概率初步目錄事件概念的識別與判定 1概率的意義 2用古典概率求隨機事件的概率 3用幾何概率求隨機事件的概率 4與其它知識點的綜合 5兩步實驗的概率 7概率綜合運用 8游戲的公平性 12三步實驗的概率 16頻率與概率之間的關(guān)系 18用頻率估計概率 21事件概念的識別與判定11必然事件：有些事情我們事先肯定它一定發(fā)生，這些事情稱為必然事件.2不可能事件：有些事情我們事先肯定它一定不會發(fā)生，這些事情稱為不可能事件.3不確定事件：許多事情我們無法確定它會不會發(fā)生，稱為不確定事件（又叫隨機事件）下列事件是必然事件的是A．下個月1號會下雨 B．從一副撲克牌中隨機抽取一張，抽到紅桃 C．平分弦的直徑垂直于弦 D．13個人中至少有2人生日在同一個月下列判斷正確的是A．天氣預報說“明天的降水概率為”，則表示明天有的時間都在降雨 B．擲一枚硬幣正面朝上的概率為，則表明擲硬幣8次，一定有4次正面朝上 C．“籃球隊員在罰球線上投籃一次，投中”為必然事件 D．若是實數(shù)，則下列事件是隨機事件的是A．畫一個三角形，其內(nèi)角和是 B．在只裝了紅球的不透明袋子里摸出一個球，是紅球 C．一個菱形的對角線互相垂直 D．同位角相等下列事件中，屬于不可能事件的是A．是實數(shù)，則 B．一匹馬奔跑的速度是每秒100米 C．任意一個三角形都有外接圓 D．拋擲一枚骰子，朝上面的點數(shù)是6概率的意義事件發(fā)生的可能性事件發(fā)生的可能性（1）必然事件發(fā)生的可能性是1（或100%）；因為必然事件一定發(fā)生，所以其可能性為100%，一般用1表示.（2）不可能事件發(fā)生的可能性是0；因為不可能事件一定不發(fā)生，所以其發(fā)生的可能性為0.（3）不確定事件發(fā)生的可能性大于0且小于1；因為不確定事件有可能發(fā)生，也有可能不發(fā)生。天氣預報顯示“上海明天下雨的概率為”．下列說法中，正確的是A．上海明天將有的時間下雨 B．上海明天將有的地區(qū)下雨 C．上海明天下雨的可能性很大 D．上海明天下雨的可能性很小關(guān)于“明天是晴天的概率為”，下列說法正確的是A．明天一定是晴天 B．明天一定不是晴天 C．明天的地方是晴天 D．明天是晴天的可能性很大已知拋一枚均勻硬幣正面朝上的概率為，下列說法錯誤的是A．通過拋一枚均勻硬幣確定籃球賽中誰先發(fā)球是公平的 B．大量重復拋一枚均勻硬幣，出現(xiàn)正面朝上的頻率穩(wěn)定于 C．連續(xù)拋一枚均勻硬幣10次可能都是正面朝上 D．連續(xù)拋一枚均勻硬幣2次必有1次正面朝上下列說法正確的是A．某同學連續(xù)投擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣5次，有3次正面朝上，因此正面朝上的概率為 B．50個人中一定有兩人生日相同 C．甲、乙射擊命中目標的概率分別是和，則甲、乙各射擊一次命中目標的概率為 D．13個人中有兩個人生肖相同的概率為1用古典概率求隨機事件的概率一般地，如果一個試驗有一般地，如果一個試驗有n個等可能的結(jié)果，事件A包含其中的m個結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為．任意拋擲一枚均勻的骰子，結(jié)果朝上一面的點數(shù)為2的倍數(shù)的概率是A． B． C． D．在一個不透明的袋子里，裝有3個紅球、1個白球，它們除顏色外都相同，從袋中任意摸出一個球為紅球的概率是A． B． C． D．在某市組織的物理實驗操作考試中，考試所用實驗室共有24個測試位，分成6組，同組4個測試位各有一道相同試題，各組的試題不同，分別標記為，，，，，，考生從中隨機抽取一道試題，則某個考生抽到試題的概率為A． B． C． D．一個不透明的口袋中，裝有5個黃球、4個藍球和若干個紅球，每個球除顏色外都相同．從中任意摸出一個球是黃球的概率是，則從中任意摸出一個球是紅球的概率是A． B． C． D．用幾何概率求隨機事件的概率如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積或度數(shù)）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度（面積或體積或度數(shù)）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型．如果小球在如圖所示的地面上自由滾動，并隨機停留在某塊方磚上，那么它最終停留在黑色區(qū)域的概率是（）A． B． C． D．如圖，在的長方形網(wǎng)格飛鏢游戲板中，每塊小正方形除顏色外都相同，小正方形的頂點稱為格點，扇形的圓心及弧的兩端均為格點．假設(shè)飛鏢擊中每一塊小正方形是等可能的（擊中扇形的邊界或沒有擊中游戲板，則重投1次），任意投擲飛鏢1次，飛鏢擊中扇形（陰影部分）的概率是A． B． C． D．一只螞蟻在如圖所示的正方形地磚上爬行，螞蟻停留在陰影部分的概率為A． B． C． D．已知的兩條直徑，互相垂直，分別以，，，為直徑向外作半圓得到如圖所示的圖形，現(xiàn)隨機地向該圖形內(nèi)擲一枚小針，記針尖落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，針尖落在內(nèi)的概率為，則．與其它知識點的綜合在六張卡片上分別寫有，，3.1415，，0，六個數(shù)，從中隨機抽取一張，卡片上的數(shù)為無理數(shù)的概率是A． B． C． D．從﹣1，1，2三個數(shù)中任取一個，作為二次函數(shù)y＝kx2+3的k值，則所得函數(shù)中，當x＜0時，y隨x的增大而增大的概率是（）A． B． C． D．2022年央視春晚節(jié)目中，精彩魔術(shù)《迎春納福》給大家留下了深刻印象，春晚帶火了魔方現(xiàn)將六個面都涂有顏色的魔方按如圖所示方式分割成27個大小相同的小正方體，并將它們?nèi)糠湃胍粋€不透明盒子中搖勻，隨機取出一個小正方體，則該小正方體有三個面涂有顏色的概率為A． B． C． D．如圖，在的方格中，、、、、、分別位于格點上，從、、、四點中任取一點，與點、為頂點作三角形，則所作三角形為等腰三角形的概率是．如圖是計算機“掃雷”游戲的畫面，在個小方格的雷區(qū)中，隨機地埋藏著20顆地雷，每個小方格最多能埋藏1顆地雷．小林和小艾輪流點擊，小林先點一個小方格，顯示數(shù)字2，它表示圍著數(shù)字2的8個方塊中埋藏著2顆地雷（包含數(shù)字2的黑框區(qū)域記為．（1）若小艾在區(qū)域內(nèi)圍著數(shù)字2的8個方塊中任點一個，未踩中地雷的概率是多少？（2）現(xiàn)在小艾點擊了右下角的一個方格，出現(xiàn)了數(shù)字1（包含數(shù)字1的黑框區(qū)域記為，輪到小林點擊，若小林打算在區(qū)域和區(qū)域中任點一個未點擊的方塊，從安全的角度考慮，他應該選擇哪個區(qū)域？說明理由．

