2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第1頁一、估計量的漸近性質(zhì)二、隨機解釋變量模型OLS估計特性

三、隨機解釋變量模型的經(jīng)濟計量方法四、案例第一節(jié)隨機解釋變量2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第1頁一2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第2頁

要求滿足古典假設(shè)4：隨機項u與解釋變量x之間不相關(guān)，即：

Cov(xi,ui)=0i=1,2,…,n

只要解釋變量x1,x2,…,xk是確定性變量，則上述假設(shè)自動滿足。對于模型

i=1,2,…,n2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第2頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第3頁

在許多經(jīng)濟現(xiàn)象中，自變量的非隨機性假定有時是不符合實際的。因為，⑴許多經(jīng)濟變量是不能用控制的方法進行觀測的，所以作為模型中的解釋變量其取值就不可能是確定的，而是隨機的。⑵又由于隨機項包含了模型中略去的解釋變量，而略去的解釋變量同模型中保留的解釋變量往往是相關(guān)的。⑶自回歸模型中，因變量作為解釋變量也必定是隨機變量了。因此，我們必須對模型中的解釋變量為隨機變量且與隨機項相關(guān)的情形進行討論。

如果存在一個或多個隨機變量作為解釋變量，則稱原模型出現(xiàn)隨機解釋變量問題。下面我們就對解釋變量為隨機變量且與隨機項相關(guān)的情形進行討論。

2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第3頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第4頁一、估計量的漸近性質(zhì)

線性、無偏性和有效性是評價一個估計量優(yōu)劣的標準。在有的情況下，小樣本的估計量不具有某種統(tǒng)計特性，但隨著樣本容量的增大，估計量逐漸有了這種統(tǒng)計性質(zhì)，此時稱之為估計量的漸近統(tǒng)計性質(zhì)。

1.漸近無偏性

2.漸近一致性2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第4頁一2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第5頁

1.漸近無偏性記為樣本容量為n時參數(shù)θ的估計量，如果滿足則稱為θ的漸近無偏估計量。有時，在小樣本的情況下，是有偏的，但隨著樣本容量的逐步增大，與θ的系統(tǒng)偏差越來越小，逐漸趨于0。通過增加樣本容量，可以改善參數(shù)估計的精度。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第5頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第6頁

2.漸近一致性

對真實值θ在樣本容量為n時的估計值，如果當樣本容量n充分大時，值趨近于真值θ的概率接近于1。即：則稱為θ的一致估計量?？梢宰C明：為θ的一致估計量，當且僅當：簡記為：2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第6頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第7頁概率極限有以下運算法則：

c為一常數(shù)2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第7頁概2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第8頁二、隨機解釋變量模型OLS估計特性以一元線性回歸模型為例說明。設(shè)給定的模型為

采用離差形式即為:式中：不管自變量x是否是隨機變量，對上式應(yīng)用OLS，參數(shù)的估計量都是2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第8頁二2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第9頁我們分下列四種情況進行討論

1.x是非隨機變量，x與u自然不相關(guān)最小二乘估計量是無偏的。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第9頁我2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第10頁2.

x是隨機變量，但x與u不相關(guān)，且相互獨立

最小二乘估計量仍然是無偏的。3.x是隨機變量，x與u不相關(guān)，但也不獨立

最小二乘估計量是有偏的。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第10頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第11頁但由于Cov(x,u)=0,即對式(4.70)兩邊取概率極限：說明最小二乘估計量具有一致性。也就是說，如果x是隨機變量，且x與u不相關(guān)但也不獨立，雖然小樣本的無偏性得不到滿足，但在樣本容量增加時，OLSE會逐漸逼近真實的總體參數(shù)，即在樣本足夠大時，OLSE仍然是有意義的。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第11頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第12頁4.x是隨機變量，x與u相關(guān)，即使在大樣本條件下，仍然存在對式(4.68)，設(shè)，x與u之間的相關(guān)系數(shù)為ρ，則式(4.75)變?yōu)椋河纱丝梢钥闯?，是?的非一致估計量。這時OLS失效，必須引進其他方法估計參數(shù)和進行統(tǒng)計推論推論。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第12頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第13頁

