劉徽割圓術(shù)劉徽割圓術(shù)1（一）劉徽簡介（二）“割圓術(shù)”的含義（三）劉徽割圓術(shù)的主要內(nèi)容和根據(jù)（四）劉徽“割圓術(shù)”的意義（一）劉徽簡介（二）“割圓術(shù)”的含義（三）劉徽割圓術(shù)的主要內(nèi)2（一）劉徽簡介

劉徽（約公元225年—295年），漢族，山東臨淄人，魏晉期間偉大的數(shù)學(xué)家，中國古典數(shù)學(xué)理論的奠基者之一。是中國數(shù)學(xué)史上一個非常偉大的數(shù)學(xué)家，他的杰作《九章算術(shù)注》和《海島算經(jīng)》，是中國最寶貴的數(shù)學(xué)遺產(chǎn)。劉徽思想敏捷，方法靈活，既提倡推理又主張直觀．他是中國最早明確主張用邏輯推理的方式來論證數(shù)學(xué)命題的人．劉徽的一生是為數(shù)學(xué)刻苦探求的一生．他雖然地位低下，但人格高尚．他不是沽名釣譽(yù)的庸人，而是學(xué)而不厭的偉人，他給我們中華民族留下了寶貴的財富。（一）劉徽簡介劉徽（約公元225年—2953（二）“割圓術(shù)”的含義所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)接正多邊形的周長去無限逼近圓周并以此求取圓周率的方法。這個方法，是劉徽在批判總結(jié)了數(shù)學(xué)史上各種舊的計算方法之后，經(jīng)過深思熟慮才創(chuàng)造出來的一種嶄新的方法。（二）“割圓術(shù)”的含義所謂“割圓術(shù)”，是用圓內(nèi)4（三）劉徽“割圓術(shù)”的主要內(nèi)容和根據(jù)第一，圓內(nèi)接正六邊形每邊的長等于半徑。（三）劉徽“割圓術(shù)”的主要內(nèi)容和根據(jù)第一，圓內(nèi)接正六邊形每邊5

第二，作正十二邊形，從勾股定理出發(fā)，求得正十二邊形的邊長。根據(jù)勾股定理，從圓內(nèi)接正n邊形每邊的長，可以求出圓內(nèi)接正2n邊形每邊的長。第二，作正十二邊形，從勾股定理出發(fā)，求得正十二邊形的6

第三，從圓內(nèi)接正n邊形每邊的長，可以直接求出圓內(nèi)接正2n邊形面積。如圖所示，四邊形OADB的面積等于半徑OD和正n邊形邊長AB乘積的一半。第三，從圓內(nèi)接正n邊形每邊的長，可以直接求出7第四，圓面積S滿足不等式S2n＜S＜S2n＋（S2n－Sn）。如圖所示，四邊形OADB的面積和△OAB的面積的差等于以AD和DB為弦的兩個直角三角形面積，而OADB的面積再加上這樣兩個直角三角形的面積，就有一部分超出圓周了。第四，圓面積S滿足不等式如圖所示，四邊形OAD8

第五，劉徽指出：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣。”（《九章算術(shù)》方田章圓田術(shù)劉徽注）這就是說，圓內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)無限增加的時候，它的周長的極限是圓周長，它的面積的極限是圓面積。第五，劉徽指出：“割之彌細(xì)，所失彌少。割之又割，9劉徽根據(jù)割圓術(shù)從圓內(nèi)接正六邊形算起，邊數(shù)逐漸加倍，相繼算出正十二邊形，正二十四邊形，……以至于正九十六邊形每邊的長，并且求出正一百九十二邊形的面積。這相當(dāng)于求得π=3.141024。他在實(shí)際計算中，采用了π=157/50=3.14，不僅這樣，劉徽還繼續(xù)求到圓內(nèi)接正三千零七十二邊形的面積，驗(yàn)證了前面的結(jié)果，并且得出更精確的圓周率值π=3927/1250=3.1416劉徽根據(jù)割圓術(shù)從圓內(nèi)接正六邊形算起，邊數(shù)10（四）劉徽“割圓術(shù)”的意義劉徽的割圓術(shù)，為圓周率研究工作奠定了堅實(shí)可靠的理論基礎(chǔ)，在數(shù)學(xué)史上占有十分重要的地位。他所得到的結(jié)果在當(dāng)時世界上也是很先進(jìn)的。劉徽的計算方法只用圓內(nèi)接多邊形面積，而無須外切形面積，這比古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德（前287—前212）用圓內(nèi)接和外切正多邊形計算，在程序上要簡便得多，可以收到事半功倍的效果。同時，為解決圓周率問題，劉徽所運(yùn)用的初步的極限概念和直曲轉(zhuǎn)化思想，這在一千五百年前的古代，也是非常難能可貴的。（四）劉徽“割圓術(shù)”的意義劉徽的割圓術(shù)，為圓11祖沖之的圓周率祖沖之的圓周率12

