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第六章二次型第六章二次型1第一節(jié)二次型的定義

及其矩陣表示第一節(jié)二次型的定義

及其矩陣表示2定義1含有n個變量的二次齊次函數(shù)稱為二次型。當(dāng)aij為復(fù)數(shù)時，f稱為復(fù)二次型。當(dāng)aij為實數(shù)時，f稱為實二次型，本章僅討論實二次型。若令則

定義1含有n個變量的二次齊次函數(shù)3即把A稱為二次型（1）對應(yīng)的矩陣，A的秩稱為二次型（1）的秩。即4例1求二次型解例1求二次型5對于二次曲面我們可以通過一個坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)把二次曲面化為標(biāo)準(zhǔn)形從代數(shù)的角度看，化標(biāo)準(zhǔn)形的過程就是通過變量的坐標(biāo)變換化簡一個二次齊次多項式。對于二次曲面6我們下面推廣坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換的概念。定義2設(shè)變量x1，x2，…，xn能用變量y1，y2，…，yn表示為我們下面推廣坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換的概念。7*式稱為從變量y1，y2，…，yn到變量x1,x2，…，xn的線性變換，其中cij為常數(shù)（i，j=1，2，…，n）。矩陣C稱為從變量y1，y2，…，yn到變量x1,x2，…，xn的過渡矩陣。當(dāng)C為正交矩陣時，（*）稱為正交變換，如坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)變換就是正交變換。*式稱為從變量y1，y2，…，yn到變量x1,8對于實二次型如果作正交變換x=Cy,則其中C

AC仍是對稱陣，y

(C

AC)y是

y1，y2，…，yn的一個二次型。對于實二次型9因此我們只要找到正交矩陣C（即C

＝C－1），使得CAC為對角陣，則f就化為只含有y1，y2，…，yn平方項而沒有y1，y2，…，yn交叉相乘的項。稱此y1，

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