模型中出現(xiàn)隨機解釋變量且與隨機誤差項相關(guān)時，OLS估計量是有偏的。如果隨機解釋變量與隨機誤差項異期相關(guān)，則可以通過增大樣本容量的辦法來得到一致的估計量；但如果是同期相關(guān)，即使增大樣本容量也無濟于事。這時，最常用的估計方法是工具變量法（Instrumentvariables）。三、隨機解釋變量模型的經(jīng)濟計量方法2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第13頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第14頁

1、工具變量的選取工具變量法的基本思路：當解釋變量與隨機項相關(guān)時，則尋找另一個變量，該變量與隨機解釋變量高度相關(guān)，但與隨機誤差項不相關(guān)，則稱該變量為工具變量，用其替代隨機解釋變量。選擇為工具變量的變量必須滿足以下條件：（1）工具變量必須具有實際經(jīng)濟意義；（2）與所替代的隨機解釋變量高度相關(guān)，但與隨機誤差項不相關(guān)；（3）與模型中其它解釋變量不相關(guān)，以避免出現(xiàn)多重共線性；（4）模型中多個工具變量之間不相關(guān)。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第14頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第15頁

2、工具變量的應(yīng)用以一元回歸模型的離差形式為例說明如下：用OLS估計模型，由可得：用

去乘模型兩邊、對i從1到n求和得到：由古典假定u和x不相關(guān)，即Cov(u,x)=0,因此有：(4.77)利用該條件就可以略去(4.77)等式右邊的第二項，將β1用代替也得到正規(guī)方程組。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第15頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第16頁如果u與x相關(guān)，則，普通最小二乘法失效。

不能用

去乘模型兩邊，需要另尋找一個變量z,z與x高度相關(guān)而與u不相關(guān)，z叫做工具變量。用

去乘模型兩邊、對i從1到n求和得到：由于z和u不相關(guān)，即Cov(u,z)=0,因此有：利用該條件就可以略去上述等式右邊的第二項，將β1用代替也得到：2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第16頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第17頁從而得到工具變量法估計量：然后由公式，得到β0的估計值。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第17頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第18頁i=1,2,…,n如果xj(j=1,2,…,k)與隨機項u不相關(guān)，用最小二乘原理可得到正規(guī)方程組：對于多元線性回歸模型，設(shè)模型為：

解得：=(XTX)-1XTY2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第18頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第19頁但當xj(j=1,2,…,k)與隨機項u相關(guān)，即Cov(xj，u)≠0或，普通最小二乘法失效，此時可采用工具變量法。

設(shè)xj(j=1,2,…,k)的工具變量為zj，即每一個解釋變量都對應(yīng)一個工具變量，根據(jù)工具變量應(yīng)滿足的條件，可得：

將關(guān)系式：i=1,2,…,n代入上式得：2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第19頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第20頁

當

j=1,2,…,k時，上式即可分解為k個方程式，與上述正規(guī)方程組的第一個方程一起就組成了由(k+1)個方程組成的方程組，利用樣本數(shù)據(jù)求解便得到參數(shù)的工具變量法的估計量。也可將此方程組轉(zhuǎn)化為矩陣的形式求解。

可見，工具變量法實際上是一種矩方法。參數(shù)的工具變量估計量無論對一元還是多元的模型都具有有偏且一致的統(tǒng)計性。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第20頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第21頁四、案例

下頁表中x代表國內(nèi)生產(chǎn)總值，y代表消費，z代表投資。用表中所提供的某地的三項指標的資料說明工具變量的使用方法。

2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第21頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第22頁

國內(nèi)生產(chǎn)總值、消費、投資數(shù)據(jù)

