第12章結構的極限荷載§12-1概述§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機構·靜定梁的計算§12-3單跨靜定梁的極限荷載§12-4比例加載時有關極限荷載的幾個定理§12-5計算極限荷載的窮舉法和試算法§12-6連續(xù)梁的極限荷載§12-7剛架的極限荷載§12-8矩陣位移法求剛架極限荷載的概念第12章結構的極限荷載§12-1概述§12-2極限彎1、彈性分析方法把結構當作理想彈性體，用容許應力法計算結構的強度。其強度條件為2、塑性分析方法按極限荷載計算結構強度，以結構進入塑性階段并最后喪失承載能力時的極限狀態(tài)作為結構破壞的標志。強度條件為§12-1概述σmax—結構的實際最大應力；[σ]—材料的容許應力；

σu—材料的極限應力；k—安全系數(shù)。F—結構實際承受的荷載；Fu—極限荷載；K—安全系數(shù)。1、彈性分析方法2、塑性分析方法§12-1概述σmax—結§12-1概述

結構塑性分析中，為簡化計算，把材料的應力與應變關系作合理地簡化。簡化為理想彈塑性材料。如圖所示。OA段：材料是理想彈性的，應力與應變成正比。AB段：材料是理想塑性的，應力不變，應變可以任意增長。CD段：應力減為零時，有殘余應變OD。

結構的塑性分析中，疊加原理不再適用。只考慮荷載一次加于結構，且各荷載按同一比例增加—比例加載?！?2-1概述結構塑性分析中，為簡化計算，

圖a所示梁的橫截面有一對稱軸，承受位于對稱平面內(nèi)的豎向荷載作用。隨荷載的增大，梁截面應力變化為圖(b)：荷載較小時，彈性階段，截面應力σ<σS。圖(c)：荷載加大到一定值，最外邊緣應力達到屈服極限σS，對應的彎矩稱為屈服彎矩MS§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機構·靜定

梁的計算圖a所示梁的橫截面有一對稱軸，承受位于對稱平§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機構·靜定

梁的計算圖(d)：荷載再增加，截面由外向內(nèi)有更多部分的應力為σS，其余纖維處于彈性階段—塑性流動階段。圖(e)：荷載繼續(xù)增加，整個截面的應力都達到了屈服極限σS，彎矩達到了最大—極限彎矩Mu。此時，截面彎矩不再增大，但彎曲變形可任意增長，相當于在該截面處出現(xiàn)了一個鉸—塑性鉸。塑性鉸的特點：可以承受極限彎矩Mu。(2)是單向鉸，只沿彎矩的方向轉動。彎矩減小時，材料恢復彈性，塑性鉸消失?！?2-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機構·靜定

§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機構·靜定

梁的計算由圖(e)可推得WS—塑性截面系數(shù)，受壓和受拉部分面積對等分截面軸的靜矩之和。當截面為bh的矩形時故彈性截面系數(shù)為屈服彎矩為

對矩形截面梁來說，按塑性計算比按彈性計算截面的承載能力提高50%。§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機構·靜定

§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機構·靜定

梁的計算破壞機構結構出現(xiàn)若干塑性鉸而成為幾何可變體系或瞬變體系。

靜定結構出現(xiàn)一個塑性鉸即成為破壞機構。對等截面梁，塑性鉸出現(xiàn)在|M|max處。

圖a所示截面簡支梁，跨中截面彎矩最大，該處出現(xiàn)塑性鉸時梁成為機構如圖b。同時該截面彎矩達到極限彎矩Mu。

由平衡條件作M圖如c。由求得極限荷載為§12-2極限彎矩和塑性鉸·破壞機構·靜定

超靜定梁：具有多余聯(lián)系，只有出現(xiàn)足夠多的塑性鉸，才能使其成為破壞機構。

圖(a)所示等截面梁，梁在彈性階段的彎矩圖如圖b，截面A的彎矩最大?！?2-3單跨超靜定梁的極限荷載

荷載增大到一定值時，A先出現(xiàn)塑性鉸。如圖c，A端彎矩為Mu，變成靜定的問題。此時梁未破壞，承載能力未達到極限。

荷載繼續(xù)增大，跨中截面C的彎矩達到Mu，C截面變成塑性鉸。如圖d，此時梁成為幾何可變的機構，達到極限狀態(tài)。超靜定梁：具有多余聯(lián)系，只有出現(xiàn)足夠多的塑性鉸，才能

