本節(jié)首先詳細討論相平面上線性系統(tǒng)平衡點的分類,其次描述有界軌道極限集合的結(jié)構(gòu),最后介紹有關(guān)相平面上極限環(huán)的一些基本知識.5.2二維系統(tǒng)的定性分析一、二維常系數(shù)線性系統(tǒng)平衡點的分類考察二維線性系統(tǒng)其中A為二階常實陣,且由此即見(5.2.1)有惟一的

平衡點為討論平衡點附近軌道的性質(zhì)，我們通過相空間坐標(biāo)的線性變換來簡化方程.本節(jié)首先詳細討論相平面上線性系統(tǒng)平衡點的分類,其次描述有界1且設(shè)它們是不相等的實數(shù)，則存在兩個線性無關(guān)的右實特征向量設(shè)矩陣A的兩個特征值為使得將這兩個線性無關(guān)的右實特征向量組成矩陣并記對角陣則可寫成矩陣形式于是可作線性變換于是方程化為即得方程

2方程組在t=0時過點的解為可見正負半軸，正負半軸是四條軌線，還有原點是軌線，除了這特殊的五條軌線外，其他的軌線可以從(5.2.2)中消去變量t得到,軌線的方程為：可見這些軌線都相似于軌線所以在畫軌線(5.2.2)*時，只要畫一條軌線，然后根據(jù)對稱性和相似性可畫出其他軌線.決定,軌線的走向由特征值的正負來決定.注：軌線的形狀由比值方程組在t=0時過點的解為可見正負半軸，正負3以下分幾種情況來討論.情況1:兩特征值為同號但不相等,不妨設(shè)除了特殊的五條軌線（它們是平衡點和四條在原點的切線方向為特征方向的軌線)，其他的軌線是(廣義的)拋物線.除平衡點外,有兩條特殊的軌線,它們在平衡點的切線方向是絕對值較小的特征值對應(yīng)的特征方向,而其它軌線在平衡點的切線方向都與絕對值較大的特征值對應(yīng)的特征方向相同,其鄰域內(nèi)具有這樣性態(tài)軌線的平衡點稱為結(jié)點(node).當(dāng)兩個特征值均為負數(shù)時,上述結(jié)點為漸近穩(wěn)定的.我們稱這樣的結(jié)點為漸近穩(wěn)定.以下分幾種情況來討論.除了特殊的五條軌線（它們是平衡點和四條4情況2.兩特征值異號，不妨設(shè)除了特殊的五根軌道外(它們是平衡點和四條在原點的切線方向為特征方向的軌線)，其他軌道是（廣義的）雙曲線，軌線的分布類似于馬鞍面的等位線,故稱這種平衡點為鞍點(saddlepoint).鞍點是不穩(wěn)定的.一般的非常系數(shù)的二維自治系統(tǒng)的鞍點的定義:若在平衡點的鄰域中有且只有有限條在平衡點相切的軌線.當(dāng)兩個特征值均為正實數(shù)時，上述結(jié)點是不穩(wěn)定的,從而其對應(yīng)的平衡點稱為不穩(wěn)定結(jié)點.情況2.兩特征值異號，不妨設(shè)除了特殊的五根軌道外(它5這種在平衡點的任意方向都有軌線在平衡點相切,這種平衡點稱為奇結(jié)點,也稱為星形結(jié)點.時為漸近穩(wěn)定奇結(jié)點,時為不穩(wěn)定奇結(jié)點.情況4.這時任何方向都是特征方向,除了平衡點外,其他的軌道為從平衡點出發(fā),方向為任意的(不包括平衡點)的射線這時只有一個特征方向但存在廣義實特征向量串使得則有其中這種在平衡點的任意方向都有軌線在平衡點相切,這種平衡點稱為6于是可作線性變換方程化為即得方程(5.2.1)變成其解為除了三條特殊的軌道（原點和正負半軸）外，消去(5.2.3)中的t,得其他的軌線方程:于是可作線性變換方程化為即得方程(5.2.1)變成7情況5.我們可以選取其中的一個特征值使得可以選取其中的一個特征值使得除了平衡點外,在平衡點的鄰域所有軌線在平衡點處的切線方向都相等(在此為軸方向,對于原方程,這方向就是特征方向),具有這種性質(zhì)的平衡點稱為退化結(jié)點,平衡點為漸近穩(wěn)定的退化結(jié)點.平衡點是不穩(wěn)定的退化結(jié)點.情況5.我們可以選取其中的一個特征值使得可以選取其8設(shè)對應(yīng)的特征向量為其中必都為非零實向量，于是令其實部與虛部分別相等，得下面證明是線性無關(guān)的:證:反證法,若不然,則存在非零實常數(shù)c使于是得矛盾因為等式左邊是實向量，而等式右邊是虛向量),證畢.