HeatCapacityofSolids

固體熱容HeatCapacityofSolids

固體熱容

在十九世紀(jì)，由實(shí)驗(yàn)得到在室溫下固體的比熱是由杜隆-珀替定律給出的：

熱容是一個(gè)與溫度和材料都無(wú)關(guān)的常數(shù)。其中R=NAKB，NA是阿伏伽德羅常數(shù)（6.03×1023atoms/mole）KB是玻爾茲曼常數(shù)（1.38×10-16爾格/開(kāi)，爾格是功和能量的單位1焦耳=107爾格）?；叵胍幌拢?卡路里=4.18焦耳=4.18×107爾格。因此，（2.90）所給出的結(jié)果cal/degmole（2.91）（2.90）固體比熱的經(jīng)典理論在十九世紀(jì)，由實(shí)驗(yàn)得到在室溫下固體的比熱是由杜隆-

杜隆-珀替定律的解釋是基于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)的均分定理的基礎(chǔ)之上的，該定理假設(shè)每個(gè)原子關(guān)于它的平衡位置做簡(jiǎn)諧振蕩，那么一個(gè)原子的能量就為：（2.92）

在一個(gè)處于平衡狀態(tài)的系統(tǒng)中，能量均分定理指出:對(duì)于上式中的其他項(xiàng)也都適用，因此在溫度T時(shí)每個(gè)原子的能量都為E=3kBT固體比熱的經(jīng)典理論杜隆-珀替定律的解釋是基于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)力學(xué)的均分定理的基1摩爾原子的能量則為（2.93）

隨后，Cv,由（2.90）式給出。后來(lái)發(fā)現(xiàn)，杜隆-珀替定律只適用于足夠高的溫度。對(duì)于一個(gè)典型固體Cv的值被發(fā)現(xiàn)隨溫度的影響具有如圖2.9所示的行為。固體比熱的經(jīng)典理論1摩爾原子的能量則為（2.93）隨后，Cv,

由圖可知，在低溫時(shí)，熱容量不再保持為常數(shù)，而是隨溫度的下降很快趨向于零。固體比熱的經(jīng)典理論由圖可知，在低溫時(shí)，熱容量不再保持為常數(shù)，而是隨溫度

為了解決這一問(wèn)題，愛(ài)因斯坦提出了量子熱容理論。根據(jù)量子理論，各個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的能量本征值是量子化的，即（nj=整數(shù)）ModernTheoryoftheSpecificHeatofSolids

固體比熱的現(xiàn)代理論

把晶體看作一個(gè)熱力學(xué)系統(tǒng)，在簡(jiǎn)諧近似下引入簡(jiǎn)正坐標(biāo)Qi（i=1,2…3N）來(lái)描述振子的振動(dòng)?？梢哉J(rèn)為這些振子獨(dú)立的子系，每個(gè)諧振子的的統(tǒng)計(jì)平均能量：為了解決這一問(wèn)題，愛(ài)因斯坦提出了量子熱容理論。根據(jù)量令零點(diǎn)能平均熱能ModernTheoryoftheSpecificHeatofSolids

固體比熱的現(xiàn)代理論令零點(diǎn)能平均熱能ModernTheoryoftheS固體物理-固體比熱容ppt課件其中——平均聲子數(shù)在一定溫度下，晶格振動(dòng)的總能量為：其中——平均聲子數(shù)在一定溫度下，晶格振動(dòng)的總能量為：HeatCapacityofSolids

固體熱容上式對(duì)T求微商，得到晶格熱容：上式分析了頻率為ωj的振子對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)，晶體中包含有3N個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，總能量為：HeatCapacityofSolids

固體熱容上式HeatCapacityofSolids

固體熱容總熱容就為：HeatCapacityofSolids

固體熱容總熱愛(ài)因斯坦模型假設(shè)晶體中原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的,而且所有原子都以同一頻率ω0振動(dòng)。ω0的值由實(shí)驗(yàn)選定，使理論與實(shí)驗(yàn)一致。不足之處：模型過(guò)于簡(jiǎn)化，得到的結(jié)果以指數(shù)形式趨于0，與實(shí)驗(yàn)中以T3變化不符。Einstein模型趨于零的速度太快！該模型的成功之處：證明Einstein模型由固體比熱的現(xiàn)代理論可知：愛(ài)因斯坦模型假設(shè)晶體中原子的振動(dòng)是相互獨(dú)立的,而且所有原經(jīng)典的能量均分定理可以很好地解釋室溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。困難：低溫下晶格熱容的實(shí)驗(yàn)值明顯偏小，且當(dāng)T0時(shí)，

CV0，經(jīng)典的能量均分定理無(wú)法解釋。2.Einstein模型在一定溫度下，由N個(gè)原子組成的晶體的總振動(dòng)能為：

假設(shè)：晶體中各原子的振動(dòng)相互獨(dú)立，且所有原子都

以同一頻率

0振動(dòng)。即：經(jīng)典的能量均分定理可以很好地解釋室溫下晶格定義Einstein溫度：高溫下：T>>

E

即定義Einstein溫度：高溫下：T>>E固體物理-固體比熱容ppt課件在低溫下：T<<

E

即當(dāng)T0時(shí)，CV0，與實(shí)驗(yàn)結(jié)果定性符合。根據(jù)Einstein模型，T0，但實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，T0，CV∝T3;在低溫下：T<<E即當(dāng)T0時(shí)，CV0，與Einstein模型