年份xy

z年份xyZ17164.34694.52468.6925863.615952.19636.028792.15773.03386.01034500.620182.112998.0310132.86542.03846.01147110.927216.219260.6411784.07451.24322.01258510.533635.023877.0514704.09360.15495.01368330.440003.926867.2616466.010556.56095.01474894.343579.428457.6718319.511365.26444.01579853.346405.930396.0821280.413145.9515.0

單位:億元2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第22頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第23頁設(shè)消費y與國內(nèi)生產(chǎn)總值x之間具有線性關(guān)系，可建立如下模型：

由于消費y和國內(nèi)生產(chǎn)總值x與隨機項u相關(guān)，而投資z與隨機項u無關(guān)，與國內(nèi)生產(chǎn)總值x高度相關(guān)，故可用z作為國內(nèi)生產(chǎn)總值x的工具變量。參數(shù)估計如下：=0.568051876.010088則樣本回歸模型為：2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第23頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第24頁第二節(jié)多重共線性一、多重共線性的含義二、產(chǎn)生多重共線性的原因三、多重共線性引起的后果四、多重共線性的檢驗五、消除多重共線性的方法六、案例2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第24頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第25頁

一、多重共線性的含義

如果某兩個或多個解釋變量之間出現(xiàn)了某種相關(guān)關(guān)系,則稱解釋變量之間存在多重共線性(Multicollinearity)。對于模型

yi=

0+1x1i+2x2i++kxki+ui

i=1,2,…,n其基本假設(shè)之一是解釋變量是互相獨立的，即要求Rank(X)=k+1。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第25頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第26頁

如果存在不全為零的常數(shù)

1,

2,…,

k使得：

1x1i+

2x2i+…+

k

xki=0i=1,2,…,n

成立，則稱為解釋變量間存在完全共線性（perfectmulticollinearity）。

對于多元線性回歸模型：解釋變量的線性相關(guān)性分完全線性相關(guān)和不完全線性相關(guān)或接近線性相關(guān)兩類。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第26頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第27頁在矩陣表示的線性回歸模型:

Y=X

+u

中，完全共線性指：

rank(X)<k+1，即中，至少有一列向量可由其他列向量（不包括第一列）線性表示。如：x2i=

x1i，則x2對y的作用可由x1代替。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第27頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第28頁

當存在不完全多重共線性時，存在存在一組不同時全為零的常數(shù)

1,

2,…,

k使得下式

0+

1x1i+

2x2i+…+

k

xki+

v

=0i=1,2,…,n（5.20）成立，其中v為隨機誤差項，則稱解釋變量間存在

近似共線性（approximatemulticollinearity）或交互相關(guān)(intercorrelated)。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第28頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第29頁注意：

完全共線性的情況并不多見，一般出現(xiàn)的是在一定程度上的共線性，即近似共線性。

綜上所述，多重共線性就是指解釋變量之間存在完全的線性關(guān)系或接近的線性關(guān)系2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第29頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第30頁二、多重共線性產(chǎn)生的原因

時間序列樣本：經(jīng)濟繁榮時期，各基本經(jīng)濟變量（收入、消費、投資、價格）都趨于增長；衰退時期，又同時趨于下降。

橫截面數(shù)據(jù)：生產(chǎn)函數(shù)中，資本投入與勞動力投入往往出現(xiàn)高度相關(guān)情況，大企業(yè)二者都大，小企業(yè)都小。一般地，產(chǎn)生多重共線性的主要原因有以下三個方面：1.經(jīng)濟變量相互關(guān)系復(fù)雜，有共同變化趨勢2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第30頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第31頁2.利用截面數(shù)據(jù)建立模型也可能出現(xiàn)多重共線性