設(shè)對應(yīng)的特征向量為其中9因此T是非奇異的矩陣.于是可作線性變換方程化為即得標(biāo)準的實方程即利用極坐標(biāo)變換,即令代入(5.2.4)得由此即得(5.2.4)的極坐標(biāo)形式通解因此T是非奇異的矩陣.于是可作線性變換方程化為即得標(biāo)準10消去變量t,得軌道方程:這種當(dāng)t趨向正無窮大或負無窮大時,平衡點的鄰域中的軌道盤旋地趨于平衡點,這樣的平衡點稱為焦點(focus).平衡點稱為漸近穩(wěn)定焦點;平衡點稱為不穩(wěn)定焦點.由(5.2.5)即見r為常數(shù),從(5.2.5)即可看出,除平衡點外,當(dāng)時,(5.2.4)的軌道是對數(shù)螺旋線,從(5.24)*可見,當(dāng)時順時針盤旋,當(dāng)時逆時針盤旋.隨著t增大，軌道上的點盤旋地遠離平衡點,隨著t增大，軌道盤旋地趨于平衡點.消去變量t,得軌道方程:這種當(dāng)t趨向正無窮大或負11綜上所述,可得如下定理：定理5.2.1如果二維常系數(shù)實線性系統(tǒng)(5.2.1)的系數(shù)矩陣是非奇異的,則系統(tǒng)的平衡點將根據(jù)特征方程的根的性質(zhì)而分別具有下列的不同特性：因此軌線是以平衡點為中心的閉軌(在此是圓,對于原方程而言一般是橢圓).這種在平衡點的鄰域充滿閉軌的平衡點稱為中心(centre).中心是穩(wěn)定的但不是漸近穩(wěn)定的.為實根,則當(dāng)時平衡點為結(jié)點,且當(dāng)時結(jié)點是漸近穩(wěn)定的,當(dāng)時,平衡點為不穩(wěn)定的;平衡點為鞍點,鞍點是不穩(wěn)定的.(i)如果特征值綜上所述,可得如下定理：因此軌線是以平衡點為中心的閉軌(12(ii)如果特征值為重根,則當(dāng)矩陣A不是數(shù)量矩陣時平衡點為退化結(jié)點,不然,平衡點為奇結(jié)點.這兩類結(jié)點均為漸近穩(wěn)定的;平衡點不穩(wěn)定.例5.2.1判定系統(tǒng)x'=x+2y,y'=-2x+5y平衡點類型和穩(wěn)定性.解特征方程有二重根而系數(shù)矩陣不是數(shù)量矩陣,因此平衡點為不穩(wěn)定退化結(jié)點.當(dāng)時平衡點為焦點,且當(dāng)時此焦點是漸近穩(wěn)定的,而時,平衡點是不穩(wěn)定的;時,平衡點為中心,平衡點是穩(wěn)定的但不是漸近穩(wěn)定的.(iii)如果特征值為共軛虛根,即當(dāng)(ii)如果特征值為重根,則當(dāng)矩陣A不是數(shù)量矩陣時13二、二維系統(tǒng)軌道極限集合的結(jié)構(gòu)和極限環(huán)本身就是一條閉軌,或者它的有界,且不含有平衡點,則是一條閉軌L,且當(dāng)盤旋逼近于L.定理5.2.2(Poincar\'e-Bendixson)若二維系統(tǒng)(5.2.6)的軌道其中P,Q在相平面上連續(xù)可微,從而保證(5.2.6)的解由初值所惟一確定.假設(shè)(5.2.6)所有的軌道構(gòu)成一個動力系統(tǒng).則其的結(jié)構(gòu)是怎樣？討論二維定常系統(tǒng)二、二維系統(tǒng)軌道極限集合的結(jié)構(gòu)和極限環(huán)14最多只包含有限個平衡點;則下列三種情形之一成立：定理5.2.3若二維系統(tǒng)(5.2.6)的非閉軌道有界,且由惟一的一個平衡點q組成;當(dāng)趨于q;由一條閉軌L構(gòu)成;當(dāng)盤旋地逼近于L;是由有限個平衡點和一些極限軌道構(gòu)成,當(dāng)這些極限軌道都各自分別趨于這些平衡點當(dāng)中之一.(ii)(iii)(i)的內(nèi)域G內(nèi),都至少含有一個平衡點.定理(Bendixson)5.2.4二維系統(tǒng)在任何一個閉軌-極限集或-極限集，則稱這個閉軌為極限環(huán).定義:若一個閉軌是另一軌道的最多只包含有限個平衡點;則下列三種情形之一成立：定理5.215的鄰域的軌道分布和走向，有如下幾種情況：關(guān)于二維系統(tǒng)的閉軌時，盤旋趨向閉軌的某一內(nèi)側(cè)環(huán)形鄰域內(nèi)的軌道都是非閉軌，且都以為它們的公共(b)內(nèi)穩(wěn)定環(huán)從閉軌極限軌道,即的某一外側(cè)環(huán)形鄰域軌道的軌道都是非閉軌，且都以(c)外不穩(wěn)定環(huán)從閉軌為它們的公共極限軌道,即時，盤旋趨向閉軌.的某一外側(cè)環(huán)形鄰域內(nèi)的軌道都是非閉軌，且都以時，盤旋趨向閉軌為它們的公共極限軌道,即(a)外穩(wěn)定環(huán)從閉軌

