第二章數(shù)字信號(hào)處理基礎(chǔ)（1）信號(hào)的定義：信號(hào)是信息的載體，以某個(gè)物理量的變化形式出現(xiàn)。信號(hào)的數(shù)學(xué)表示：函數(shù)y=x(t)，y某個(gè)物理量，t自變量，如時(shí)間。第二章數(shù)字信號(hào)處理基礎(chǔ)（1）信號(hào)的定義：信號(hào)是信息的載體1離散信號(hào)：取樣信號(hào)（在離散的時(shí)間點(diǎn)上出現(xiàn)），數(shù)字信號(hào)（對(duì)取樣信號(hào)的值數(shù)字化表示）x(n)nx(t)t

（2）信號(hào)的分類：模擬信號(hào)：連續(xù)時(shí)間信號(hào)(在連續(xù)的時(shí)間范圍內(nèi)出現(xiàn)）對(duì)模擬信號(hào)xa(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為TnT代表的是前后順序。為簡(jiǎn)化，采樣間隔可以不寫，形成x(n)信號(hào)，x(n)可以稱為序列。這里n取整數(shù)，非整數(shù)時(shí)無定義，在數(shù)值上它等于信號(hào)的采樣值，即

x(n)=xa(nT)離散信號(hào)：取樣信號(hào)（在離散的時(shí)間點(diǎn)上出現(xiàn)），x(n)nx(t2信號(hào)隨n的變化規(guī)律可以用公式表示，也可以用圖形表示。如果x(n)是通過觀測(cè)得到的一組離散數(shù)據(jù)，則其可以用集合符號(hào)表示，例如：x(n)={…1,2.1,3.2,9,0,4.5…}

1.單位采樣序列δ(n)1，n=00，n≠0單位采樣序列也可以稱為單位脈沖序列，特點(diǎn)是僅在n=0時(shí)取值為1，其它均為零。它類似于模擬信號(hào)和系統(tǒng)中的單位沖激函數(shù)δ(t)，但不同的是δ(t)在t=0時(shí)，取值無窮大，t≠0時(shí)取值為零，對(duì)時(shí)間t的積分為1。單位采樣序列和單位沖激信號(hào)如下圖所示。常用的典型序列(a)單位采樣序列；(b)單位沖激信號(hào)信號(hào)隨n的變化規(guī)律可以用公式表示，也可以用圖形表示。如果x(32.單位階躍序列u(n)1,n≥00,n＜0單位階躍序列類似于模擬信號(hào)中的單位階躍函數(shù)u(t)。δ(n)與u(n)之間的關(guān)系如下式所示：

單位階躍序列2.單位階躍序列u(n)單位階躍序列43.矩形序列RN(n)1,0≤n≤N-10,其它n上式中N稱為矩形序列的長(zhǎng)度。矩形序列可用單位階躍序列表示：

RN(n)=u(n)-u(n-N)RN(n)=

矩形序列3.矩形序列RN(n)RN(n)=54.實(shí)指數(shù)序列x(n)=anu(n)，

a為實(shí)數(shù)如果|a|<1，x(n)的幅度隨n的增大而減小，稱x(n)為收斂序列；如|a|>1，則稱為發(fā)散序列。實(shí)指數(shù)序列4.實(shí)指數(shù)序列65.正弦序列x(n)=sin(ωn)式中ω稱為正弦序列的數(shù)字域頻率，單位是弧度，它表示序列變化的速率，或者說表示相鄰兩個(gè)序列值之間變化的弧度數(shù)。如果正弦序列是由模擬信號(hào)xa(t)采樣得到的，那么

xa(t)=sin(Ωt)

xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)x(n)=sin(ωn)因?yàn)樵跀?shù)值上，序列值與采樣信號(hào)值相等，因此得到數(shù)字頻率ω與模擬角頻率Ω之間的關(guān)系為

ω=ΩT上式具有普遍意義，它表示凡是由模擬信號(hào)采樣得到的序列，模擬角頻率Ω與序列的數(shù)字域頻率ω成線性關(guān)系。由于采樣頻率fs與采樣周期T互為倒數(shù)，也可以表示成下式：5.正弦序列77.周期序列如果對(duì)所有n存在一個(gè)最小的正整數(shù)N，使下面等式成立：

x(n)=x(n+N),-∞<n<∞

則稱序列x(n)為周期性序列，周期為N，注意N要取整數(shù)。如：的數(shù)字頻率是π/4，由于n取整數(shù)，可以寫成下式：正弦序列7.周期序列正弦序列8對(duì)于任意序列，常用單位采樣序列的移位加權(quán)和表示，即式中用單位采樣序列移位加權(quán)和表示序列x(n)=-2δ(n+2)+0.5δ(n+1)+2δ(n)+δ(n-1)+1.5δ(n-2)-δ(n-4)+2δ(n-5)+δ(n-6)對(duì)于任意序列，常用單位采樣序列的移位加權(quán)和表示，即式中用單9

