第第頁(yè)【解析】2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：四邊形、命題與證明登錄二一教育在線組卷平臺(tái)助您教考全無(wú)憂

2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：四邊形、命題與證明

一、選擇題

1．（2023·常德）下列命題正確的是()

A．正方形的對(duì)角線相等且互相平分

B．對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形

C．矩形的對(duì)角線互相垂直

D．一組鄰邊相等的四邊形是菱形

2．（2023·株洲）如圖所示，在矩形中，，與相交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法正確的是（）

A．點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心B．點(diǎn)O為線段的對(duì)稱中心

C．直線為矩形的對(duì)稱軸D．直線為線段的對(duì)稱軸

3．（2023·株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則（）

A．B．C．D．

4．（2023·岳陽(yáng)）下列命題是真命題的是（）

A．同位角相等B．菱形的四條邊相等

C．正五邊形是中心對(duì)稱圖形D．單項(xiàng)式的次數(shù)是4

5．（2023·衡陽(yáng)）我們可以用以下推理來(lái)證明“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于”．假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于，即三個(gè)內(nèi)角都大于．則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個(gè)定理矛盾．所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（）

A．反證法B．比較法C．綜合法D．分析法

6．（2023·衡陽(yáng)）如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD，添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A．AB＝CDB．AB∥CDC．∠A＝∠CD．BC＝AD

二、填空題

7．（2023·衡陽(yáng)）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是個(gè)．

8．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧；是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點(diǎn)，，，為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開(kāi)線”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．

三、綜合題

9．（2023·株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，其中點(diǎn)A、C分別在x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上

（1）求k的值；

（2）連接，記的面積為S，設(shè)，求T的最大值．

10．（2023·長(zhǎng)沙）我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)與同時(shí)滿足，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：

（1）若關(guān)于x的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求k，m，n的值；

（2）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)r，s，點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．

①求函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸；

②函數(shù)的圖像是否經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)與它的“美美與共”函數(shù)的圖像頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，點(diǎn)B，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)C，D，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)時(shí)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請(qǐng)說(shuō)明理由．

11．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；

（3）如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．

12．（2023·衡陽(yáng)）（1）[問(wèn)題探究]

如圖1，在正方形中，對(duì)角線相交于點(diǎn)O．在線段上任取一點(diǎn)P（端點(diǎn)除外），連接．

①求證：；

②將線段繞點(diǎn)P逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)D落在的延長(zhǎng)線上的點(diǎn)Q處．當(dāng)點(diǎn)P在線段上的位置發(fā)生變化時(shí)，的大小是否發(fā)生變化？請(qǐng)說(shuō)明理由；

③探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

（2）[遷移探究]

如圖2，將正方形換成菱形，且，其他條件不變．試探究與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．

答案解析部分

1．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定；菱形的判定；正方形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：

A、正方形的對(duì)角線相等且互相平分，原命題正確，A符合題意；

B、對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，原命題錯(cuò)誤，B不符合題意；

C、菱形的對(duì)角線互相垂直，原命題錯(cuò)誤，C不符合題意；

D、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，原命題錯(cuò)誤，D不符合題意；

故答案為：A

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)結(jié)合題意對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可求解。

2．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形

【解析】【解答】解：

A、點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心，A符合題意；

B、點(diǎn)O不為線段的對(duì)稱中心，B不符合題意；

C、直線不是矩形的對(duì)稱軸，C不符合題意；

D、直線不是線段的對(duì)稱軸，D不符合題意；

故答案為：A

【分析】根據(jù)對(duì)稱中心、對(duì)稱軸的定義結(jié)合矩形的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可求解。

3．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，

∴AB=6，

∵，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，

∴CD=3，

故答案為：B

【分析】根據(jù)題意求出AB，進(jìn)而根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可求解。