如圖是掃雷游戲的一部分：（說明：圖中數(shù)字2表示在以該數(shù)字為中心相鄰的8個方格中有2個地雷）．小旗表示該方格已被探明有地雷，現(xiàn)在還剩下，，三個方格未被探明，其他地方為安全區(qū)（包括有數(shù)字的方格）．（1）現(xiàn)在還剩下幾個地雷？（2），，三個方格中有地雷的概率分別是多大？兩步實驗的概率１１.直接列舉法求概率當一次試驗中,可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個,并且各種結(jié)果發(fā)生的可能性相等時，通常采用直接列舉法。２.列表法求概率當一次試驗要設(shè)計兩個因素，并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法。３.樹狀圖法求概率當一次試驗要設(shè)計三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖法求概率。將4張分別寫著“強”“國”“有”“我”的卡片（卡片的形狀、大小、質(zhì)地都相同）放在盒子中，攪勻后從中隨機取出2張卡片，則取出的2張卡片中，恰好組成“強國”的概率為A． B． C． D．隨機從1，2，3，4中任取兩個不同的數(shù)，分別記為和，則的概率是A． B． C． D．某班級計劃舉辦手抄報展覽，確定了“時代”、“北斗衛(wèi)星”、“高鐵速度”三個主題，若小明和小亮每人隨機選擇其中一個主題，則他們恰好選擇同一個主題的概率是A． B． C． D．某校開展崗位體驗勞動教育活動，設(shè)置了“安全小衛(wèi)士”“環(huán)保小衛(wèi)士”“圖書管理小衛(wèi)士”“宿舍管理小衛(wèi)士”共四個崗位，每個崗位體驗人數(shù)不限且每位同學只能從中隨機選擇一個崗位進行體驗．甲、乙兩名同學都參加了此項活動，則這兩名同學恰好在同一崗位體驗的概率為A． B． C． D．概率綜合運用佛山是珠江三角洲的“美食之鄉(xiāng)”，粵菜發(fā)源地之一．某學校要舉行“我為佛山美食代言”的宣講活動，主要介紹佛山的民間特色食品，已知學校給定了4個極具特色的主題：．雙皮奶，．盲公餅，．大良蹦砂，．佛山九層糕，參加的選手從這四個主題中隨機抽取一個進行宣講，小明和小紅都參加了這項活動．（1）小明抽中“大良蹦砂”的概率是；（2）請用列表法或樹狀圖法中的一種方法，求小明和小紅抽中同一個主題的概率．