（1）對于截面數(shù)據(jù)，許多變量變化與發(fā)展規(guī)模相關(guān)，會呈現(xiàn)出共同增長的趨勢，例如資本、勞動力、科技、能源等投入與產(chǎn)出的規(guī)模相關(guān)，這時容易出現(xiàn)多重共線性。（2）有時如果出現(xiàn)部分因素的變化與另一部分因素的變化相關(guān)程度較高時，也容易出現(xiàn)共線性。如用糧食產(chǎn)量對化肥用量、水澆地面積、農(nóng)業(yè)投入資金進行回歸，發(fā)現(xiàn)回歸效果較差，原因是農(nóng)業(yè)資金的影響已經(jīng)通過化肥用量、水澆地面積兩個因素體現(xiàn)出來。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第31頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第32頁3.滯后變量的引入

在經(jīng)濟計量模型中，往往需要引入滯后經(jīng)濟變量來反映真實的經(jīng)濟關(guān)系。

例如，消費=f(當期收入,前期收入）顯然，兩期收入間有較強的線性相關(guān)性。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第32頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第33頁4.樣本資料的限制一般經(jīng)驗：時間序列數(shù)據(jù)樣本：簡單線性模型，往往存在多重共線性。

截面數(shù)據(jù)樣本：問題不那么嚴重，但多重共線性仍然是存在的。

由于完全符合理論模型所要求的樣本數(shù)據(jù)較難收集，特定樣本可能存在某種程度的多重共線性。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第33頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第34頁三、多重共線性的后果（一）完全多重共線性1.多元線性回歸模型中如果存在完全的多重共線性，則參數(shù)的最小二乘估計量是不確定的。對于二元線性回歸模型如果有則有我們只能估計出系數(shù)的線性組合的樣本估計值，而無法得到和的具體估計。又由于參數(shù)的OLSE為

在完全多重共線性時，不存在，無法估計。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第34頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第35頁

2.參數(shù)估計量的方差為無窮大如果有,則

同理，可以證明。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第35頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第36頁

1.估計結(jié)果不好解釋參數(shù)估計值的大小往往與預(yù)期相去甚遠，甚至可能連回歸系數(shù)的符號都相反，回歸結(jié)果無法得到合理解釋。

多重共線性產(chǎn)生的影響具有一定的不確定性。在一些模型中，程度并不高的共線性可能帶來了嚴重的后果，而在另一些模型中，較高程度的共線性卻沒有造成不利影響，甚至參數(shù)估計值的標準差也不大。一般的，模型中存在多重共線性，便有造成不利后果的可能。

（二）不完全多重共線性2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第36頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第37頁

2.參數(shù)估計值的方差增大

對于，用OLS法估計回歸系數(shù)

?？梢宰C明，參數(shù)的估計量方差和協(xié)方差分別是：

其中，r12是、的樣本相關(guān)系數(shù)被稱為方差擴大因子(VarianceInflationFactor,VIF)。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第37頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第38頁

3.參數(shù)估計的置信區(qū)間變大

存在多重共線性時，參數(shù)估計值的方差增大，其標準誤差也增大，導(dǎo)致總體參數(shù)的置信區(qū)間也隨之變大。

4.假設(shè)檢驗容易作出錯誤的判斷

在對回歸系數(shù)的假設(shè)檢驗中，使用了t統(tǒng)計量，在高度共線性時，參數(shù)估計值的方差增加較快，會使得t值變小，而使本應(yīng)拒絕的原假設(shè)被錯誤地接受。同時，當多重共線性嚴重時，往往造成樣本決定系數(shù)較高，

F檢驗也高度顯著，但對各個參數(shù)單獨的t檢驗卻不顯著，不同檢驗的結(jié)果互相矛盾。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第38頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第39頁注意：

除非是完全共線性，多重共線性并不意味著任何基本假設(shè)的違背；因此，即使出現(xiàn)較高程度的多重共線性，OLS估計量仍具有線性性等良好的統(tǒng)計性質(zhì)。問題在于，即使OLS法仍是最好的估計方法，它卻不是“完美的”，尤其是在統(tǒng)計推斷上無法給出真正有用的信息。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第39頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第40頁