4．【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】真命題與假命題

【解析】【解答】解：A.兩直線平行，同位角相等，命題錯(cuò)誤，不符合題意；

B.菱形的四條邊相等，命題正確，符合題意；

C.正五邊形不是中心對(duì)稱圖形，命題錯(cuò)誤，不符合題意；

D.單項(xiàng)式的次數(shù)是3，命題錯(cuò)誤，不符合題意；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)平行線的判定方法，菱形的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的定義，單項(xiàng)式的次數(shù)的定義對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。

5．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】反證法

【解析】【解答】解：由題意：假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于，即三個(gè)內(nèi)角都大于．則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個(gè)定理矛盾．所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于．可知：以上步驟符合反證法的步驟，

∴推理使用的證明方法是反證法，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，利用反證法的意義及步驟判斷求解即可。

6．【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定

【解析】【解答】解：A、由AB=CD，BC//AD不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，符合題意；

B、∵AB//CD，BC//AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

C、∵BC//AD，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠B+∠C=180°，

∴AB//CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

D、∵BC=AD，BC//AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

故答案為：A.

【分析】利用平行四邊形的判定方法對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。

7．【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角

【解析】【解答】解：∵多邊形是正五邊形，

∴正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：x180°x(5-2)=108°，

∴正五邊形的個(gè)數(shù)是360°÷[180°-(180°-108°)x2]=10，

故答案為：10.

【分析】根據(jù)題意先求出正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為108°，再結(jié)合題意求解即可。

8．【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；探索數(shù)與式的規(guī)律

【解析】【解答】解：∵四邊形是正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓??；是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，

∴每次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，

∴

∴An繞B、O、C、A四點(diǎn)作為圓心依次循環(huán)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，且半徑為1、2、3、、n，每次半徑增加1，

∴2023÷5=505...3，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，

故答案為：

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到每次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，進(jìn)而即可得到規(guī)律：An繞B、O、C、A四點(diǎn)作為圓心依次循環(huán)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，且半徑為1、2、3、、n，每次半徑增加1，再結(jié)合題意即可求解。

9．【答案】（1）解：∵點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，

∴，

∴，

即k的值為2；

（2）解：∵點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，

∴，

∵四邊形為正方形，

∴，軸，

∴的面積為，

∴，

∵，

∴拋物線開(kāi)口向下，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，T的最大值是1．

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)將點(diǎn)P代入即可求解；

（2）先根據(jù)題意得到，再根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式即可得到，進(jìn)而得到T，再根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解。

10．【答案】（1）解：由題意可知：，

∴．

答：k的值為，m的值為3，n的值為2．

（2）解：①∵點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，

∴對(duì)稱軸為，

∴，

∴，

∴對(duì)稱軸為．

答：函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為．

②，令，解得，

∴過(guò)定點(diǎn)，．

答：函數(shù)y2的圖像過(guò)定點(diǎn)，．

（3）解：由題意可知，，

∴，

∴，，

∵且，

∴；

①若，則，

要使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，

則為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

②若，則A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成正方形，

綜上，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，此時(shí)．

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題；正方形的性質(zhì)；偶次冪的非負(fù)性；算數(shù)平方根的非負(fù)性；絕對(duì)值的非負(fù)性；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)性即可得到，進(jìn)而結(jié)合題意即可求解；

（2）①先根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)結(jié)合題意即可得到對(duì)稱軸為，進(jìn)而結(jié)合題意進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；

②先根據(jù)題意得到，進(jìn)而令即可求解；

（3）先根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，，再二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可得到；然后分類討論：①若，則，要使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，則為等腰直角三角形，在根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到；②若，則A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成正方形，最后總結(jié)即可求解。

11．【答案】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，

將代入上式得：，

所以拋物線的表達(dá)式為；

（2）解：作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，

∵，，，

∴，

∵O、E關(guān)于直線對(duì)稱，

∴四邊形為正方形，

∴，

連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性，

此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，

∵的周長(zhǎng)為，

，的最小值為10，

∴的周長(zhǎng)的最小值為；

（3）解：由已知點(diǎn)，，，

設(shè)直線的表達(dá)式為，

將，代入中，，解得，

∴直線的表達(dá)式為，

同理可得：直線的表達(dá)式為，

∵，

∴設(shè)直線表達(dá)式為，

由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式

得：，

∴直線的表達(dá)式為：，

由，得，

∴，

∵P，D都在第一象限，

∴

，

∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為.