16我們稱內(nèi)外都穩(wěn)定的環(huán)為穩(wěn)定的極限環(huán)，稱內(nèi)外都不穩(wěn)定的環(huán)為不穩(wěn)定的極限環(huán)，稱一側(cè)穩(wěn)定另一側(cè)不穩(wěn)定的環(huán)稱為半穩(wěn)定極限環(huán).的某一內(nèi)側(cè)環(huán)形鄰域軌道的軌道都是非閉軌，且都以(d)內(nèi)不穩(wěn)定環(huán)從閉軌為它們的公共極限軌道,即時，盤旋趨向閉軌(e)外周期環(huán)閉軌有某一外側(cè)環(huán)形鄰域為閉軌所充滿.有某一內(nèi)側(cè)環(huán)形鄰域為閉軌所充滿.的任意小外側(cè)環(huán)形鄰域內(nèi)既有閉軌也有非閉的軌道.(f)內(nèi)周期環(huán)閉軌(g)外復(fù)合環(huán)在(g)內(nèi)復(fù)合環(huán)在的任意小內(nèi)側(cè)環(huán)形鄰域內(nèi)既有閉軌也有非閉的軌道.我們稱內(nèi)外都穩(wěn)定的環(huán)為穩(wěn)定的極限環(huán)，稱內(nèi)外都不穩(wěn)定的環(huán)為不穩(wěn)17代入(5.2.7)得極坐標(biāo)下的微分方程：它有解在原坐標(biāo)下是一個最小正周期為的周期解.對應(yīng)的軌道是閉軌，是圓心在原點的單位圓解為了研究這個系統(tǒng)極限環(huán)的存在性,考慮相空間的直角坐標(biāo)(x,y)到極坐標(biāo)的坐標(biāo)變換:

例5.2.2給定二維系統(tǒng)試討論其極限環(huán)的存在性,若存在找出它并且確定其穩(wěn)定性.代入(5.2.7)得極坐標(biāo)下的微分方程：它有解在原坐標(biāo)下是一18現(xiàn)在可以證明這個閉軌是方程惟一的閉軌.反證法:若有另一個閉軌,由于不同的軌道不相交,這個閉軌只可能有三種情況.1.在圓r=1外，但不包圍圓r=1;2.在圓r=1外，包圍圓r=1;3.在圓r=1內(nèi).首先，第一種情況是不可能的，因為根據(jù)定理5.2.4，這閉軌將包圍一平衡點，這與方程只有一個平衡點矛盾.因此第二種情況也是不可能的.再看第二種情況，這時在r=1外的閉軌r>1,從方程看到在這閉軌上r'<0,因此我們?nèi)绻刂]軌的一周求積分得如下矛盾.現(xiàn)在可以證明這個閉軌是方程惟一的閉軌.首先，第一種情況是不19在第三種情況的閉軌上r'>0，同理可證不存在其他閉軌.因此，本例的系統(tǒng)存在惟一的閉軌r=1,是極限環(huán).而且從環(huán)r=1的內(nèi)外側(cè)r'的正負性可知r=1是不穩(wěn)定的極限環(huán).對于一般的二維非線性系統(tǒng)，并不是總可以用極坐標(biāo)變換來求出極限環(huán)的，因此下面介紹一個判斷極限環(huán)的存在性定理所圍成的閉環(huán)域D它滿足如下條件：定理5.2.5(Poincar\'e-Bendixson環(huán)域定理)對于系統(tǒng)(5.2.6),若在區(qū)域G內(nèi)存在由兩條簡單閉曲線在第三種情況的閉軌上r'>0，同理可證不存在其他閉軌.對20在(i)的內(nèi)域;和外邊界相交的軌道都在t增加(減小)時從D的外部進入它的內(nèi)部;則在D內(nèi)至少存在一個外側(cè)穩(wěn)定（不穩(wěn)定）環(huán)和一個內(nèi)側(cè)穩(wěn)定(不穩(wěn)定)環(huán)(這兩個環(huán)可能都是極限環(huán)，也可能重合成一個穩(wěn)定(不穩(wěn)定)極限環(huán)),它(們)包圍