（3）信號(hào)形式的變換：模擬信號(hào)取樣信號(hào)數(shù)字信號(hào)平滑濾波抽樣A/D變換量化D/A變換x(t)tx[n]nx(n)n（數(shù)字量16位2進(jìn)制PCM碼表示，如）1011011110101011（3）信號(hào)形式的變換：模擬信號(hào)取樣信號(hào)數(shù)字信號(hào)平滑濾10（1）信號(hào)處理系統(tǒng)的定義：能反映輸入信號(hào)x(t)和輸出信號(hào)y(t)的因果關(guān)系的設(shè)備或運(yùn)算稱為信號(hào)處理系統(tǒng)。表示為：y(t)=f[x(t)]或x(t)y(t)，xyTT信號(hào)處理系統(tǒng)：設(shè)時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入為x(n)，經(jīng)過規(guī)定的運(yùn)算，系統(tǒng)輸出序列用y(n)表示。設(shè)運(yùn)算關(guān)系用T［·］表示，輸出與輸入之間關(guān)系用下式表示：

y(n)=T［x(n)］

（1）信號(hào)處理系統(tǒng)的定義：能反映輸入信號(hào)x(t)和輸出信號(hào)11線性系統(tǒng)設(shè)x1(n)和x2(n)分別作為系統(tǒng)的輸入序列，其輸出分別用y1(n)和y2(n)表示

y1(n)=T［x1(n)］，y2(n)=T［x2(n)］那么線性系統(tǒng)一定滿足下面兩個(gè)公式：

T［x1(n)+x2(n)］=y1(n)+y2(n)T［ax1(n)］=ay1(n)y(n)=T［ax1(n)+bx2(n)］=ay1(n)+by2(n)線性系統(tǒng)12時(shí)不變系統(tǒng)

如果系統(tǒng)對(duì)輸入信號(hào)的運(yùn)算關(guān)系T［·］在整個(gè)運(yùn)算過程中不隨時(shí)間變化，或者說系統(tǒng)對(duì)于輸入信號(hào)的響應(yīng)與信號(hào)加于系統(tǒng)的時(shí)間無關(guān)，則這種系統(tǒng)稱為時(shí)不變系統(tǒng)，用公式表示如下：

y(n)=T［x(n)］

y(n-n0)=T［x(n-n0)］時(shí)不變系統(tǒng)13線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系設(shè)系統(tǒng)的輸入x(n)=δ(n)，系統(tǒng)輸出y(n)的初始狀態(tài)為零，定義這種條件下系統(tǒng)輸出稱為系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)，用h(n)表示。換句話說，單位取樣響應(yīng)即是系統(tǒng)對(duì)于δ(n)的零狀態(tài)響應(yīng)。用公式表示為

h(n)=T［δ(n)］

h(n)和模擬系統(tǒng)中的h(t)單位沖激響應(yīng)相類似，都代表系統(tǒng)的時(shí)域特征。線性時(shí)不變系統(tǒng)輸入與輸出之間的關(guān)系14根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)設(shè)系統(tǒng)的輸入用x(n)表示，表示成單位采樣序列移位加權(quán)和為

式中的符號(hào)“*”代表卷積運(yùn)算，上式表示線性時(shí)不變系統(tǒng)的輸出等于輸入序列和該系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)的卷積。根據(jù)線性系統(tǒng)的疊加性質(zhì)又根據(jù)時(shí)不變性質(zhì)設(shè)系統(tǒng)的輸入用x(n15例

設(shè)x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。

線性卷積例設(shè)x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)16卷積的結(jié)合律和分配律卷積的結(jié)合律和分配律171）系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性如果系統(tǒng)n時(shí)刻的輸出，只取決于n時(shí)刻以及n時(shí)刻以前的輸入序列，而和n時(shí)刻以后的輸入序列無關(guān)，則稱該系統(tǒng)具有因果性質(zhì)，或稱該系統(tǒng)為因果系統(tǒng)。如果n時(shí)刻的輸出還取決于n時(shí)刻以后的輸入序列，在時(shí)間上違背了因果性，系統(tǒng)無法實(shí)現(xiàn)，則系統(tǒng)被稱為非因果系統(tǒng)。因此系統(tǒng)的因果性是指系統(tǒng)的可實(shí)現(xiàn)性。線性時(shí)不變系統(tǒng)具有因果性的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)滿足下式：