．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，進(jìn)而代入即可求解；

（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，進(jìn)而根據(jù)題意得到OB=OC=6，進(jìn)而根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性，此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，進(jìn)而跟進(jìn)勾股定理求出AE，再根據(jù)的周長(zhǎng)為結(jié)合題意即可求解；

（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式，同理可得：直線的表達(dá)式為，再根據(jù)一次函數(shù)平行即可設(shè)直線表達(dá)式為，由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式即可得到，進(jìn)而聯(lián)立解析式即可得到，再根據(jù)結(jié)合二次函數(shù)的最值即可求解。

12．【答案】（1）①證明：∵四邊形ABCD是正方形，

∴CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，

∵CP=CP，

∴△DCP≌△BCP，

∴PD=PB；

②∠DPQ的大小不發(fā)生變化，∠DPQ=90°；

理由如下：如圖所示：作PM⊥AB，PN⊥AD，垂足分別為點(diǎn)M、N，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠DAC=∠BAC=45°，∠DAB=90°，

∴四邊形AMPN是矩形，PM=PN，

∴∠MPN=90°，

∵PD=PQ，PM=PN，

∴Rt△DPN≌Rt△QPM(HL)，

∴∠DPN=∠QPM，

∴∠QPN+∠QPM=90°，

∴∠QPN+∠DPN=90°，

∴∠DPQ=90°；

③AQ=OP；

理由如下：如圖所示：作PE⊥AO交AB于點(diǎn)E，作EF⊥OB于點(diǎn)F，作PM⊥AE于點(diǎn)M，

∵四邊形ABCD是正方形，

∴∠BAC=45°，∠AOB=90°，

∴∠AEP=45°，四邊形OPEF是矩形，

∴PAE=∠PEA=45°，EF=OP，

∴PA=PE，

∵PD=PB，PD=PQ，

∴PQ=PB，

∵PM⊥AE，

∴QM=BM，AM=EM，

∴AQ=BE，

∵∠EFB=90°，∠EBF=45°，

∴，

∴AQ=OP.

（2）解：；

證明：∵四邊形是菱形，，

∴，

∴是等邊三角形，垂直平分，

∴，

∵，

∴，

作交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)G，如圖，

則四邊形是平行四邊形，，，

∴，都是等邊三角形，

∴，

作于點(diǎn)M，則，

∴，

∴．

【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；四邊形的綜合

【解析】【分析】（1）①利用正方形的性質(zhì)求出CD=CB，∠DCA=∠BCA=45°，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可；

②利用矩形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)證明求解即可；

③利用正方形的性質(zhì)求出∠BAC=45°，∠AOB=90°，再利用銳角三角函數(shù)計(jì)算求解即可；

（2）利用菱形的性質(zhì)求出，再求出，最后證明即可。

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2023年湖南省中考數(shù)學(xué)真題分類匯編：四邊形、命題與證明

一、選擇題

1．（2023·常德）下列命題正確的是()

A．正方形的對(duì)角線相等且互相平分

B．對(duì)角互補(bǔ)的四邊形是平行四邊形

C．矩形的對(duì)角線互相垂直

D．一組鄰邊相等的四邊形是菱形

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定；菱形的判定；正方形的性質(zhì)

【解析】【解答】解：

A、正方形的對(duì)角線相等且互相平分，原命題正確，A符合題意；

B、對(duì)角相等的四邊形是平行四邊形，原命題錯(cuò)誤，B不符合題意；

C、菱形的對(duì)角線互相垂直，原命題錯(cuò)誤，C不符合題意；

D、一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，原命題錯(cuò)誤，D不符合題意；

故答案為：A

【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)、平行四邊形的判定、菱形的判定與性質(zhì)結(jié)合題意對(duì)選項(xiàng)逐一分析即可求解。

