多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性ppt課件1一、區(qū)域1.鄰域點集稱為點P0的

鄰域.例如,在平面上,(圓鄰域)在空間中,(球鄰域)說明：若不需要強調(diào)鄰域半徑

,也可寫成點P0的去心鄰域記為一、區(qū)域1.鄰域點集稱為點P0的鄰域.例如,在平2在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域與圓鄰域可以互相包含.在討論實際問題中也常使用方鄰域,平面上的方鄰域為。因為方鄰域32.區(qū)域(1)內(nèi)點、外點、邊界點設有點集

E

及一點

P:

若存在點P的某鄰域U(P)

E,

若存在點P的某鄰域U(P)∩E=,

若對點P的任一鄰域U(P)既含

E中的內(nèi)點也含E則稱P為E的內(nèi)點；則稱P為E的外點

;則稱P為E

的邊界點

.的外點,顯然,E的內(nèi)點必屬于E,

E的外點必不屬于E,E的邊界點可能屬于E,也可能不屬于E.PE2.區(qū)域(1)內(nèi)點、外點、邊界點設有點集E及一點P4(2)聚點若對任意給定的

,點P

的去心鄰域內(nèi)總有E中的點,則稱P是E的聚點.聚點可以屬于E,也可以不屬于E(因為聚點可以為所有聚點所成的點集成為E的導集.E的邊界點)

內(nèi)點一定是聚點；

邊界點可能是聚點；（孤立點是邊界點，但不是聚點）

若點的某一個鄰域內(nèi)除點外其余各點都不屬于E，則稱為點集E的孤立點。(2)聚點若對任意給定的,點P的去心鄰域內(nèi)總有E中5例如邊界上的點都是聚點也都屬于集合．例如(0,0)既是邊界點也是聚點但不屬于集合例如邊界上的點都是聚點也都屬于集合．例如(0,0)既是邊界點6D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域

若點集E的點都是內(nèi)點，則稱E為開集；

若點集E

E

,則稱E為閉集；

若集D中任意兩點都可用一完全屬于D的折線相連,

開區(qū)域連同它的邊界一起稱為閉區(qū)域.則稱D是連通的;

連通的開集稱為開區(qū)域,簡稱區(qū)域;

E的邊界點的全體稱為E的邊界,記作

E;D(3)開區(qū)域及閉區(qū)域若點集E的點都是內(nèi)點，則稱7例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域

例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域8

整個平面

點集是開集，是最大的開域,也是最大的閉域;但非區(qū)域.

對區(qū)域D,若存在正數(shù)K,使一切點P

D與某定點A的距離AP

K,則稱D為有界域,

界域.否則稱為無整個平面點集是開集，是最大的開域,也9（4）n維空間n維空間的記號為說明：

n維空間中兩點間距離公式（4）n維空間n維空間的記號為說明：n維空間中兩點間10

n維空間中鄰域、區(qū)域等概念特殊地當時，便為數(shù)軸、平面、空間兩點間的距離．內(nèi)點、邊界點、區(qū)域、聚點等概念也可定義．鄰域：設兩點為n維空間中鄰域、區(qū)域等概念特殊地當11二、二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．二、二元函數(shù)的定義類似地可定義三元及三元以上函數(shù)．12例1求的定義域．解所求定義域為例1求13（6）二元函數(shù)的圖形（如下頁圖）（6）二元函數(shù)的圖14二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.15多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性ppt課件16例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:例如,圖形如右圖.例如,左圖球面.單值分支:17三、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的極限18說明：（1）定義中的方式是任意的；（2）二元函數(shù)的極限也叫二重極限（3）二元函數(shù)的極限運算法則與一元函數(shù)類似．說明：（1）定義中的方式是任意的19例2求證證當時，原結(jié)論成立．例2求證證當20例3求極限解其中例3求極限解其中21例4證明不存在．證取其值隨k的不同而變化，故極限不存在．例4證明不22確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：23利用點函數(shù)的形式有利用點函數(shù)的形式有24四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義3四、多元函數(shù)的連續(xù)性定義325例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取例5討論函數(shù)在(0,0)處的連續(xù)性．解取26故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當時故函數(shù)在(0,0)處連續(xù).當27例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變化，極限不存在．故函數(shù)在(0,0)處不連續(xù)．例6討論函數(shù)在(0,0)的連續(xù)性．解取其值隨k的不同而變28閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至少取得它的最大值和最小值各一次．在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之間的任何值至少一次．（1）最大值和最小值定理（2）介值定理閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)29多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算和復合步驟所構(gòu)成的可用一個式子所表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的．定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域．多元初等函數(shù)：由多元多項式及基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次的四則運算30例７解例７解31多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（注意趨近方式的任意性）五、小結(jié)多元函數(shù)的定義多元函數(shù)極限的概念多元函數(shù)連續(xù)的概念閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（32思考題思考題33思考題解答不能.例取但是不存在.原因為若取思考題解答不能.例取但是34練習是否存在？解:利用所以極限不存在.練習是否存在？解:利用所以極限不存在.35多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性ppt課件36練習題練習題37多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性ppt課件38多元函數(shù)的基本概念極限和連續(xù)性ppt課件39練習題答案練習題答案40不存在.觀察不存在.觀察41觀察不存在.觀察不存在.42觀察不存在