多重共線性檢驗的任務(wù)是：

（1）檢驗多重共線性是否存在；（2）估計多重共線性的范圍，即判斷哪些變量之間存在共線性。

多重共線性表現(xiàn)為解釋變量之間具有相關(guān)關(guān)系，所以用于多重共線性的檢驗方法主要是統(tǒng)計方法。

四、多重共線性的檢驗2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第40頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第41頁（一）直觀判斷法

1.散點圖法。含有兩個解釋變量的模型；散點圖。

2.相關(guān)系數(shù)法。計算兩個解釋變量之間的簡單相關(guān)系數(shù)。（注：多個解釋變量間即使兩兩間呈低度線性相關(guān)，但多個解釋變量之間可能呈現(xiàn)出較強的共線性）

3.經(jīng)驗判斷法?？疾熳钚《斯烙嬛档姆柡痛笮∈欠衽c實際經(jīng)濟情況或經(jīng)濟理論相符；另外，當增加或剔除一個解釋變量，或者改變一個樣本觀測值時，回歸參數(shù)的估計值發(fā)生較大變化，往往預(yù)示著回歸方程可能存在嚴重的多重共線性。

4.“經(jīng)典”判斷法。多重共線性的“經(jīng)典”特征是R2較高，但參數(shù)檢驗值顯著的不多，如果一個回歸分析結(jié)果中存在這一特征，則應(yīng)考慮其是否存在多重共線性的問題。

5.Klein判別法。先計算多重樣本決定系數(shù)

，然后計算解釋變量間的簡單相關(guān)系數(shù)rxl

xj。若有某個

rxlxj

>R2，則xl，xj間的多重共線性對回歸模型是有害的。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第41頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第42頁（二）自變量之間的復(fù)決定系數(shù)和方差擴大因子

設(shè)解釋變量為k個，即x1，x2，…,xk。我們分別以其中的一個對其它所有的解釋變量進行回歸,得

k個回歸方程：對每個回歸方程求其決定系數(shù)分別為:在這些決定系數(shù)中尋其最大而且接近于1者，比如說Rj2最大，則可以判定解釋變量與其它解釋變量中的一個或多個相關(guān)程度高，因此就使得回歸模型出現(xiàn)高度多重共線性。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第42頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第43頁

計量經(jīng)濟學(xué)中在檢驗多重共線性時，往往稱（1-Rj2）為自變量xj的容忍度（Tolerance），其倒數(shù)為方差擴大因子（VarianceInflationFactor,簡記為VIF），即：

2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第43頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第44頁現(xiàn)以二元線性模型

yi=

0+

1x1i+2x2i+ui

為例:恰為x1與x2的線性相關(guān)系數(shù)的平方r2由于r2

1，故1/(1-r2)12023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第44頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第45頁多重共線性使參數(shù)估計值的方差增大，1/(1-r2)為方差擴大因子(VarianceInflationFactor,VIF)當完全不共線時,r2=0

當近似共線時,0<r2<1當完全共線時，r2=1，2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第45頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第46頁注：

也可以用k個自變量所對應(yīng)的方差擴大因子的平均數(shù)來度量多重共線性。當模型中全部k個自變量所對應(yīng)的方差擴大因子的平均數(shù)大于1時，就表明存在嚴重的多重共線性。

經(jīng)驗表明，當VIFj≥10時，自變量xj與其它自變量之間的多重共線性就非常大了，以至于足以影響到OLSE。

可見，一個自變量與其他自變量的復(fù)決定系數(shù)越大，即多重共線性越嚴重，會造成回歸系數(shù)的OLSE的方差越大，所以我們把VIFj稱為“方差擴大因子”，它可以反映多重共線性的嚴重程度。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第46頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第47頁（三）利用不包括某一解釋變量所構(gòu)成的回歸方程之決定系數(shù)

