1.特征值與特征向量的概念與計(jì)算

2.特征值與特征向量的性質(zhì)§5.1矩陣的特征值與特征向量1.特征值與特征向量的概念與計(jì)算§5.1矩陣的特征值1定義5.1.1

設(shè)A是n階復(fù)(實(shí))矩陣,若

為復(fù)(實(shí))數(shù),0是一復(fù)(實(shí))n維向量,使得A

(0

)，則稱

為A的特征值,

為A的屬于

的特征向量.1

只有方陣才有特征值和特征向量;2

特征向量是非零向量.說明：

1.特征值與特征向量的概念與計(jì)算定義5.1.1設(shè)A是n階復(fù)(實(shí))矩陣,若為復(fù)(實(shí))2定義5.1.2

設(shè)A是n階矩陣,

的多項(xiàng)式

I

A

稱為A的特征多項(xiàng)式,并記為fA

I

A

.fA

I

A=0稱為A的特征方程,特征方程的根即為A的特征值.

I

A

稱為A的特征矩陣。定義5.1.2設(shè)A是n階矩陣,的多項(xiàng)式I3求矩陣特征值與特征向量的步驟：求矩陣特征值與特征向量的步驟：4定義對(duì)方程

f

x

0,若有x*使得f

x*

0,則稱x*為方程f

x

0的根或函數(shù)f

x

的零點(diǎn).特別是,如果函數(shù)f

x

能寫成f

x

x

x*

mg

x

且g

x*0,

m

1,則稱x*為f

x

0的m重根,或?yàn)閒

x

0的m重零點(diǎn).一重根

m

1

通常稱為單根.定義對(duì)方程fx0,若有x*使得fx*5例1

設(shè)求A的特征值與特征向量．解

例1設(shè)求A的特征值與特征向量．解6線性代數(shù)特征值一課件7得基礎(chǔ)解系為：得基礎(chǔ)解系為：8例2解例2解9線性代數(shù)特征值一課件10線性代數(shù)特征值一課件11例3

證明：若

是矩陣

A的特征值，

是A的屬于

的特征向量，則

m必為Am的特征值，這里m為正整數(shù).證明例3證明：若是矩陣A的特征值，是A的屬于12

比例3更一般的結(jié)論：

若

是矩陣

A的特征值，

是A的屬于

的特征向量，g

x

=

asxs+as1xs1+…+a1x+a0

為任一多項(xiàng)式，試用特征值定義證明：g

是矩陣多項(xiàng)式g

A

=asAs+as1As1+…+a1A+a0I的特征值，

仍是g

A

的屬于g

的特征向量。比例3更一般的結(jié)論：若是矩陣A的特征值13例4

設(shè)A是n

階方陣，其特征多項(xiàng)式為解說明:但特征向量不一定相同。例4設(shè)A是n階方陣，其特征多項(xiàng)式為解說明:但特14特別地:對(duì)角矩陣它們的特征值均為主對(duì)角元a11,a22,

,ann.

三角形矩陣

特別地:對(duì)角矩陣它們的特征值均為主對(duì)角元a11,a22,15

2.特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1

設(shè)

A

aij

是n階矩陣，則2.特征值與特征向量的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)Aaij16性質(zhì)2

n階矩陣設(shè)

A有且僅有n個(gè)特征值,其中m重特征值以m個(gè)計(jì).性質(zhì)2n階矩陣設(shè)A有且僅有n個(gè)特征值,其中m重特17性質(zhì)3設(shè)

1

,

2

,

,

n為

A的n個(gè)特征值(i未必互異),則

3

A不可逆

A

0

A有零特征值.2

A可逆

A

0

A的特征值均非零;

且若

為可逆矩陣A的特征值,則

1為A1的特征值.且AX

0的基礎(chǔ)解系即為屬于零特征值的線性無關(guān)的特征向量.注:1

可用此性質(zhì)驗(yàn)證所求的特征值是否正確;性質(zhì)3設(shè)1,2,,n為A的n個(gè)特征18線性代數(shù)特征值一課件19定義稱特征子空間V

0的維數(shù)dimV

0為

0的幾何重?cái)?shù).性質(zhì)5設(shè)

0為A的m重特征值,則dimV

0

m.即特征值的幾何重?cái)?shù)不超過其代數(shù)重?cái)?shù).

特別地:m

1時(shí),dimV

0

1.dimV

0

n

r

0I

A

0對(duì)應(yīng)的線性無關(guān)的特征向量的個(gè)數(shù)定義稱特征子空間V0的維數(shù)dimV0為0的幾何重?cái)?shù).20注意特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，一個(gè)特征值具有的特征向量不唯一；但一個(gè)特征向量不能屬于不同的特征值．注意特征向量總是相對(duì)于矩陣的特征值而言的，21

1.矩陣的對(duì)角化§5.2矩陣的對(duì)角化1.矩陣的對(duì)角化§5.2矩陣的對(duì)角化22定義5.2.1

設(shè)A,B為兩個(gè)n階矩陣.若有可逆矩陣P,使得P1AP

B.則稱A與B相似，記作A～B.注：矩陣相似關(guān)系滿足:(1)

反身性:A～A;(2)

對(duì)稱性:若A

～

B則B～A;(3)

傳遞性:若A

～

B,B

～

C,則A

～

C.相似變換矩陣。

1.矩陣的對(duì)角化定義5.2.1設(shè)A,B為兩個(gè)n階矩陣.若有可逆矩陣23

2

A～BA與B均為n階方陣2A～BA與B均為n階方陣24性質(zhì)5.2.1證明定義：如果矩陣A相似于對(duì)角矩陣,就稱A可對(duì)角化.性質(zhì)5.2.1證明定義：如果矩陣A相似于對(duì)角矩陣,就稱A可25P1APdiag1,

2,

,

n

.矩陣P稱為將A對(duì)角化的變換矩陣,P的每一列是A的特征向量,而對(duì)角矩陣的主對(duì)角元恰為A的特征值.

A的n個(gè)線性無關(guān)的特征向量

1,

2,

,

n所組成的矩陣就是變換矩陣P,

但要注意

1,

2,

,

n的排列順序必須與

1,

2,

,

n的排列順序相對(duì)應(yīng).P1APdiag1,2,,n.矩26推論5.2.1如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不相等，則A必可對(duì)角化，反之不一定成立。推論5.2.1如果n階矩陣A的n個(gè)特征值互不27線性代數(shù)特征值一課件28，A能否對(duì)角化？例5

解

若能對(duì)角化，，A能否對(duì)角化？例5解若能對(duì)角29得基礎(chǔ)解系即線性無關(guān)的特征向量為得基礎(chǔ)解系即線性無關(guān)的特征向量為30所以可對(duì)角化。所以可對(duì)角化。31注意即矩陣P的列向量和對(duì)角矩陣中特征值的位置