祖沖之（公元４２９——５００年）字文遠(yuǎn)，范陽郡遒縣（今河北省保定市淶水縣）人，是我國南北朝時代一位成績卓著的科學(xué)家。他不僅在天文、數(shù)學(xué)等方面有過聞名世界的貢獻(xiàn)，而且在機(jī)械制造等方面也有許多發(fā)明創(chuàng)造。他的發(fā)明為促進(jìn)社會生產(chǎn)的發(fā)展，建立了不可磨滅的功績，受到了中國人民和世界人民的尊敬。（一）祖沖之簡介祖沖之（公元４２９——５００年）字文遠(yuǎn)，范13指平面上圓的周長與直徑之比。早在一千四百多年以前，我國古代著名的數(shù)學(xué)家祖沖之，就精密地計算出圓的周長是它直徑的3.1415926---3.1415927倍之間。這是當(dāng)時世界上算得最精確的數(shù)值----圓周率。（二）圓周率的定義指平面上圓的周長與直徑之比。早在一千四百多年以前，我14

“圓周率”是說一個圓的周長同它的直徑有一個固定的比例。我們的祖先很早就有“徑一周三”的說法，就是說，假如一個圓的直徑是1尺，那它的周長就是3尺。后來，人們發(fā)現(xiàn)這個說法并不準(zhǔn)確。東漢的大科學(xué)家張衡認(rèn)為應(yīng)該是3.162。三國到西晉時期的數(shù)學(xué)家劉徽經(jīng)過計算，求出了3.14159的圓周率，這在當(dāng)時是最先進(jìn)的，但是劉徽只算到這里就沒有繼續(xù)算。祖沖打算采用劉徽“割圓術(shù)”（在圓內(nèi)做正6邊形，6邊形的周長剛好是直徑的3倍，然后再做12邊形、24邊形……邊數(shù)越多，它的周長就和圓的周長越接近）的方法算下去。（三）圓周率的發(fā)展“圓周率”是說一個圓的周長同它的直徑有一個固定的15在當(dāng)時的情況下，不但沒有計算機(jī)，也沒有筆算，只能用長4寸，方3寸的小竹棍來計算。工作是艱巨的，這時祖沖之的兒子也能幫助他了。父子倆算了一天又一天，眼睛熬紅了，人也漸漸瘦了下來，可大圓里的邊形卻越畫越多，3072邊、6144邊……邊數(shù)越多，邊長越短。父子倆蹲在地上，一個認(rèn)真地畫，一個細(xì)心地算，誰也不敢走神。最后，他們在那個大圓里畫出了24576邊形，并計算出它的周長是3.1415926。倆人看看擺在地上密密麻麻的小木棍，再看看畫在地上的大圓里的圖形，高興地笑了。后來，祖沖之推算出，49152邊形的周長不會超過3.1415927。所以，他得出結(jié)論，圓周率是在3.1415926和3.1415927這兩個數(shù)之間。祖沖之是世界上第一個計算圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后7位的人，比歐洲人早了1000多年，這是多么了不起的貢獻(xiàn)??！在當(dāng)時的情況下，不但沒有計算機(jī)，也沒有筆算，只16祖率（密率）是圓周率十分精確的近似值，且又很好記，只要將113355一分為二，便是它的分母和分子了。張景中院士在《數(shù)學(xué)家的眼光》一書中指出：它與π精確值的誤差不超過0.000000267。在數(shù)學(xué)家看來，好的近似分?jǐn)?shù)，既要精確，分母最好又不太大。現(xiàn)今數(shù)學(xué)上己不難證明，在所有分母不超過16500的分?jǐn)?shù)中，密率355/113是當(dāng)之無愧的冠軍。

因?yàn)椤毒Y術(shù)》失傳了，祖沖之究竟是用什么方法將π算到小數(shù)點(diǎn)后第七位，又是怎樣找到既精確又方便的密率的呢？這至今仍是困惑數(shù)學(xué)家的一個謎。祖率（密率）是圓周率十分精確的近似值，且又很好記，只要將1117祖沖之曾寫過一本數(shù)學(xué)著作《綴術(shù)》，記錄了他對圓周率的研究和成果。但當(dāng)時“學(xué)官莫能究其深奧，是故廢而不理”，以致后來失傳。

很多人都知道用密率355/113表示π的近似值，是一項了不起的貢獻(xiàn)。密率355／113傳到了日本后，1913年日本數(shù)學(xué)史家三上一