設(shè)多元線性回歸模型為以下函數(shù)形式：

設(shè)其樣本決定系數(shù)為R2。假定依次缺一個解釋變量進行回歸，則可得到k個回歸方程。其中Rj2為缺少解釋變量xj的回歸方程之決定系數(shù)對應(yīng)的樣本決定系數(shù)分別為：2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第47頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第48頁

在這些決定系數(shù)中選取一個最大者比如說Rj2

，則Rj2與R2的差為最小，這樣解釋變量xj從模型中去掉，對樣本決定系數(shù)的影響不大，由此說明了解釋變量xj對因變量的解釋能力已由其它解釋變量代替了，從而表明xj可能是其它解釋變量的線性組合，因此可以判定解釋變量中包含xj引起了多重共線性。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第48頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第49頁（四）條件指數(shù)

k個自變量（不包含常數(shù)項）的樣本數(shù)據(jù)構(gòu)成一個n×k的矩陣X，若自變量間存在共線性，則稱X為病態(tài)的。為一個k×k的方陣，其特征根由大到小排列，依次快速遞減，存在非常小的特征根（并且有幾個共線關(guān)系，就有幾個很小的特征根）。定義條件數(shù)為：

即最大特征根為最小特征根的倍數(shù)。經(jīng)驗判斷法則是：若K＜100，則認為多重共線性的程度很??；若100≤K≤1000，則認為多重共線性的程度中等或比較嚴重；若K＞1000，則認為多重共線性的程度非常嚴重。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第49頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第50頁

五、消除多重共線性的方法

模型中存在多重共線性，是不是一定不好呢？這要視模型的具體用途而定。如果模型只是用來進行預(yù)測，只要多重樣本決定系數(shù)（R2,）足夠大即可，無需消除多重共線性。但如果模型是用來進行結(jié)構(gòu)分析和政策評價，由于多重共線性影響到每個自變量系數(shù)估計的正確性和有效性，所以應(yīng)設(shè)法消除多重共線性的影響，確保模型的可用性。

2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第50頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第51頁（一）增加樣本觀測值

如果多重共線性是由樣本引起的（例如測量誤差或偶然的樣本），但解釋變量的總體不存在多重共線性，則可以通過收集更多的觀測值增加樣本容量，避免或減弱多重共線性。對于時間序列資料就是增大觀測次數(shù)，對于截面數(shù)據(jù)資料就是增加觀測對象，或者把時間序列資料與截面數(shù)據(jù)資料結(jié)合起來使用。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第51頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第52頁

將增加，r12趨向于總體相關(guān)系數(shù)，是某一個確定的值，從而將會減少，這樣就會提高估計值的精度。從上兩式可以看出，當增大樣本容量時，則注意：當解釋變量總體存在多重共線性時，增加樣本容量也無助于減輕多重共線的程度。

已知：

2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第52頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第53頁（二）刪去不重要的解釋變量

對待嚴重的多重共線性問題，一個最簡單的解決辦法就是刪去那些產(chǎn)生多重共線性、對因變量影響不大且人們認為不重要的解釋變量，使模型中剩下那些對因變量起重要作用的解釋變量，然后對僅包含重要解釋變量的模型應(yīng)用普通最小二乘法。但應(yīng)注意的是，由于把刪去的解釋變量對因變量的影響歸入隨機項中，有可能使隨機項不滿足零均值的假設(shè)，這時所得的參數(shù)估計值可能是有偏的，即產(chǎn)生確定性偏倚。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第53頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第54頁（三）利用“先驗”信息

先驗信息既包括從經(jīng)濟理論也包括從實際統(tǒng)計資料中獲得的解釋變量之間關(guān)系的信息。如果我們研究的回歸模型存在多重共線性，而線性相關(guān)的解釋變量之間的關(guān)系可由事前信息得到。則只要把事前知道的關(guān)系包含進回歸模型中，多重共線性就會消失。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第54頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第55頁例如