金剛石熱容量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)Einstein模型

金剛石熱容量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)3.Debye模型假設(shè)：晶體是各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)，格波可以看

成連續(xù)介質(zhì)的彈性波。這表明，在q空間中，等頻率面為球面。為簡(jiǎn)單，設(shè)橫波和縱波的傳播速度相同，均為c。3.Debye模型假設(shè)：晶體是各向同性的連續(xù)彈性介質(zhì)，格4.Debye模型Einstein模型過(guò)于簡(jiǎn)化，固體中原子的振動(dòng)不是孤立的。晶體中原子的振動(dòng)采用格波的形式，頻率有一個(gè)分布,Debye模型考慮了頻率分布。（1）頻率分布函g(ω)的定義在ω—ω+dω之間的簡(jiǎn)諧振動(dòng)數(shù)為ΔN，定義頻率分布函數(shù)為：

g(ω)稱頻率分布函數(shù)或振動(dòng)模的態(tài)密度函數(shù)（視為連續(xù)函數(shù)）振動(dòng)模對(duì)熱容量的貢獻(xiàn)只決定于它的頻率，由頻率分布函數(shù)，可以寫(xiě)出熱容：寫(xiě)出g(ω)的解析表達(dá)式就可以計(jì)算出熱容量。4.Debye模型g(ω)稱頻率分布函數(shù)或振動(dòng)模的態(tài)密度在－＋d之間晶格振動(dòng)的模式數(shù)為由

m在－＋d之間晶格振動(dòng)的模式數(shù)為由m定義Debye溫度：對(duì)于大多數(shù)固體材料：

D?102K定義Debye溫度：對(duì)于大多數(shù)固體材料：D?102K元素

D(K)元素

D(K)元素

D(K)Ag225Cd209Ir108Al428Co445K91As282Cr630Li344Au165Cu343La142B1250Fe470Mg400Be1440Ga320Mn410Bi119Ge374Mo450金剛石2230Gd200Na158Ca230Hg71.9Ni450元素D(K)元素D(K)元素D(K)Ag225C作變換：在高溫下：T>>

D，即作變換：在高溫下：T>>D，即在低溫下：T<<

D，即在低溫下：T<<D，即利用Taylor展開(kāi)式：利用積分公式：利用Taylor展開(kāi)式：利用積分公式：這表明，Debye模型可以很好地解釋在很低溫度下晶格熱容CV∝T3的實(shí)驗(yàn)結(jié)果。由此可見(jiàn)，用Debye模型來(lái)解釋晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是相當(dāng)成功的，尤其是在低溫下，溫度越低，Debye近似就越好。這表明，Debye模型可以很好地解釋在很低溫幾種材料晶格熱容量理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較幾種材料晶格熱容量理論值與實(shí)驗(yàn)值的比較

Tqyqx

mqmqT

在非常低的溫度下，由于短波聲子的能量太高，不會(huì)被熱激發(fā)，而被“冷凍”下來(lái)。所以的聲子對(duì)熱容幾乎沒(méi)有貢獻(xiàn)；只有那些的長(zhǎng)波聲子才會(huì)被熱激發(fā)，對(duì)熱容量有貢獻(xiàn)。TqyqxmqmqT在非常低的溫度下，由在q空間中，被熱激發(fā)的聲子所占的體積比約為由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所獲得的能量為：在q空間中，被熱激發(fā)的聲子所占的體積比約為由于熱激發(fā)，系統(tǒng)所

CV∝T3必須在很低的溫度下才成立，大約要低到T~

D/50，即約10K以下才能觀察到CV隨T3變化。

Debye模型在解釋晶格熱容的實(shí)驗(yàn)結(jié)果方面已經(jīng)證明是相當(dāng)成功的，特別是在低溫下，Debye理論是嚴(yán)格成立的。但是，需要指出的是Debye模型仍然只是一個(gè)近似的理論，仍有它的局限性，并不是一個(gè)嚴(yán)格的理論。CV∝T3必須在很低的溫度下才成立，大約In的Debye溫度

D隨溫度的變化In的Debye溫度D隨溫度的變化densityofstates

模式密度（態(tài)密度？）g(ω)densityofstates

模式密度（態(tài)密度？）g(確定振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)方法

晶格振動(dòng)的ω～q關(guān)系，稱格波的色散關(guān)系，也稱晶格振動(dòng)譜。原則上聲子對(duì)X-ray、光子和中子的散射可以通過(guò)入射波的非彈性散射反映，測(cè)量散射束可以得到聲子信息?！豆腆w物理學(xué)》書(shū)上介紹的是中子的非彈性散射，也是最重要的實(shí)驗(yàn)方法，除此之外還有X射線散射，光的散射等。確定振動(dòng)譜的實(shí)驗(yàn)方法中子的非彈性散射：

為什么說(shuō)中子的非彈性散射實(shí)驗(yàn)較好？（1）慢中子的能量約在0