2．（2023·株洲）如圖所示，在矩形中，，與相交于點(diǎn)O，下列說(shuō)法正確的是（）

A．點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心B．點(diǎn)O為線段的對(duì)稱中心

C．直線為矩形的對(duì)稱軸D．直線為線段的對(duì)稱軸

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；軸對(duì)稱圖形；中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形

【解析】【解答】解：

A、點(diǎn)O為矩形的對(duì)稱中心，A符合題意；

B、點(diǎn)O不為線段的對(duì)稱中心，B不符合題意；

C、直線不是矩形的對(duì)稱軸，C不符合題意；

D、直線不是線段的對(duì)稱軸，D不符合題意；

故答案為：A

【分析】根據(jù)對(duì)稱中心、對(duì)稱軸的定義結(jié)合矩形的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可求解。

3．（2023·株洲）一技術(shù)人員用刻度尺（單位：）測(cè)量某三角形部件的尺寸．如圖所示，已知，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，則（）

A．B．C．D．

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】直角三角形斜邊上的中線

【解析】【解答】解：∵點(diǎn)A、B對(duì)應(yīng)的刻度為1、7，

∴AB=6，

∵，點(diǎn)D為邊的中點(diǎn)，

∴CD=3，

故答案為：B

【分析】根據(jù)題意求出AB，進(jìn)而根據(jù)直角三角形斜邊上中線的性質(zhì)即可求解。

4．（2023·岳陽(yáng)）下列命題是真命題的是（）

A．同位角相等B．菱形的四條邊相等

C．正五邊形是中心對(duì)稱圖形D．單項(xiàng)式的次數(shù)是4

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】真命題與假命題

【解析】【解答】解：A.兩直線平行，同位角相等，命題錯(cuò)誤，不符合題意；

B.菱形的四條邊相等，命題正確，符合題意；

C.正五邊形不是中心對(duì)稱圖形，命題錯(cuò)誤，不符合題意；

D.單項(xiàng)式的次數(shù)是3，命題錯(cuò)誤，不符合題意；

故答案為：B.

【分析】根據(jù)平行線的判定方法，菱形的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形的定義，單項(xiàng)式的次數(shù)的定義對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。

5．（2023·衡陽(yáng)）我們可以用以下推理來(lái)證明“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于”．假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于，即三個(gè)內(nèi)角都大于．則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個(gè)定理矛盾．所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于．上述推理使用的證明方法是（）

A．反證法B．比較法C．綜合法D．分析法

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】反證法

【解析】【解答】解：由題意：假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于，即三個(gè)內(nèi)角都大于．則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于，這與“三角形的內(nèi)角和等于”這個(gè)定理矛盾．所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于．可知：以上步驟符合反證法的步驟，

∴推理使用的證明方法是反證法，

故答案為：A.

【分析】根據(jù)題意，利用反證法的意義及步驟判斷求解即可。

6．（2023·衡陽(yáng)）如圖，在四邊形ABCD中，BC∥AD，添加下列條件，不能判定四邊形ABCD是平行四邊形的是（）

A．AB＝CDB．AB∥CDC．∠A＝∠CD．BC＝AD

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】平行四邊形的判定

【解析】【解答】解：A、由AB=CD，BC//AD不能判定四邊形ABCD是平行四邊形，符合題意；

B、∵AB//CD，BC//AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

C、∵BC//AD，

∴∠A+∠B=180°，

∵∠A=∠C，

∴∠B+∠C=180°，

∴AB//CD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

D、∵BC=AD，BC//AD，

∴四邊形ABCD是平行四邊形，不符合題意；

故答案為：A.

