷載作用。隨荷載的增大，梁截面應(yīng)力變化為圖(b)：荷載較小時(shí)，彈性階段，截面應(yīng)力σ<σS。圖(c)：荷載加大到一定值，最外邊緣應(yīng)力達(dá)到屈服極限σS，對應(yīng)的彎矩稱為屈服彎矩MS§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機(jī)構(gòu)·靜定

梁的計(jì)算圖a所示梁的橫截面有一對稱軸，承受位于對稱平§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機(jī)構(gòu)·靜定

梁的計(jì)算圖(d)：荷載再增加，截面由外向內(nèi)有更多部分的應(yīng)力為σS，其余纖維處于彈性階段—塑性流動(dòng)階段。圖(e)：荷載繼續(xù)增加，整個(gè)截面的應(yīng)力都達(dá)到了屈服極限σS，彎矩達(dá)到了最大—極限彎矩Mu。此時(shí)，截面彎矩不再增大，但彎曲變形可任意增長，相當(dāng)于在該截面處出現(xiàn)了一個(gè)鉸—塑性鉸。塑性鉸的特點(diǎn)：可以承受極限彎矩Mu。(2)是單向鉸，只沿彎矩的方向轉(zhuǎn)動(dòng)。彎矩減小時(shí)，材料恢復(fù)彈性，塑性鉸消失?！?2-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機(jī)構(gòu)·靜定

§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機(jī)構(gòu)·靜定

梁的計(jì)算由圖(e)可推得WS—塑性截面系數(shù)，受壓和受拉部分面積對等分截面軸的靜矩之和。當(dāng)截面為bh的矩形時(shí)故彈性截面系數(shù)為屈服彎矩為

對矩形截面梁來說，按塑性計(jì)算比按彈性計(jì)算截面的承載能力提高50%?！?2-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機(jī)構(gòu)·靜定

§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機(jī)構(gòu)·靜定

梁的計(jì)算破壞機(jī)構(gòu)結(jié)構(gòu)出現(xiàn)若干塑性鉸而成為幾何可變體系或瞬變體系。

靜定結(jié)構(gòu)出現(xiàn)一個(gè)塑性鉸即成為破壞機(jī)構(gòu)。對等截面梁，塑性鉸出現(xiàn)在|M|max處。

圖a所示截面簡支梁，跨中截面彎矩最大，該處出現(xiàn)塑性鉸時(shí)梁成為機(jī)構(gòu)如圖b。同時(shí)該截面彎矩達(dá)到極限彎矩Mu。

由平衡條件作M圖如c。由求得極限荷載為§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機(jī)構(gòu)·靜定

超靜定梁：具有多余聯(lián)系，只有出現(xiàn)足夠多的塑性鉸，才能使其成為破壞機(jī)構(gòu)。

圖(a)所示等截面梁，梁在彈性階段的彎矩圖如圖b，截面A的彎矩最大?！?2-3單跨超靜定梁的極限荷載

荷載增大到一定值時(shí)，A先出現(xiàn)塑性鉸。如圖c，A端彎矩為Mu，變成靜定的問題。此時(shí)梁未破壞，承載能力未達(dá)到極限。

荷載繼續(xù)增大，跨中截面C的彎矩達(dá)到Mu，C截面變成塑性鉸。如圖d，此時(shí)梁成為幾何可變的機(jī)構(gòu)，達(dá)到極限狀態(tài)。超靜定梁：具有多余聯(lián)系，只有出現(xiàn)足夠多的塑性鉸，才能

按平衡條件作出此時(shí)的彎矩圖，如圖e所示。由圖可得得極限荷載§12-3單跨超靜定梁的極限荷載

靜力法求極限荷載—超靜定梁（1）使破壞機(jī)構(gòu)中各塑性鉸處的彎矩都等于極限彎矩；（2）按靜力平衡條件作出彎矩圖，即可確定極限荷載。

機(jī)動(dòng)法求極限荷載—超靜定梁（1）設(shè)機(jī)構(gòu)沿荷載正方向產(chǎn)生任意微小的虛位移如圖d；（2）由虛功方程得極限荷載按平衡條件作出此時(shí)的彎矩圖，如圖e所示。由圖§12-3單跨超靜定梁的極限荷載例12-1試求圖a所示兩端固定的等截面梁的極限荷載。解：此梁出現(xiàn)三個(gè)塑性鉸即進(jìn)入極限狀態(tài)。塑性鉸出現(xiàn)在最大負(fù)彎矩A、B截面及最大正彎矩C截面。靜力法：作極限狀態(tài)彎矩圖如圖b。由平衡條件有得極限荷載機(jī)動(dòng)法：作出機(jī)構(gòu)的虛位移圖如圖c。得極限荷載§12-3單跨超靜定梁的極限荷載例12-1試求圖a所§12-3單跨超靜定梁的極限荷載例12-2試求圖a所示等截面梁在均布荷載作用時(shí)的極限荷載qu。解：此梁出現(xiàn)兩個(gè)塑性鉸即達(dá)到極限狀態(tài)。一個(gè)塑性鉸在A處，另一個(gè)塑性鉸在最大彎矩即剪力為零處。靜力法：如圖b，由∑MA=0，有得最大正彎矩為Mu，故有解得求得極限荷載§12-3單跨超靜定梁的極限荷載例12-2試求圖a所§12-4比例加載時(shí)有關(guān)極限荷載的幾個(gè)定理比例加載：作用于結(jié)構(gòu)上的各個(gè)荷載增加時(shí)，始終保持它們之間原有的固定比例關(guān)系，且不出現(xiàn)卸載現(xiàn)象。荷載參數(shù)F：所有荷載都包含的一個(gè)公共參數(shù)。確定極限荷載實(shí)際上就是確定極限狀態(tài)時(shí)的荷載參數(shù)Fu。

