廣東省湛江市實驗中學2021年高三數(shù)學理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知是第二象限的角，其終邊上的一點為，且，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：D2.已知直角梯形的上底和下底長分別為和，較短腰長為，若以較長的底為旋轉(zhuǎn)軸將該梯形旋轉(zhuǎn)一周，則該旋轉(zhuǎn)體的體積為(

)A．

B．

C．

D．參考答案：C略3.已知函數(shù)，給出下列四個命題：其中真命題是（

）①若，則②的最小正周期是③在區(qū)間上是增函數(shù)

④的圖象關(guān)于直線對稱．①②④．①③．②③．③④

參考答案：D4.已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且x≤0時，，若f(x)≥x+a“對于任意x∈R恒成立，則常數(shù)a的取值范圍是（A）（B）（C）（D）參考答案：C略5.對于任意兩個正整數(shù),定義某種運算“※”如下:當都為正偶數(shù)或正奇數(shù)時,※=;當中一個為正偶數(shù),另一個為正奇數(shù)時,※=．則在此定義下,集合※中的元素個數(shù)是(

)A．10個 B．15個 C．16個 D．18個參考答案：B略6.已知函數(shù)f（x）=，點A、B是函數(shù)f（x）圖象上不同兩點，則∠AOB（O為坐標原點）的取值范圍是（）A．（0，） B．（0，] C．（0，） D．（0，]參考答案：A【考點】分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】當x≤0時，函數(shù)f（x）是雙曲線得到漸近線的斜率k=﹣3，當x＞0時，求函數(shù)過原點的切線，根據(jù)直線的夾角公式進行求解即可．【解答】解：當x≤0時，由y=得y2﹣9x2=1，（x≤0），此時對應(yīng)的曲線為雙曲線，雙曲線的漸近線為y=﹣3x，此時漸近線的斜率k1=﹣3，當x＞0時，f（x）=1+xex﹣1，當過原點的直線和f（x）相切時，設(shè)切點為（a，1+aea﹣1），函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x）=ex﹣1+xex﹣1=（x+1）ex﹣1，則切線斜率k2=f′（a）=（a+1）ea﹣1，則對應(yīng)的切線方程為y﹣（1+aea﹣1）=（1+a）ea﹣1（x﹣a），即y=（1+a）ea﹣1（x﹣a）+1+aea﹣1，當x=0，y=0時，（1+a）ea﹣1（﹣a）+1+aea﹣1=0，即a2ea﹣1+aea﹣1=1+aea﹣1，即a2ea﹣1=1，得a=1，此時切線斜率k2=2，則切線和y=﹣3x的夾角為θ，則tanθ=||=，則θ=，故∠AOB（O為坐標原點）的取值范圍是（0，），故選：A．7.函數(shù)的圖象如圖所示，為得到函數(shù)的圖象，可將的圖象（）

A．向右平移個單位長度

B．向右平移個單位長度C．向左平移個單位長度

D．向左平移個單位長度參考答案：A8.《九章算術(shù)》勾股章有一“引葭赴岸”問題：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，適與岸齊.問水深、葭長各幾何.”其意思是：有一水池一丈見方，池中生有一顆類似蘆葦?shù)闹参?，露出水面一尺，若把它引向岸邊，正好與岸邊齊（如圖所示），問水有多深，該植物有多長？其中一丈為十尺.若從該葭上隨機取一點，則該點取自水下的概率為（

）A．

B．

C.

D．參考答案：B設(shè)水深為尺，則，解得，即水深12尺.又葭長13尺，則所求概率,故選B.9.設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若8a2+a5=0，則下列式子中數(shù)值不能確定的是（） A． B． C． D． 參考答案：考點： 等比數(shù)列的性質(zhì)．分析： 根據(jù)已知的等式變形，利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出公比q的值，然后分別根據(jù)等比數(shù)列的通項公式及前n項和公式，即可找出四個選項中數(shù)值不能確定的選項．解答： 解：由8a2+a5=0，得到=q3=﹣8，故選項A正確；解得：q=﹣2，則=q=﹣2，故選項C正確；則==，故選項B正確；而==，所以數(shù)值不能確定的是選項D．故選D10.已知等比數(shù)列{an}的公比q=2，且2a4，a6，48成等差數(shù)列，則{an}的前8項和為（）A．127 B．255 C．511 D．1023參考答案：B【考點】等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合．【專題】計算題；等差數(shù)列與等比數(shù)列．【分析】根據(jù)且a1，a3，a2成等差數(shù)列，列出方程2a6=2a4+48，求出首項a1，再根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，即可得答案．【解答】解：∵2a4、a6、48成等差數(shù)列，∴2a6=2a4+48，∴2a1q5=2a1q3+48，又等比數(shù)列{an}的公比q=2，∴解得，a1=1，∴{an}的前8項和為故選B．【點評】本題主要考查等差數(shù)列的定義和性質(zhì)、等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，等比數(shù)列的通項公式，以及等比數(shù)列的前n項和公式．屬于基礎(chǔ)題．二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.將函數(shù)f（x）=sin（3x+）的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)y=g（x）的圖象，則函數(shù)y=g（x）在[，]上的最小值為