按平衡條件作出此時的彎矩圖，如圖e所示。由圖可得得極限荷載§12-3單跨超靜定梁的極限荷載

靜力法求極限荷載—超靜定梁（1）使破壞機構中各塑性鉸處的彎矩都等于極限彎矩；（2）按靜力平衡條件作出彎矩圖，即可確定極限荷載。

機動法求極限荷載—超靜定梁（1）設機構沿荷載正方向產(chǎn)生任意微小的虛位移如圖d；（2）由虛功方程得極限荷載按平衡條件作出此時的彎矩圖，如圖e所示。由圖§12-3單跨超靜定梁的極限荷載例12-1試求圖a所示兩端固定的等截面梁的極限荷載。解：此梁出現(xiàn)三個塑性鉸即進入極限狀態(tài)。塑性鉸出現(xiàn)在最大負彎矩A、B截面及最大正彎矩C截面。靜力法：作極限狀態(tài)彎矩圖如圖b。由平衡條件有得極限荷載機動法：作出機構的虛位移圖如圖c。得極限荷載§12-3單跨超靜定梁的極限荷載例12-1試求圖a所§12-3單跨超靜定梁的極限荷載例12-2試求圖a所示等截面梁在均布荷載作用時的極限荷載qu。解：此梁出現(xiàn)兩個塑性鉸即達到極限狀態(tài)。一個塑性鉸在A處，另一個塑性鉸在最大彎矩即剪力為零處。靜力法：如圖b，由∑MA=0，有得最大正彎矩為Mu，故有解得求得極限荷載§12-3單跨超靜定梁的極限荷載例12-2試求圖a所§12-4比例加載時有關極限荷載的幾個定理比例加載：作用于結構上的各個荷載增加時，始終保持它們之間原有的固定比例關系，且不出現(xiàn)卸載現(xiàn)象。荷載參數(shù)F：所有荷載都包含的一個公共參數(shù)。確定極限荷載實際上就是確定極限狀態(tài)時的荷載參數(shù)Fu。

結構處于極限狀態(tài)時應同時滿足：（1）機構條件。結構出現(xiàn)足夠數(shù)目的塑性鉸而成為機構。（2）內(nèi)力局限條件。任一截面的彎矩絕對值|M|≤Mu。（3）平衡條件。結構的整體或任一局部仍維持平衡?！?2-4比例加載時有關極限荷載的幾個定理比例加載：作用于結§12-4比例加載時有關極限荷載的幾個定理可破壞荷載：滿足機構條件和平衡條件的荷載，用F+表示。（不一定滿足內(nèi)力局限條件）可接受荷載：滿足內(nèi)力局限條件和平衡條件的荷載，用F-表示。（不一定滿足機構條件）1、極小定理：極限荷載是所有可破壞荷載中的極小者。2、極大定理：極限荷載是所有可接受荷載中的極大者。3、惟一性定理：極限荷載只有一個確定值。若某荷載既是可破壞荷載，又是可接受荷載，則該荷載即為極限荷載?！?2-4比例加載時有關極限荷載的幾個定理可破壞荷載：滿足機§12-5計算極限荷載的窮舉法和試算法1、窮舉法：也稱機構法或機動法。列舉所有可能的破壞機構，求出相應的荷載，取其最小者即為極限荷載。2、試算法：任選一種破壞機構，求出相應荷載，并作彎矩圖，若滿足內(nèi)力局限條件，則該荷載即為極限荷載；如不滿足，則另選一機構再試算……，直至滿足。例12-3試求圖a所示變截面梁的極限荷載。解：此梁出現(xiàn)兩個塑性鉸即成為破壞機構。除最大負彎矩和最大正彎矩所在的A、C截面外，截面突變處D右側也可能出現(xiàn)塑性鉸?！?2-5計算極限荷載的窮舉法和試算法1、窮舉法：也稱機§12-5計算極限荷載的窮舉法和試算法1、窮舉法機構1：設A、D處出現(xiàn)塑性鉸得機構2：設A、C處出現(xiàn)塑性鉸得機構3：設D、C處出現(xiàn)塑性鉸得極限荷載為§12-5計算極限荷載的窮舉法和試算法1、窮舉法機構1：§12-5計算極限荷載的窮舉法和試算法2、試算法作彎矩圖如圖e。選擇機構1：求得相應的荷載