C—D生產(chǎn)函數(shù)y=ALβ

Kα

eu其中，y為產(chǎn)出，K為資本，L為勞動力，A，α，β為參數(shù)。將上式轉(zhuǎn)化為對數(shù)形式：lny=lnA+αlnK+βlnL+u因為資金和勞動力之間是高度相關(guān)的，所以lnK和

lnL之間也是高度相關(guān)的，對數(shù)模型存在著多重共線性。

2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第55頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第56頁利用α

+β

=1將對數(shù)模型轉(zhuǎn)化為：式中，y/L為人均產(chǎn)出，K/L為人均資本量。上式即為人均單位產(chǎn)出對人均資本量的一元回歸模型，多元回歸存在的多重共線性就被消除了。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第56頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第57頁又如，消費函數(shù)為：

y為消費支出，x1為收入，x2為財富。

就變?yōu)橐辉貧w模型，多重共線性就消除了。從收入與財富的關(guān)系來看，是高度相關(guān)的。但根據(jù)大量的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可以總結(jié)出：將該關(guān)系式代入，則上式可化為：令：則：2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第57頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第58頁

首先利用橫截面數(shù)據(jù)估計出部分參數(shù)，再利用時序數(shù)據(jù)估計出另外的部分參數(shù)，最后得到整個方程參數(shù)的估計。

例：對于中國家用轎車需求模型（四）橫截面數(shù)據(jù)與時間序列數(shù)據(jù)并用目的是要估計價格彈性和收入彈性。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第58頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第59頁

在時間序列分析中，價格和收入變量一般都有高度共線性的趨勢。托賓提出了解決此問題的一種方法。即如果擁有關(guān)于消費者定點追蹤的橫截面數(shù)據(jù)，如城鎮(zhèn)或農(nóng)村居民住戶調(diào)查數(shù)據(jù)，就可能可靠地估計收入彈性。令收入彈性的橫截面估計為就可以將前述時間序列回歸寫成

其中，。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第59頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第60頁

（五）變量變換

有時通過對模型中變量進行變換能夠?qū)崿F(xiàn)降低共線性的目的。常用的變量變換方式有：使用相對指標將名義數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)換為實際數(shù)據(jù)將小類指標合并成大類指標2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第60頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第61頁（六）變換模型的形式

有時作為解釋變量的某些經(jīng)濟變量之間出現(xiàn)了高度相關(guān)，但當我們的研究目的是為了預(yù)測，并不需要區(qū)分這些相關(guān)的解釋變量單獨對因變量的影響時，我們可以根據(jù)問題的需要對原模型加以變形，使新的模型不再出現(xiàn)多重共線性。

2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第61頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第62頁例如，某產(chǎn)品的銷售量y取決于其出廠價格x1、市場價格x2和市場總供應(yīng)量x3，設(shè)定模型為:

通常x1、x2、x3

是高度相關(guān)的，如果研究的目的主要是為了預(yù)測某廠該產(chǎn)品銷售量，則可以用相對價格x1/x2

代替x1、

x2

對y的影響，采用ln(x1/x2)為解釋變量，建立如下對數(shù)回歸模型:從而克服了x1與x2的相關(guān)性。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第62頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第63頁（七）逐步回歸法

首先計算被解釋變量對每一個解釋變量的回歸方程，這些回歸方程叫做基本回歸方程。對每一個基本回歸方程進行統(tǒng)計檢驗，并根據(jù)經(jīng)濟理論分析這些回歸方程，從中選出最合適的基本回歸方程，然后再逐一增加其它的解釋變量，重新再作回歸。根據(jù)這個新加的解釋變量的邊際貢獻（樣本決定系數(shù)的增加量）和標準差，并考察對每個回歸系數(shù)的影響，作如下的分析判斷：2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第63頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第64頁

第一，如果新加進的解釋變量改進了R2，并且其它回歸系數(shù)在統(tǒng)計上仍是顯著的，那么，就可以認為新加進去的解釋變量是有用的，作為模型中的解釋變量予以保留。