某校開展了“互助、平等、感恩、和諧、進取”主題班會活動，活動后，就活動的5個主題進行了抽樣調(diào)查（每位同學只選最關(guān)注的一個），根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖．根據(jù)圖中提供的信息，解答下列問題：（1）這次調(diào)查的學生共有多少名？（2）請將條形統(tǒng)計圖補充完整，并在扇形統(tǒng)計圖中計算出“進取”所對應的圓心角的度數(shù)．（3）如果要在這5個主題中任選兩個進行調(diào)查，根據(jù)（2）中調(diào)查結(jié)果，用樹狀圖或列表法，求恰好選到學生關(guān)注最多的兩個主題的概率（將互助、平等、感恩、和諧、進取依次記為、、、、．

為響應國家的“一帶一路”經(jīng)濟發(fā)展戰(zhàn)略，樹立品牌意識，我市質(zhì)檢部門對、、、四個廠家生產(chǎn)的同種型號的零件共2000件進行合格率檢測，通過檢測得出廠家的合格率為，并根據(jù)檢測數(shù)據(jù)繪制了如圖1、圖2兩幅不完整的統(tǒng)計圖．（1）抽查廠家的零件為件，扇形統(tǒng)計圖中廠家對應的圓心角為；（2）抽查廠家的合格零件為件，并將圖1補充完整；（3）通過計算說明合格率排在前兩名的是哪兩個廠家；（4）若要從、、、四個廠家中，隨機抽取兩個廠家參加德國工業(yè)產(chǎn)品博覽會，請用“列表法”或“畫樹形圖”的方法求出（3）中兩個廠家同時被選中的概率．