．參考答案：﹣【考點】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換．【專題】三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】利用函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可求得g（x）=f（x﹣）=sin（3x﹣），利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可求得x∈[，]時函數(shù)的最小值．【解答】解：∵f（x）=sin（3x+），∴g（x）=f（x﹣）=sin[3（x﹣）+）]=sin（3x﹣），∵x∈[，]，∴3x﹣∈[，]，∴sin（3x﹣）∈[﹣，1]，當x=時，y=g（x）取到最小值﹣．故答案為：﹣．【點評】本題考查函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查運算求解能力，屬于中檔題．12.設(shè)等差數(shù)列{an}滿足，，則數(shù)列的前n項的和等于

.參考答案：是等差數(shù)列，，，即，，，前項和為，故答案為.

13.對，記，則的最小值是

參考答案：【知識點】絕對值不等式的解法E2解析：由，即，解得，即當時，，當時，，即所以可得函數(shù)的最小值為，故答案為.【思路點撥】根據(jù)題意函數(shù)為中大的那個函數(shù)，進而根據(jù)的取值范圍求得分段函數(shù)的解析式，即可求得最小值.14.一個幾何圖的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為__________．參考答案：根據(jù)三視圖，作出直觀圖，如圖所示，∴該幾何體的體積．15.命題“對任何的否定是_______________參考答案：存在；

略16.如圖，已知，，M為BC的中點，D為以AC為直徑的圓上一動點，則的最小值是

．參考答案：17.設(shè)函數(shù)，請你寫出滿足上述條件的一個函數(shù)=

。

參考答案：三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.某單位用2160萬元購得一塊空地，計劃在該地塊上建造一棟至少10層、每層2000平方米的樓房.經(jīng)測算，如果將樓房建為x(x≥10)層，則每平方米的平均建筑費用為560+48x（單位：元）.為了使樓房每平方米的平均綜合費用最少，該樓房應(yīng)建為多少層？（注：平均綜合費用＝平均建筑費用+平均購地費用，平均購地費用＝）參考答案：解析：設(shè)樓房每平方米的平均綜合費為f（x）元，則…………….……….1分

….6分

令

得

當

時，

；當時，因此當時，f（x）取最小值；……………11分答：為了樓房每平方米的平均綜合費最少，該樓房應(yīng)建為15層．………………..12分19.(本小題滿分12分)設(shè)函數(shù)．（Ⅰ）求的最小正周期．

（Ⅱ）若函數(shù)與的圖像關(guān)于直線對稱，求當時

的最大值．參考答案：（本小題滿分12分）解：（Ⅰ）.………………4分

故的最小正周期為

………………6分由（Ⅰ）知,當時，………11分因此在上的最大值為

.……………12分20.設(shè)△的內(nèi)角所對邊的長分別為，且有．（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ)若，，為的中點，求的長．參考答案：略21.某學生對其親屬30人的飲食習慣進行了一次調(diào)查，并用如圖所示的莖葉圖表示30人的飲食指數(shù)（說明：圖中飲食指數(shù)低于70的人，飲食以蔬菜為主；飲食指數(shù)高于70的人，飲食以肉類為主）.（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)完成下列2×2列聯(lián)表：

主食蔬菜主食肉類總計50歲以下

50歲以上

總計

（2）能否有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān)？并寫出簡要分析.參考公式和數(shù)據(jù)：，.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案：（1）列聯(lián)表見解析；（2）有，詳見解析【分析】（1）根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)填寫列聯(lián)表.（2）計算，由此判斷有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān).【詳解】（1）列聯(lián)表如下：

主食蔬菜主食肉類總計50歲以下481250歲以上16218總計201030

（2）因為，所以有99%的把握認為其親屬的飲食習慣與年齡有關(guān)．【點睛】本小題主要考查填寫列聯(lián)表，考查的計算以及獨立性檢驗的實際應(yīng)用，考查運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.22.已知函數(shù)f（x）=sin2x﹣2cos2x﹣1，x∈R．（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和最小值；（Ⅱ）在△ABC中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知c=，f（C）=0，sinB=2sinA，求a，b的值．參考答案：考點：余弦定理；兩角和與差的正弦函數(shù)；三角函數(shù)的周期性及其求法．專題：解三角形．分析：（Ⅰ）f（x）解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式求出函數(shù)f（x）的最小正周期，利用正弦函數(shù)的值域確定出f（x）最小值即可；（Ⅱ）由f（C）=0及第一問化簡得到的解析式，求出C的度數(shù)，利用正弦定理化簡sinB=2sinA，得到b=2a，利用余弦定理列出關(guān)系式，把c，b=2a，cosC的值代入即可求出a與b的值．解答：解：（Ⅰ）f（x）=sin2x﹣（cos2x+1）﹣1=sin2x﹣cos2x﹣2=2sin（2x﹣）﹣2，∵ω=2，﹣1≤sin（2x﹣）≤1