數(shù)值分析課程教學大綱NumericalAnalysis學時數(shù)：48其中：實訓學時：12課外學時：0學分數(shù)：3適用專業(yè)：信息與計算科學一、課程的性質(zhì)、目的和任務數(shù)值分析課程是溝通數(shù)學與計算機之間聯(lián)系的信息與計算科學專業(yè)的學科基礎(chǔ)課程，是人們利用數(shù)學方法并借助計算機解決實際問題的必經(jīng)之途徑，是信息與計算科學專業(yè)學生的一門專業(yè)必修課程。通過本課程的學習，要使學生獲得有關(guān)近似計算、近似方法的基本思想,掌握線性與非線性方程和方程組數(shù)值求解的基本方法，掌握多項式插值的基本方法，掌握數(shù)值積分的基本方法以及求解常微分方程組的基本方法。通過本課程的學習，為后續(xù)專業(yè)課程的學習、進而了解應用數(shù)學中離散與近似方法的基本思想奠定必要的基礎(chǔ)。本課程的學習采用課堂講授和上機實驗相結(jié)合的方法，使學生在學習掌握理論知識的同時，具備較好的上機實踐能力。二、課程教學的基本要求（一）了解計算機數(shù)值方法的研究對象與特點、數(shù)值方法的基本內(nèi)容、數(shù)值算法及其設(shè)計，理解誤差的基本概念、數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則。（二）熟練掌握解線性方程組的基本方法及其改進思想，如GAUSS列主元素消去法、基本的三角分解法和部分選主元的Doolittle分解；了解特殊類型的線性方程組的求解方法，如平方根法、追趕法。（三）熟練掌握多項式插值的基本方法，如Langrage插值、Newton插值等；了解插值多項式中的誤差；了解改進插值函數(shù)曲線光滑度的插值方法，Hermite插值、三次樣條插值等；掌握最小二乘法的基本概念，了解利用正交多項式作最小二乘擬合的方法。（四）熟練掌握數(shù)值積分的基本方法，如Newton-Cotes公式、復合求積法、Romberg算法；了解Gauss求積法；熟悉數(shù)值微分的插值型求導公式，了解樣條求導公式。（五）基本掌握求解常微分方程組的基本方法，如Euler法及其改進、Runge-Kutta法、Adams法等；了解算法的穩(wěn)定性與收斂性。（六）熟練掌握方程求根的基本方法，如二分法、迭代法、牛頓迭代法、弦截法等；了解計算矩陣特征值的方法，如冪法、反冪法、QR法等；了解迭代法的加速。三、課程的教學內(nèi)容、重點和難點第一章引論一、計算數(shù)值方法的研究對象與特點二、數(shù)值方法的基本內(nèi)容（一）數(shù)值代數(shù)的基本工具與方法1、矩陣化簡的三種基本工具2、直接法與迭代法（二）數(shù)值微積分的工具與方法（三）計算機數(shù)值方法三、數(shù)值算法及其設(shè)計（一）算法設(shè)計（二）算法表達法1、自然語言表達2、圖示法四、誤差分析簡介（一）誤差的基本概念（二）數(shù)值方法的穩(wěn)定性與算法設(shè)計原則1、四則運算中的穩(wěn)定性問題2、提高算法效率問題3、著眼于高質(zhì)量的軟件重點：誤差的基本概念、數(shù)值方法的穩(wěn)定性。難點：浮點基本運算的誤差。第二章解線性方程組的直接法一、直接法與三角形方程組的求解二、GAUSS列主元素消去法（一）主元素的作用（二）帶有行變換的矩陣分解（三）列主元素消去法的算法設(shè)計1、算法表達的流程圖2、算法的自然語言表達3、算法運算量三、直接三角分解法（一）基本的三角分解法（二）部分選主元的Doolittle分解四、平方根法（一）對稱正定矩陣的三角分解（二）平方根法的數(shù)值穩(wěn)定性五、追趕法重點：GAUSS列主元素消去法、直接三角分解法難點：部分選主元的Doolittle分解第三章插值法與最小二乘法一、插值法（一）插值問題（二）插值多項式的存在唯一性（三）插值基函數(shù)及Lagrange插值二、插值多項式中的誤差（一）插值余項（二）高次插值多項式的問題三、分段插值法（一）分段線性Lagrange插值（二）分段線性Lagrange插值四、Newton插值（一）均差（二）Newton插值公式及其余項（三）差分（四）等距節(jié)點的Newton插值公式（五）Newton插值法算法設(shè)計1、說明2、算法3、算例五、Hermite插值（一）兩點三次Hermite插值（二）插值多項式的余項（三）分段兩點三次Hermite插值六、三次樣條插值（一）三次樣條函數(shù)（二）三次樣條插值多項式（三）三次樣條插值多項式算法設(shè)計1、算法2、算例（四）三次樣條插值函數(shù)的收斂性七、數(shù)據(jù)擬合的最小二乘法（一）最小二乘法的基本概念（二）法方程組（三）利用正交多項式作最小二乘擬合重點：基本的插值法及其分段應用，如Lagrange插值、Newton插值等。