高等數(shù)學(xué)第十八講1高等數(shù)學(xué)第十八講1習(xí)題課一、重積分計(jì)算的基本方法二、重積分計(jì)算的基本技巧三、重積分的應(yīng)用第十章重積分的計(jì)算及應(yīng)用2習(xí)題課一、重積分計(jì)算的基本方法二、重積分計(jì)算的基本技巧一、重積分計(jì)算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐標(biāo)面(線(xiàn))圍成;被積函數(shù)用此坐標(biāo)表示簡(jiǎn)潔或變量分離.2.選擇易計(jì)算的積分序積分域分塊要少,累次積分易算為妙.圖示法列不等式法(從內(nèi)到外:面、線(xiàn)、點(diǎn))3.掌握確定積分限的方法——累次積分法3一、重積分計(jì)算的基本方法1.選擇合適的坐標(biāo)系使積分域多為坐二、重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對(duì)稱(chēng)性1.交換積分順序的方法2.利用對(duì)稱(chēng)性或質(zhì)心公式簡(jiǎn)化計(jì)算3.消去被積函數(shù)絕對(duì)值符號(hào)練習(xí)題4.利用重積分換元公式P1811(總習(xí)題十);P1824,7(2),9解答提示:(接下頁(yè))4二、重積分計(jì)算的基本技巧分塊積分法利用對(duì)稱(chēng)性1.交換積分順1、二重積分的定義定義:將區(qū)域D

任意分成n個(gè)小區(qū)域任取一點(diǎn)若存在一個(gè)常數(shù)I,使可積,在D上的二重積分.記作是定義在有界區(qū)域D上的有界函數(shù),２、二重積分的幾何意義當(dāng)被積函數(shù)大于零時(shí)，當(dāng)被積函數(shù)小于零時(shí)，二重積分是柱體的體積．二重積分是柱體的體積的負(fù)值．51、二重積分的定義定義:將區(qū)域D任意分成n個(gè)小區(qū)域任性質(zhì)１為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２３、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性性質(zhì)４為D的面積若性質(zhì)５若在D上，6性質(zhì)１為常數(shù)時(shí)，性質(zhì)２３、二重積分的性質(zhì)性質(zhì)３對(duì)區(qū)域具有可加性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）7性質(zhì)６性質(zhì)７（二重積分中值定理）7特別：輪換對(duì)稱(chēng)：

若D關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則.例如計(jì)算：8特別：輪換對(duì)稱(chēng)：若D關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則.例如計(jì)算：8４、二重積分的計(jì)算［X－型］

X-型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于y軸（１）直角坐標(biāo)系下

Y型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域且平行于x軸的直線(xiàn)［Y－型］的直線(xiàn)與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).與區(qū)域邊界相交不多于兩個(gè)交點(diǎn).9４、二重積分的計(jì)算［X－型］X-型區(qū)域的特點(diǎn)：穿過(guò)區(qū)域（２）極坐標(biāo)系下10（２）極坐標(biāo)系下10兩個(gè)方面。1．若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，時(shí)，當(dāng)時(shí)，運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性時(shí)，當(dāng)則有必須兼顧被積函數(shù)與積分區(qū)域兩個(gè)方面的對(duì)稱(chēng)性要相匹配，才能利用對(duì)11兩個(gè)方面。1．若關(guān)于軸對(duì)稱(chēng)，時(shí)，當(dāng)6、重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面積為(2)曲面面積126、重積分的應(yīng)用(1)體積設(shè)S曲面的方程為：曲面S的面(3)質(zhì)心若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D的面積)得D的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度13(3)質(zhì)心若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.(4)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量14如果物體是平面薄片,面密度為則轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的表達(dá)式是二重積分.((4)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量15(4)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量15例1計(jì)算積分其中D由所圍成.提示:如圖所示連續(xù),所以16例1計(jì)算積分其中D由所圍成.提示:如圖所示連續(xù),所以16解例2.17解例2.17解例3.18解例3.18例4.計(jì)算其中解:對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù),通常分區(qū)域積分原式=利用極坐標(biāo)19例4.計(jì)算其中解:對(duì)于含有絕對(duì)值的函數(shù),通常分區(qū)域例5.

計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直線(xiàn)解:(1)

利用對(duì)稱(chēng)性.圍成.20例5.計(jì)算二重積分其中:(1)D為圓域(2)D由直(2)

積分域如圖:將D分為添加輔助線(xiàn)利用對(duì)稱(chēng)性,得例5.

計(jì)算二重積分其中:(2)D由直線(xiàn)圍成.21(2)積分域如圖:將D分為添加輔助線(xiàn)利用對(duì)稱(chēng)性,得例(2)提示:兩部分說(shuō)明:若不用對(duì)稱(chēng)性,需分塊積分以去掉絕對(duì)值符號(hào).作輔助線(xiàn)將D分成在第一象限部分.其中D為圓域22(2)提示:兩部分說(shuō)明:若不用對(duì)稱(chēng)性,需分塊積分以解：例6計(jì)算用極坐標(biāo)計(jì)算。對(duì)稱(chēng)。如圖D是關(guān)于直線(xiàn)23解：例6計(jì)算用極坐標(biāo)計(jì)算。對(duì)稱(chēng)。如圖D是關(guān)于直線(xiàn)2例7.

計(jì)算積分解:原式24例7.計(jì)算積分解:原式24例8計(jì)算，其中解：25例8計(jì)算，其中解：256、三重積分的定義定義.