【分析】利用平行四邊形的判定方法對(duì)每個(gè)選項(xiàng)一一判斷即可。

二、填空題

7．（2023·衡陽(yáng)）如圖，用若干個(gè)全等的正五邊形排成圓環(huán)狀，圖中所示的是其中3個(gè)正五邊形的位置．要完成這一圓環(huán)排列，共需要正五邊形的個(gè)數(shù)是個(gè)．

【答案】10

【知識(shí)點(diǎn)】多邊形內(nèi)角與外角

【解析】【解答】解：∵多邊形是正五邊形，

∴正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為：x180°x(5-2)=108°，

∴正五邊形的個(gè)數(shù)是360°÷[180°-(180°-108°)x2]=10，

故答案為：10.

【分析】根據(jù)題意先求出正五邊形的每一個(gè)內(nèi)角為108°，再結(jié)合題意求解即可。

8．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形是正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓??；是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，繼續(xù)以點(diǎn)，，，為圓心按上述作法得到的曲線稱為正方形的“漸開(kāi)線”，則點(diǎn)的坐標(biāo)是．

【答案】

【知識(shí)點(diǎn)】正方形的性質(zhì)；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；探索數(shù)與式的規(guī)律

【解析】【解答】解：∵四邊形是正方形，點(diǎn)的坐標(biāo)為，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓?。皇且渣c(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，是以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓弧，

∴每次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，

∴

∴An繞B、O、C、A四點(diǎn)作為圓心依次循環(huán)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，且半徑為1、2、3、、n，每次半徑增加1，

∴2023÷5=505...3，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是，

故答案為：

【分析】先根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)即可得到每次順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，進(jìn)而即可得到規(guī)律：An繞B、O、C、A四點(diǎn)作為圓心依次循環(huán)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，且半徑為1、2、3、、n，每次半徑增加1，再結(jié)合題意即可求解。

三、綜合題

9．（2023·株洲）如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形為正方形，其中點(diǎn)A、C分別在x軸負(fù)半軸，y軸負(fù)半軸上，點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，點(diǎn)，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上

（1）求k的值；

（2）連接，記的面積為S，設(shè)，求T的最大值．

【答案】（1）解：∵點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，

∴，

∴，

即k的值為2；

（2）解：∵點(diǎn)在x軸負(fù)半軸，

∴，

∵四邊形為正方形，

∴，軸，

∴的面積為，

∴，

∵，

∴拋物線開(kāi)口向下，

∴當(dāng)時(shí)，有最大值，T的最大值是1．

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）運(yùn)用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)將點(diǎn)P代入即可求解；

（2）先根據(jù)題意得到，再根據(jù)正方形的性質(zhì)結(jié)合三角形的面積公式即可得到，進(jìn)而得到T，再根據(jù)二次函數(shù)的最值即可求解。

10．（2023·長(zhǎng)沙）我們約定：若關(guān)于x的二次函數(shù)與同時(shí)滿足，則稱函數(shù)與函數(shù)互為“美美與共”函數(shù)．根據(jù)該約定，解答下列問(wèn)題：

（1）若關(guān)于x的二次函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)，求k，m，n的值；

（2）對(duì)于任意非零實(shí)數(shù)r，s，點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，函數(shù)與互為“美美與共”函數(shù)．

①求函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸；

②函數(shù)的圖像是否經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)某兩個(gè)定點(diǎn)，求出這兩個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)；否則，請(qǐng)說(shuō)明理由；

（3）在同一平面直角坐標(biāo)系中，若關(guān)于x的二次函數(shù)與它的“美美與共”函數(shù)的圖像頂點(diǎn)分別為點(diǎn)A，點(diǎn)B，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)C，D，函數(shù)的圖像與x軸交于不同兩點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)時(shí)，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能否為正方形？若能，求出該正方形面積的取值范圍；若不請(qǐng)說(shuō)明理由．