截面C的彎矩超過了Mu。此機構不是極限狀態(tài)。選擇機構2：求得相應的荷載作彎矩圖如圖f。

所有截面的彎矩均未超過Mu。此時的荷載為可接受荷載，極限荷載為§12-5計算極限荷載的窮舉法和試算法2、試算法作彎矩圖

圖a所示連續(xù)梁只可能出現(xiàn)某一跨單獨破壞的機構如圖b、c、d。也可能由相鄰各跨聯(lián)合形成破壞機構如圖e?！?2-6連續(xù)梁的極限荷載

圖e中至少有一跨在中部出現(xiàn)負彎矩的塑性鉸，這是不可能出現(xiàn)的。連續(xù)梁的極限荷載計算：只需計算各跨單獨破壞時的荷載，取其最小者即為極限荷載。圖a所示連續(xù)梁只可能出現(xiàn)某一跨單獨破壞的機構例12-4試求圖a所示連續(xù)梁的極限荷載。各跨分別為等截面的，其極限彎矩如圖所示?！?2-6連續(xù)梁的極限荷載解：第1跨機構如圖b。第2跨機構如圖c。例12-4試求圖a所示連續(xù)梁的極限荷載。各跨分別為等截面第3跨機構如圖d。

比較以上結果，按極小定理，第3跨首先破壞。極限荷載為§12-6連續(xù)梁的極限荷載第3跨機構如圖d。比較以上結果，按極小定理，剛架極限荷載計算時忽略軸力和剪力對極限彎矩的影響。

圖a所示剛架，各桿分別為等截面桿，由彎矩圖的形狀可知，塑性鉸只可能在A、B、C（下側）、E（下側）、D五個截面出現(xiàn)。

此剛架為3次超靜定，只要出現(xiàn)4個塑性鉸或一直桿上出現(xiàn)3個塑性鉸即成為破壞機構?？赡艿臋C構形式有機構1（圖b）：橫梁上出現(xiàn)3個塑性鉸，又稱“梁機構”§12-7剛架的極限荷載窮舉法剛架極限荷載計算時忽略軸力和剪力對極限彎矩的影響。§12-7剛架的極限荷載機構2（圖c）：4個塑性鉸出現(xiàn)在A、C、

E、B處，整個剛架側移，又稱“側移機構”。機構3（圖d）：塑性鉸出現(xiàn)在A、D、E、

B處，橫梁轉折，剛架亦側移，又稱“聯(lián)合機構”。§12-7剛架的極限荷載機構2（圖c）：4個塑性鉸出現(xiàn)在§12-7剛架的極限荷載機構4（圖e）：也稱聯(lián)合機構：右柱向左轉動，D點豎直位移向下使較大的荷載2F作正功，

C點水平荷載F作負功。若所得F為負值，則需將虛位移反方向。

經(jīng)分析，無其他可能的機構，按極小值定理取上述F中的最小者為極限荷載實際的破壞機構為機構3?！?2-7剛架的極限荷載機構4（圖e）：也稱聯(lián)合機構：右試算法§12-7剛架的極限荷載選擇機構2（圖c）求相應的荷載F=2.67Mu/a。作彎矩圖如圖a。D點處彎矩為

不滿足內(nèi)力局限條件，荷載是不可承受的。試算法§12-7剛架的極限荷載選擇機構2（圖c）D點處彎§12-7剛架的極限荷載選擇機構3（圖d）求相應的荷載F=2.29Mu/a。作彎矩圖如圖b。結點C處兩桿端彎矩為MC

滿足內(nèi)力局限條件，此機構即為極限狀態(tài)，極限荷載為§12-7剛架的極限荷載選擇機構3（圖d）結點C處兩桿端§12-8矩陣位移法求剛架極限荷載的概念矩陣位移法適合電算，能解決更復雜的求極限狀態(tài)的問題。增量法或變剛度法從彈性階段開始，每步增加一個塑性鉸，并把該處改為鉸結；求出下一個塑性鉸出現(xiàn)時荷載的增量，直到成為機構，便可求得極限荷載。（1）令荷載參數(shù)F=1加于結構，用矩陣位移法進行彈性階段計算，其彎矩為M1。第一個塑性鉸必出現(xiàn)在處此時荷載值為彎矩為§12-8矩陣位移法求剛架極限荷載的概念矩陣位移法適合電§12-8矩陣位移法求剛架極限荷載的概念（2）將第一個塑性鉸處改為鉸結，結構降低了一次超靜定，相應地修改總剛。令F=1進行第二輪計算（彈性），求得彎矩為M2。第二個塑性鉸必出現(xiàn)在