設(shè)存在,稱(chēng)為體積元素,

若對(duì)作任意分割:任意取點(diǎn)則稱(chēng)此極限為函數(shù)在上的三重積分.在直角坐標(biāo)系下常寫(xiě)作下列“乘積和式”極限記作266、三重積分的定義定義.設(shè)存在,稱(chēng)為體積元素,若對(duì)7、三重積分的幾何意義8、三重積分的性質(zhì)類(lèi)似于二重積分的性質(zhì)．277、三重積分的幾何意義8、三重積分的性質(zhì)類(lèi)似于二重積分的性質(zhì)投影法方法1.三次積分法設(shè)區(qū)域9、三重積分的計(jì)算28投影法方法1.三次積分法設(shè)區(qū)域9、三重積分的計(jì)算28方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱形薄片質(zhì)量為該物體的質(zhì)量為記作29方法2.截面法(“先二后一”)為底,dz為高的柱(２)柱面坐標(biāo)(３)球面坐標(biāo)30(２)柱面坐標(biāo)(３)球面坐標(biāo)30例如計(jì)算：設(shè)輪換對(duì)稱(chēng)：31例如計(jì)算：設(shè)輪換對(duì)稱(chēng)：315)已知?jiǎng)t提示:其形心為其體積為325)已知?jiǎng)t提示:其形心為其體積為326)設(shè)在柱坐標(biāo)系下,有則提示:336)設(shè)在柱坐標(biāo)系下,有則提示:33例1：計(jì)算解由輪換對(duì)稱(chēng)有設(shè)34例1：計(jì)算解由輪換對(duì)稱(chēng)有設(shè)34

解例2被積函數(shù)僅為z的函數(shù)，截面為圓域：故采用“先二后一”的方法。35解例2被積函數(shù)僅為z的函數(shù)，截面為圓域：故采用“先二后一”例3.

計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,36例3.計(jì)算其中D由所圍成.解:令(如圖所示)顯然,36三、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域),體積,形心質(zhì)量,轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,質(zhì)心,引力證明某些結(jié)論等2.物理方面3.其它方面37三、重積分的應(yīng)用1.幾何方面面積(平面域或曲面域)例3.計(jì)算其中是曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面面所圍的立體。解：繞軸旋轉(zhuǎn)得

由旋轉(zhuǎn)面方程為所圍成的立體如圖.與兩平38例3.計(jì)算其中是曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面面所圍的立體。解：解法1.用“先二后一”計(jì)算例4.計(jì)算其中是曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)一周而成的曲面面所圍的立體。與兩平旋轉(zhuǎn)面方程為39解法1.用“先二后一”計(jì)算例4.計(jì)算其中是曲線(xiàn)繞軸旋轉(zhuǎn)所圍成立體的投影區(qū)域如圖，解法2.(用柱坐標(biāo)計(jì)算)旋轉(zhuǎn)面方程為40所圍成立體的投影區(qū)域如圖，解法2.(用柱坐標(biāo)計(jì)算)旋轉(zhuǎn)面旋轉(zhuǎn)面方程為41旋轉(zhuǎn)面方程為41或旋轉(zhuǎn)面方程為42或旋轉(zhuǎn)面方程為427(1).計(jì)算積分其中是兩個(gè)球(R>0)的公共部分.提示:由于被積函數(shù)缺x,y,原式=利用“先二后一”計(jì)算方便.P124437(1).計(jì)算積分其中是兩個(gè)球(R>0)的公7(3).計(jì)算三重積分其中是由

xoy平面上曲線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域.提示:繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面P183原式＝447(3).計(jì)算三重積分其中是由xoy平面上曲線(xiàn)所圍成7(3).計(jì)算三重積分其中是由

xoy平面上曲線(xiàn)所圍成的閉區(qū)域.提示:原式繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面與平面P183利用柱坐標(biāo)457(3).計(jì)算三重積分其中是由xoy平面上曲線(xiàn)所圍成證明:提示:左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.P1824.46證明:提示:左端積分區(qū)域如圖,交換積分順序即可證得.P18(2)質(zhì)心若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片,(A為D的面積)得D的形心坐標(biāo):則它的質(zhì)心坐標(biāo)為其面密度47(2)質(zhì)心若物體為占有xoy面上區(qū)域D的平面薄片例1.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個(gè)一邊與直徑等長(zhǎng)的同樣材料的均勻矩形薄片,矩形薄片的另一邊長(zhǎng)度應(yīng)為多少?提示:建立坐標(biāo)系如圖.由對(duì)稱(chēng)性知由此解得問(wèn)接上去的均勻即有使整個(gè)薄片的形心恰好落在圓心上,48例1.在均勻的半徑為R的圓形薄片的直徑上,要接上一個(gè)例2.在半徑為體質(zhì)心位于球心上，該圓柱體的高應(yīng)為多少？，以大圓為xoy平面，球心在原點(diǎn)，，故在球面坐標(biāo)系中解得。的均勻半球體的大圓上接一個(gè)半徑與球的半徑相等材料相同的均勻圓柱體，使拼接后的立解：設(shè)高為密度為49例2.在半徑為體質(zhì)心位于球心上，該圓柱體的高應(yīng)為多少？，以例3.計(jì)算二重積分解:其中利用對(duì)稱(chēng)性分區(qū)域D為(如圖),則用形心公式50例3.計(jì)算二重積分解:其中利用對(duì)稱(chēng)性分區(qū)域D為(如圖)例4設(shè)積分域D是以原點(diǎn)為中心,半徑為r的圓域