某學校為了增強學生體質(zhì)，決定開設(shè)以下體育課外活動項目：籃球、乒乓球、跳繩、踢毽子，為了解學生最喜歡哪一種活動項目，隨機抽取了部分學生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成了兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請回答下列問題：（1）這次被調(diào)查的學生共有人；（2）請你將條形統(tǒng)計圖補充完成；（3）在平時的乒乓球項目訓練中，甲、乙、丙、丁四人表現(xiàn)優(yōu)秀，現(xiàn)決定從這四名同學中任選兩名參加乒乓球比賽，求恰好選中甲、乙兩位同學的概率（用樹狀圖或列表法解答）．

游戲的公平性現(xiàn)有、兩個不透明袋子，分別裝有3個除顏色外完全相同的小球．其中，袋裝有2個白球，1個紅球；袋裝有2個紅球，1個白球．（1）將袋搖勻，然后從袋中隨機取出一個小球，求摸出小球是白色的概率；（2）小華和小林商定了一個游戲規(guī)則：從搖勻后的，兩袋中隨機摸出一個小球，摸出的這兩個小球，若顏色相同，則小林獲勝；若顏色不同，則小華獲勝．請用列表法或畫出樹狀圖的方法說明這個游戲規(guī)則對雙方是否公平．

某中學要在全校學生中舉辦“中國夢我的夢”主題演講比賽，要求每班選一名代表參賽．九年級（1）班經(jīng)過投票初選，小亮和小麗票數(shù)并列班級第一，現(xiàn)在他們都想代表本班參賽．經(jīng)班長與他們協(xié)商決定，用他們學過的擲骰子游戲來確定誰去參賽（勝者參賽）．規(guī)則如下：兩人同時隨機各擲一枚完全相同且質(zhì)地均勻的骰子一次，向上一面的點數(shù)都是奇數(shù)，則小亮勝；向上一面的點數(shù)都是偶數(shù)，則小麗勝；否則，視為平局，若為平局，繼續(xù)上述游戲，直至分出勝負為止．如果小亮和小麗按上述規(guī)則各擲一次骰子，那么請你解答下列問題：（1）小亮擲得向上一面的點數(shù)為奇數(shù)的概率是多少？（2）該游戲是否公平？請用列表或樹狀圖等方法說明理由．（骰子：六個面上分別刻有1，2，3，4，5，6個小圓點的小正方體）

在一個不透明的盒子中裝有大小和形狀相同的3個紅球和2個白球，把它們充分攪勻．（1）“從中任意抽取1個球不是紅球就是白球”是事件，“從中任意抽取1個球是黑球”是事件；（2）從中任意抽取1個球恰好是紅球的概率是；（3）學校決定在甲、乙兩名同學中選取一名作為學生代表發(fā)言，制定如下規(guī)則：從盒子中任取兩個球，若兩球同色，則選甲；若兩球異色，則選乙．你認為這個規(guī)則公平嗎？請用列表法或畫樹狀圖法加以說明．

有一個可自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，被分成了三個大小相同的扇形，分別標有數(shù)字2，4，6；另有一個不透明的瓶子，裝有分別標有數(shù)字1，3，5的三個完全相同的小球．小杰先轉(zhuǎn)動一次轉(zhuǎn)盤，停止后記下指針指向的數(shù)字（若指針指在分界線上則重轉(zhuǎn)），小玉再從瓶子中隨機取出一個小球，記下小球上的數(shù)字．（1）請用列表或畫樹狀圖的方法（選其中一種）表示出所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；（2）若得到的兩數(shù)字之和是3的倍數(shù)，則小杰贏；若得到的兩數(shù)字之和是7的倍數(shù)，則小玉贏，此游戲公平嗎？為什么？