結(jié)構(gòu)處于極限狀態(tài)時(shí)應(yīng)同時(shí)滿足：（1）機(jī)構(gòu)條件。結(jié)構(gòu)出現(xiàn)足夠數(shù)目的塑性鉸而成為機(jī)構(gòu)。（2）內(nèi)力局限條件。任一截面的彎矩絕對值|M|≤Mu。（3）平衡條件。結(jié)構(gòu)的整體或任一局部仍維持平衡?！?2-4比例加載時(shí)有關(guān)極限荷載的幾個(gè)定理比例加載：作用于結(jié)§12-4比例加載時(shí)有關(guān)極限荷載的幾個(gè)定理可破壞荷載：滿足機(jī)構(gòu)條件和平衡條件的荷載，用F+表示。（不一定滿足內(nèi)力局限條件）可接受荷載：滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載，用F-表示。（不一定滿足機(jī)構(gòu)條件）1、極小定理：極限荷載是所有可破壞荷載中的極小者。2、極大定理：極限荷載是所有可接受荷載中的極大者。3、惟一性定理：極限荷載只有一個(gè)確定值。若某荷載既是可破壞荷載，又是可接受荷載，則該荷載即為極限荷載。§12-4比例加載時(shí)有關(guān)極限荷載的幾個(gè)定理可破壞荷載：滿足機(jī)§12-5計(jì)算極限荷載的窮舉法和試算法1、窮舉法：也稱機(jī)構(gòu)法或機(jī)動(dòng)法。列舉所有可能的破壞機(jī)構(gòu)，求出相應(yīng)的荷載，取其最小者即為極限荷載。2、試算法：任選一種破壞機(jī)構(gòu)，求出相應(yīng)荷載，并作彎矩圖，若滿足內(nèi)力局限條件，則該荷載即為極限荷載；如不滿足，則另選一機(jī)構(gòu)再試算……，直至滿足。例12-3試求圖a所示變截面梁的極限荷載。解：此梁出現(xiàn)兩個(gè)塑性鉸即成為破壞機(jī)構(gòu)。除最大負(fù)彎矩和最大正彎矩所在的A、C截面外，截面突變處D右側(cè)也可能出現(xiàn)塑性鉸?！?2-5計(jì)算極限荷載的窮舉法和試算法1、窮舉法：也稱機(jī)§12-5計(jì)算極限荷載的窮舉法和試算法1、窮舉法機(jī)構(gòu)1：設(shè)A、D處出現(xiàn)塑性鉸得機(jī)構(gòu)2：設(shè)A、C處出現(xiàn)塑性鉸得機(jī)構(gòu)3：設(shè)D、C處出現(xiàn)塑性鉸得極限荷載為§12-5計(jì)算極限荷載的窮舉法和試算法1、窮舉法機(jī)構(gòu)1：§12-5計(jì)算極限荷載的窮舉法和試算法2、試算法作彎矩圖如圖e。選擇機(jī)構(gòu)1：求得相應(yīng)的荷載

截面C的彎矩超過了Mu。此機(jī)構(gòu)不是極限狀態(tài)。選擇機(jī)構(gòu)2：求得相應(yīng)的荷載作彎矩圖如圖f。

所有截面的彎矩均未超過Mu。此時(shí)的荷載為可接受荷載，極限荷載為§12-5計(jì)算極限荷載的窮舉法和試算法2、試算法作彎矩圖

圖a所示連續(xù)梁只可能出現(xiàn)某一跨單獨(dú)破壞的機(jī)構(gòu)如圖b、c、d。也可能由相鄰各跨聯(lián)合形成破壞機(jī)構(gòu)如圖e?！?2-6連續(xù)梁的極限荷載