第二，如果加進去的解釋變量未能改進R2，對其它回歸系數(shù)也沒有影響，則不作為解釋變量。

第三、如果新加進的解釋變量不僅改進了R2，并且主要是顯著地影響了回歸系數(shù)的符號或數(shù)值，致使某些回歸系數(shù)達到不能接受的地步，則可斷言產(chǎn)生了嚴重的多重共線性。2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第64頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第65頁六、案例

對表5.4的數(shù)據(jù)，用逐步回歸法篩選解釋變量建立中國電信業(yè)務(wù)總量的計量經(jīng)濟模型。經(jīng)初步分析，認為影響中國電信業(yè)務(wù)總量變化的主要因素是郵政業(yè)務(wù)總量、中國人口數(shù)、市鎮(zhèn)人口占總?cè)丝诘谋戎?、人均GDP、全國居民人均消費水平。

2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第65頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第66頁第二節(jié)虛擬變量虛擬變量含義虛擬變量單獨使用虛擬變量與數(shù)值型變量一起使用虛擬變量表現(xiàn)為多種狀態(tài)2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第66頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第67頁一、虛擬變量含義

不能用數(shù)值表示的現(xiàn)象特征，如企業(yè)的所有制形式、所屬行業(yè)；職工的性別、學(xué)歷、職務(wù)以及戰(zhàn)爭、天災(zāi)、人禍等非數(shù)值變量。在計量經(jīng)濟學(xué)中，我們把這些“變量”叫虛擬變量。

量化虛擬變量的方法是當虛擬變量起作用時賦其值為“1”，不起作用時賦其值為“0”，這樣就可以把表現(xiàn)某種特性的“變量”變?yōu)槟苡脭?shù)值表示的變量了，這樣才可以對模型進行研究。

虛擬變量既可以單獨作為解釋變量使用，也可以與一般變量一起使用；既適用于時間序列資料，也適用于截面資料。

2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第67頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第68頁例：研究性別與收入（yi）的關(guān)系：我們可以定義虛擬變量Di，Di=0時表示女性，Di=1時表示男性，即：二、虛擬變量單獨使用的模型

對于線性回歸模型而言，若假設(shè)H0：β1=0成立，則說明收入與性別將沒有太大關(guān)系；若假設(shè)H0：β1=0不成立，則說明收入與性別有關(guān)。

2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第68頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第69頁例2研究學(xué)歷與收入（yi）的關(guān)系：可以建立如下模型：2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第69頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第70頁

現(xiàn)利用收集的10個樣本點的資料作回歸分析。表5.2為10位人士的學(xué)歷情況與最初參加工作時的起薪。起薪（元）教育（1=大學(xué)，0=非大學(xué)）起薪（元）教育（1=大學(xué)，0=非大學(xué)）2300150014002100250010011170013009001700220001001表5.2起薪與受教育程度數(shù)據(jù)2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第70頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第71頁

由結(jié)果可知，估計值的t檢驗值為2.3，查表易得顯著不為0，說明學(xué)歷對收入有著顯著的影響，即說明受教育水平不同的兩類人群的起薪是不同的。由方程可得，大學(xué)畢業(yè)的起薪均值為2080元，而非大學(xué)畢業(yè)的起薪均值為1440元，前者比后者高出640元.最小二乘估計結(jié)果:2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第71頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第72頁三、虛擬變量與一般變量一起使用的模型假定一般情況下，計量模型為：而虛擬變量為：引入虛擬變量：

1.僅影響截距的情況

(5.39)(5.38)2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第72頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第73頁

模型5.39實際上是兩條截距不同、斜率相同的直線的組合，如圖5.5。這里斜率相同是在模型設(shè)定時隱含的假定。圖5.5模型5.39結(jié)果示意圖2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第73頁2023年8月11日山東財經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計學(xué)院計量經(jīng)濟教研室第74頁2.僅影響斜率的情況模型5.38可改寫為：于是有以下兩種情況：(5.40)2023年8月1日山東財經(jīng)大學(xué)