難點：Newton插值、三次樣條插值、利用正交多項式作最小二乘擬合。第四章數(shù)值積分與微分一、Newton-Cotes公式（一）插值型求積公式及Cotes系數(shù)（二）低階Newton-Cotes公式的余項1、梯形公式的余項2、Simpson公式的余項3、Cotes公式的余項（三）Newton-Cotes公式的穩(wěn)定性二、復合求積法（一）復合求積公式（二）復合求積公式的余項及收斂的階（三）步長的自動選擇（四）復合Simpson求積的算法設(shè)計1、算法2、算例三、Romberg算法（一）復合梯形公式的遞推化（二）外推加速公式（三）Romberg算法設(shè)計1、算法2、算例四、Gauss求積法（一）Gauss點（二）基于Hermite插值的Gauss型求積公式（三）Gauss型求積公式的數(shù)值穩(wěn)定性五、數(shù)值微分（一）插值型求導公式（二）樣條求導公式重點：Romberg算法、插值型求導公式難點：Romberg算法、Gauss求積法、樣條求導公式第五章常微分方程數(shù)值解法一、引言（一）基于數(shù)值微分的求解公式（二）截斷誤差（三）基于數(shù)值積分的求解公式1、梯形公式2、Simpson公式二、Runge-Kutta法（一）Runge-Kutta法（二）四階Runge-Kutta法1、算法2、算例三、線性多步法（一）開型求解公式1、Adams顯式求解公式2、Adams隱式求解公式（二）閉型求解公式四、常微分方程數(shù)值解法的進一步討論（一）常微分方程組與高階常微分方程的數(shù)值解法（二）邊值問題的數(shù)值解法重點：四階Runge-Kutta法難點：四階Runge-Kutta法第六章逐次逼近法一、基本概念（一）向量與矩陣的范數(shù)1、向量范數(shù)2、矩陣范數(shù)（二）誤差分析介紹二、解線性方程組的迭代法（一）簡單迭代法（二）迭代法的收斂性三、非線性方程的迭代解法（一）簡單迭代法（二）Newton迭代法及其變形（三）Newton迭代算法1、算法2、算例（四）多根區(qū)間上的逐次逼近法四、計算矩陣特征值問題（一）求代數(shù)方程根的方法（二）冪法（三）反冪法（四）反冪算法（五）求矩陣特征值的QR法五、迭代法的加速（一）基本迭代法的加速（SOR法及其算法）（二）Aitken加速重點：解線性方程組和非線性方程組的迭代法難點：求矩陣特征值的QR法四、課程各教學環(huán)節(jié)要求本課程共安排48學時，其中課堂講授36學時（包括6學時的習題講解），實訓為12學時，學時分配情況詳見五。五、學時分配教學內(nèi)容各教學環(huán)節(jié)學時分配作業(yè)題量備注章節(jié)主要內(nèi)容講授實驗討論習題課外其它小計一引論30143二解線性方程組的直接法52185三插值法與最小二乘法741125四數(shù)值積分與微分62195五常微分方程數(shù)值解法42174六逐次逼近法52184合計301264826六、課程與其它課程的聯(lián)系《數(shù)值分析》課程是作為數(shù)學理論與計算機應用之間聯(lián)系的一門重要基礎(chǔ)課程，是人們利用數(shù)學方法并借助計算機解決實際問題的必經(jīng)之途徑。由于涉及數(shù)學的基礎(chǔ)理論方法如何在計算機上實現(xiàn)的問題，《數(shù)學分析》、《高等代數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》等數(shù)學基礎(chǔ)理論課程均需作為其前繼課程，以便讓學生為本課程的學習打好基礎(chǔ)。同時，通過本課程的學習，使學生進一步鞏固對數(shù)學理論的掌握和理解，并且具備借助計算機解決實際問題的基本能力，為后續(xù)課程中的軟件應用類課程的學習做好準備。七、教材與教學參考