圖e中至少有一跨在中部出現(xiàn)負(fù)彎矩的塑性鉸，這是不可能出現(xiàn)的。連續(xù)梁的極限荷載計(jì)算：只需計(jì)算各跨單獨(dú)破壞時(shí)的荷載，取其最小者即為極限荷載。圖a所示連續(xù)梁只可能出現(xiàn)某一跨單獨(dú)破壞的機(jī)構(gòu)例12-4試求圖a所示連續(xù)梁的極限荷載。各跨分別為等截面的，其極限彎矩如圖所示。§12-6連續(xù)梁的極限荷載解：第1跨機(jī)構(gòu)如圖b。第2跨機(jī)構(gòu)如圖c。例12-4試求圖a所示連續(xù)梁的極限荷載。各跨分別為等截面第3跨機(jī)構(gòu)如圖d。

比較以上結(jié)果，按極小定理，第3跨首先破壞。極限荷載為§12-6連續(xù)梁的極限荷載第3跨機(jī)構(gòu)如圖d。比較以上結(jié)果，按極小定理，剛架極限荷載計(jì)算時(shí)忽略軸力和剪力對極限彎矩的影響。

圖a所示剛架，各桿分別為等截面桿，由彎矩圖的形狀可知，塑性鉸只可能在A、B、C（下側(cè)）、E（下側(cè)）、D五個(gè)截面出現(xiàn)。

此剛架為3次超靜定，只要出現(xiàn)4個(gè)塑性鉸或一直桿上出現(xiàn)3個(gè)塑性鉸即成為破壞機(jī)構(gòu)。可能的機(jī)構(gòu)形式有機(jī)構(gòu)1（圖b）：橫梁上出現(xiàn)3個(gè)塑性鉸，又稱“梁機(jī)構(gòu)”§12-7剛架的極限荷載窮舉法剛架極限荷載計(jì)算時(shí)忽略軸力和剪力對極限彎矩的影響?！?2-7剛架的極限荷載機(jī)構(gòu)2（圖c）：4個(gè)塑性鉸出現(xiàn)在A、C、

E、B處，整個(gè)剛架側(cè)移，又稱“側(cè)移機(jī)構(gòu)”。機(jī)構(gòu)3（圖d）：塑性鉸出現(xiàn)在A、D、E、

B處，橫梁轉(zhuǎn)折，剛架亦側(cè)移，又稱“聯(lián)合機(jī)構(gòu)”?！?2-7剛架的極限荷載機(jī)構(gòu)2（圖c）：4個(gè)塑性鉸出現(xiàn)在§12-7剛架的極限荷載機(jī)構(gòu)4（圖e）：也稱聯(lián)合機(jī)構(gòu)：右柱向左轉(zhuǎn)動(dòng)，D點(diǎn)豎直位移向下使較大的荷載2F作正功，

C點(diǎn)水平荷載F作負(fù)功。若所得F為負(fù)值，則需將虛位移反方向。

經(jīng)分析，無其他可能的機(jī)構(gòu)，按極小值定理取上述F中的最小者為極限荷載實(shí)際的破壞機(jī)構(gòu)為機(jī)構(gòu)3。§12-7剛架的極限荷載機(jī)構(gòu)4（圖e）：也稱聯(lián)合機(jī)構(gòu)：右試算法§12-7剛架的極限荷載選擇機(jī)構(gòu)2（圖c）求相應(yīng)的荷載F=2.67Mu/a。作彎矩圖如圖a。D點(diǎn)處彎矩為

不滿足內(nèi)力局限條件，荷載是不可承受的。試算法§12-7剛架的極限荷載選擇機(jī)構(gòu)2（圖c）D點(diǎn)處彎§12-7剛架的極限荷載選擇機(jī)構(gòu)3（圖d）求相應(yīng)的荷載F=2.29Mu/a。作彎矩圖如圖b。結(jié)點(diǎn)C處兩桿端彎矩為MC

滿足內(nèi)力局限條件，此機(jī)構(gòu)即為極限狀態(tài)，極限荷載為§12-7剛架的極限荷載選擇機(jī)構(gòu)3（圖d）結(jié)點(diǎn)C處兩桿端§12-8矩陣位移法求剛架極限荷載的概念矩陣位移法適合電算，能解決更復(fù)雜的求極限狀態(tài)的問題。增量法或變剛度法從彈性階段開始，每步增加一個(gè)塑性鉸，并把該處改為鉸結(jié)；求出下一個(gè)塑性鉸出現(xiàn)時(shí)荷載的增量，直到成為機(jī)構(gòu)，便可求得極限荷載。（1）令荷載參數(shù)F=1加于結(jié)構(gòu)，用矩陣位移法進(jìn)行彈性階段計(jì)算，其彎矩為M1。第一個(gè)塑性鉸必出現(xiàn)在處此時(shí)荷載值為彎矩為§12-8矩陣位移法求剛架極限荷載的概念矩陣位移法適合電§12-8矩陣位移法求剛架極限荷載的概念（2）將第一個(gè)塑性鉸處改為鉸結(jié)，結(jié)構(gòu)降低了一次超靜定，相應(yīng)地修改總剛。令F=1進(jìn)行第二輪計(jì)算（彈性），求得彎矩為M2。第二個(gè)塑性鉸必出現(xiàn)在