三步實驗的概率某市今年的理化生實驗操作考試，采用學生抽簽的方式?jīng)Q定自己的考試內(nèi)容．規(guī)定：每位考生從三個物理實驗題（題簽分別用代碼，，表示）、三個化學物實驗題（題簽分別用代碼、、表示），二個生物實驗題（題簽分別用代碼，表示）中分別抽取一個進行考試．小亮在看不到題簽的情況下，從他們中隨機地各抽取一個題簽．（1）請你用畫樹狀圖的方法，寫出他恰好抽到的情況；（2）求小亮抽到的題簽代碼的下標（例如“”的下標為“2”之和為7的概率是多少？

節(jié)約能源，從我做起．為響應長株潭“兩型社會”建設(shè)要求，小李決定將家里的4只白熾燈全部換成節(jié)能燈．商場有功率為和兩種型號的節(jié)能燈若干個可供選擇．（1）列出選購4只節(jié)能燈的所有可能方案，并求出買到的節(jié)能燈都為同一型號的概率；（2）若要求選購的4只節(jié)能燈的總功率不超過，求買到兩種型號的節(jié)能燈數(shù)量相等的概率．

頻率與概率之間的關(guān)系頻率的定義頻率的定義在n次重復試驗中，不確定事件A發(fā)生了m次，則比值稱為事件A發(fā)生的頻率．在一個不透明的口袋中裝有4個紅球，5個白球和若干個黑球，它們除顏色外其他完全相同，通過多次摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到白球的頻率穩(wěn)定在附近，則口袋中黑球可能有．A．10個 B．11個 C．12個 D．13個木箱里裝有僅顏色不同的8張紅色和若干張藍色卡片，隨機從木箱里摸出1張卡片記下顏色后再放回，經(jīng)過多次的重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到藍色卡片的頻率穩(wěn)定在0.6附近，則估計木箱中藍色卡片有張．12只有顏色不同的15個紅球和若干個白球裝在不透明的袋子里，從袋子里摸出一個球記錄下顏色后放回，經(jīng)過多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.6，則袋中紅球與白球共有個．25一個不透明的盒子里有個除顏色外其他完全相同的小球，其中有9個黃球．每次摸球前先將盒子里的球搖勻，任意摸出一個球記下顏色后再放回盒子，通過大量重復摸球試驗后發(fā)現(xiàn)，摸到黃球的頻率穩(wěn)定在，那么估計盒子中小球的個數(shù)為A．20 B．24 C．28 D．30某小組做“用頻率估計概率”的實驗時，統(tǒng)計了某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率，繪制了如圖的折線統(tǒng)計圖，則符合這一結(jié)果的實驗最有可能的是A．在“石頭、剪刀、布”的游戲中，小明隨機出的是“剪刀” B．一副去掉大小王的普通撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃 C．暗箱中有1個紅球和2個黃球，它們只有顏色上的區(qū)別，從中任取一球是黃球 D．擲一個質(zhì)地均勻的正六面體骰子，向上的面點數(shù)是4下面四個實驗中，實驗結(jié)果概率最小的是A．如（1）圖，在一次實驗中，老師共做了400次擲圖釘游戲，并記錄了游戲的結(jié)果繪制了下面的折線統(tǒng)計圖，估計出的釘尖朝上的概率 B．如（2）圖，是一個可以自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤，任意轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針落在藍色區(qū)域的概率 C．如（3）圖，有一個小球在的地板上自由滾動，地板上的每個格都是邊長為1的正方形，則小球在地板上最終停留在黑色區(qū)域的概率 D．有7張卡片，分別標有數(shù)字1，2，3；4，6，8，9；將它們背面朝上洗勻后，從中隨機抽出一張，抽出標有數(shù)字“大于6”的卡片的概率如圖1所示，平整的地面上有一個不規(guī)則圖案（圖中陰影部分），小明想了解該圖案的面積是多少，他采取了以下辦法：用一個長為，寬為的長方形，將不規(guī)則圖案圍起來，然后在適當位置隨機朝長方形區(qū)域扔小球，并記錄小球落在不規(guī)則圖案上的次數(shù)（小球扔在界線上或長方形區(qū)域外不計入試驗結(jié)果），他將若干次有效試驗的結(jié)果繪制成了圖2所示的折線統(tǒng)計圖，由此可估計不規(guī)則圖案的面積大約是A． B． C． D．如圖顯示了用計算機模擬隨機投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌嶒灥慕Y(jié)果．下面有三個推斷：①當投擲次數(shù)是500時，計算機記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308，所以“釘尖向上”的概率是0.616；②隨著實驗次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計“釘尖向上”的概率是0.618；③若再次用計算機模擬此實驗，則當投擲次數(shù)為1000時，“釘尖向上”的頻率一定是0.620其中合理的是A．① B．② C．①② D．①③用頻率估計概率（（1）一般地，在大量重復試驗中，如果事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于某個常數(shù)，那么事件發(fā)生的概率．（2）試驗的所有可能結(jié)果不是有限個或者可能出現(xiàn)的結(jié)果發(fā)生的可能性不一定相等時，都可以通過統(tǒng)計頻率來估計概率．（3）注意點：一般地，用頻率估計概率時，試驗次數(shù)應該盡可能多，試驗次數(shù)越多，結(jié)果越接近事件發(fā)生的概率．（4）概率是通過大量重復試驗中頻率的穩(wěn)定性得到的介于0~1的常數(shù)，它反映了事件發(fā)生的可能性大?。臣彝ビ涗浟宋词褂霉?jié)水龍頭50天的日用水量（單位：和使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量，得到頻數(shù)分布表如下：表1未使用節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)13249265表2使用了節(jié)水龍頭50天的日用水量頻數(shù)分布表日用水量頻數(shù)151310165（1）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，日用水量小于的概率；（2）估計該家庭使用節(jié)水龍頭后，一年能節(jié)省多少水？（一年按365天計算，同一組中的數(shù)據(jù)以這組數(shù)據(jù)所在范圍的組中值作代表．