【答案】（1）解：由題意可知：，

∴．

答：k的值為，m的值為3，n的值為2．

（2）解：①∵點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)，

∴對(duì)稱軸為，

∴，

∴，

∴對(duì)稱軸為．

答：函數(shù)的圖像的對(duì)稱軸為．

②，令，解得，

∴過(guò)定點(diǎn)，．

答：函數(shù)y2的圖像過(guò)定點(diǎn)，．

（3）解：由題意可知，，

∴，

∴，，

∵且，

∴；

①若，則，

要使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，

則為等腰直角三角形，

∴，

∴，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

②若，則A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成正方形，

綜上，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，此時(shí)．

【知識(shí)點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)問(wèn)題；正方形的性質(zhì)；偶次冪的非負(fù)性；算數(shù)平方根的非負(fù)性；絕對(duì)值的非負(fù)性；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)非負(fù)性即可得到，進(jìn)而結(jié)合題意即可求解；

（2）①先根據(jù)點(diǎn)與點(diǎn)始終在關(guān)于x的函數(shù)的圖像上運(yùn)動(dòng)結(jié)合題意即可得到對(duì)稱軸為，進(jìn)而結(jié)合題意進(jìn)行化簡(jiǎn)即可求解；

②先根據(jù)題意得到，進(jìn)而令即可求解；

（3）先根據(jù)題意得到，進(jìn)而得到，，再二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)即可得到；然后分類討論：①若，則，要使以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形能構(gòu)成正方形，則為等腰直角三角形，在根據(jù)正方形的性質(zhì)和等腰直角三角形的性質(zhì)結(jié)合題意即可得到；②若，則A、B關(guān)于y軸對(duì)稱，以A，B，C，D為頂點(diǎn)的四邊形不能構(gòu)成正方形，最后總結(jié)即可求解。

11．（2023·張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)的圖象與x軸交于點(diǎn)和點(diǎn)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)．點(diǎn)D為線段上的一動(dòng)點(diǎn)．

（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；

（2）如圖1，求周長(zhǎng)的最小值；

（3）如圖2，過(guò)動(dòng)點(diǎn)D作交拋物線第一象限部分于點(diǎn)P，連接，記與的面積和為S，當(dāng)S取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)，并求出此時(shí)S的最大值．

【答案】（1）解：由題意可知，設(shè)拋物線的表達(dá)式為，

將代入上式得：，

所以拋物線的表達(dá)式為；

（2）解：作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，

∵，，，

∴，

∵O、E關(guān)于直線對(duì)稱，

∴四邊形為正方形，

∴，

連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性，

此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，

∵的周長(zhǎng)為，

，的最小值為10，

∴的周長(zhǎng)的最小值為；

（3）解：由已知點(diǎn)，，，

設(shè)直線的表達(dá)式為，

將，代入中，，解得，

∴直線的表達(dá)式為，

同理可得：直線的表達(dá)式為，

∵，

∴設(shè)直線表達(dá)式為，

由（1）設(shè)，代入直線的表達(dá)式

得：，

∴直線的表達(dá)式為：，

由，得，

∴，

∵P，D都在第一象限，

∴

，

∴當(dāng)時(shí)，此時(shí)P點(diǎn)為.

．

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的最值；正方形的性質(zhì)；一次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的圖象；二次函數(shù)y=ax^2+bx+c的性質(zhì)

【解析】【分析】（1）先根據(jù)題意設(shè)拋物線的表達(dá)式為，進(jìn)而代入即可求解；

（2）作點(diǎn)O關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，連接，進(jìn)而根據(jù)題意得到OB=OC=6，進(jìn)而根據(jù)正方形的性質(zhì)得到點(diǎn)E的坐標(biāo)，連接，交于點(diǎn)D，由對(duì)稱性，此時(shí)有最小值為的長(zhǎng)，進(jìn)而跟進(jìn)勾股定理求出AE，再根據(jù)的周長(zhǎng)為結(jié)合題意即可求解；

（3）先運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線BC的函數(shù)表達(dá)式