h(n)=0，n<0

所謂穩(wěn)定系統(tǒng)，是指系統(tǒng)有界輸入，系統(tǒng)輸出也是有界的。系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是系統(tǒng)的單位取樣響應(yīng)絕對(duì)可和，用公式表示為1）系統(tǒng)的因果性和穩(wěn)定性18時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法——線性常系數(shù)差分方程描述一個(gè)系統(tǒng)，可以不管系統(tǒng)內(nèi)部的結(jié)構(gòu)如何，將系統(tǒng)看成一個(gè)黑盒子，只描述或者研究系統(tǒng)輸出和輸入之間的關(guān)系，這種方法稱為輸入輸出描述法。對(duì)于模擬系統(tǒng)，我們知道由微分方程描述系統(tǒng)輸出輸入之間的關(guān)系。對(duì)于時(shí)域離散系統(tǒng)，則用差分方程描述或研究輸出輸入之間的關(guān)系。對(duì)于線性時(shí)不變系統(tǒng)，經(jīng)常用的是線性常系數(shù)差分方程。

時(shí)域離散系統(tǒng)的輸入輸出描述法——線性常系數(shù)差分方程描19一個(gè)N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：或者式中，x(n)和y(n)分別是系統(tǒng)的輸入序列和輸出序列，ai和bi均為常數(shù)，式中y(n-i)和x(n-i)項(xiàng)只有一次冪，也沒有相互交叉項(xiàng)，故稱為線性常系數(shù)差分方程。差分方程的階數(shù)是用方程y(n-i)項(xiàng)中i的取值最大與最小之差確定的。在上式中，y(n-i)項(xiàng)i最大的取值為N，i的最小取值為零，因此稱為N階的差分方程。一個(gè)N階線性常系數(shù)差分方程用下式表示：或者式中，x(n20數(shù)字信號(hào)處理的一般過程：A/D

量化

抽樣

數(shù)字處理D/A

變換

平滑濾波xa(t)xa(n)x(n)y(n)ya(t)ya(n)說明：（1）在自然界中大量的信號(hào)是模擬信號(hào)，所以數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)一般輸入為模擬信號(hào)xa(t)。（2）模擬信號(hào)xa(t)經(jīng)過抽樣處理得到離散信號(hào)xa(n)，再經(jīng)A/D量化得數(shù)字信號(hào)x(n)，輸入數(shù)字處理單元。（3）經(jīng)數(shù)字處理單元輸入數(shù)字信號(hào)x(n)變換成輸出數(shù)字信號(hào)y(n)。（4）輸出數(shù)字信號(hào)y(n)經(jīng)過D/A變換和平滑濾波得模擬信號(hào)ya(t)輸出。（5）因?yàn)橄到y(tǒng)中輸入、輸出信號(hào)之間的變換是由數(shù)字處理單元完成，所以該系統(tǒng)是數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)。

數(shù)字信號(hào)處理的一般過程：A/D抽數(shù)字D/A平滑xa21模-數(shù)轉(zhuǎn)換所有生物信號(hào)都是模擬量，因此在計(jì)算機(jī)處理前必須數(shù)字化（量化或離散化）。此工作由模-數(shù)轉(zhuǎn)換完成。恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換沒有信息丟失，原始模擬信號(hào)還可由存儲(chǔ)的數(shù)字信號(hào)通過數(shù)-模轉(zhuǎn)換再還原。生物信號(hào)采樣過程中主要有兩個(gè)問題：①采樣以何種頻率進(jìn)行？②幅度以何種精度量化？前者以每秒采樣數(shù)表示，后者以數(shù)據(jù)位數(shù)表示。模-數(shù)轉(zhuǎn)換所有生物信號(hào)都是模擬量，因此在計(jì)算機(jī)處理前必須數(shù)字22生物醫(yī)學(xué)信號(hào)處理-21-簡(jiǎn)介課件23A/D采樣頻率Nyquist采樣定理采樣率>2倍的信號(hào)最高頻率AdequatelysampledAliasedduetoundersamplingA/D采樣頻率Nyquist采樣定理采樣率>224納奎斯特（Nyquist）定理采樣后的數(shù)字信號(hào)必須要能精確的描述原來的模擬信號(hào)。如果采樣率太低會(huì)造成數(shù)字信號(hào)失真。納奎斯特定理要求最小采樣頻率應(yīng)該是原始模擬信號(hào)的最高頻率fmax的兩倍。即fnyquist=2fmax例：ECG信號(hào)的頻率范圍是0.5-100Hz，那么它的最低采樣頻率應(yīng)是：fnyquist=21