在一個不透明的口袋里裝有若干個相同的紅球，為了用估計袋中紅球的數(shù)量，八（1）班學生在數(shù)學實驗室分組做摸球試驗：每組先將10個與紅球大小形狀完全相同的白球裝入袋中，攪勻后從中隨機摸出一個球并記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復．下表是這次活動統(tǒng)計匯總各小組數(shù)據(jù)后獲得的全班數(shù)據(jù)統(tǒng)計表：摸球的次數(shù)15030060090012001500摸到白球的頻數(shù)63247365484606摸到白球的頻率0.4200.4100.4120.4060.403（1）按表格數(shù)據(jù)格式，表中的；；（2）請估計：當次數(shù)很大時，摸到白球的頻率將會接近（精確到；（3）請推算：摸到紅球的概率是（精確到；（4）試估算：這一個不透明的口袋中紅球有只．

一．選擇題（共8小題）1．下列事件是必然事件的是A．明天太陽從西方升起 B．打開電視機，正在播放廣告 C．擲一枚硬幣，正面朝上 D．任意一個三角形，它的內(nèi)角和等于2．下列成語所描述的事件是必然事件的是A．守株待兔 B．拔苗助長 C．甕中捉鱉 D．水中撈月3．下列成語所描述的事件中是不可能事件的是A．守株待兔 B．甕中捉鱉 C．百步穿楊 D．水中撈月4．從一副撲克牌中任意抽出一張，可能性相同的是A．大王與黑桃 B．大王與10 C．10與紅桃 D．紅桃與梅花5．下列事件是必然發(fā)生的事件的是A．在地球上，上拋的籃球一定會下落 B．明天的氣溫一定比今天的高 C．中秋節(jié)晚上一定能看到月亮 D．某彩票中獎率是，買100張彩票一定中獎一張6．某校藝術(shù)節(jié)的乒乓球比賽中，小東同學順利進入決賽．有同學預測“小東奪冠的可能性是”，則對該同學的說法理解最合理的是A．小東奪冠的可能性較