2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷

注意事項：

1.答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號碼填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。

2.答題時請按要求用筆。

3.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。

4.作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。

5.保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1.已知幕函數(shù)y=f(x)的圖象過點(3,6),則〃4)的值為()

A.-2B.1

C.2D.4

2.函數(shù)y=^+1-1(?>0,#1)恒過的定點是()

A.(1,-1)B.(0,0)

C.(0,-1)D.(-1,0)

3.一幾何體的直觀圖如右圖，下列給出的四個俯視圖中正確的是()

4.已知等邊AABC兩個頂點A(0,0),5(4,0),且第三個頂點在第四象限，則3c邊所在的直線方程是

A?y=一石尤B.y=-6(x-4)

C.y=A/3(X-4)D.y=A/3(X+4)

5.已知塞函數(shù)y=的圖像過點2,當(dāng)，則下列關(guān)于〃x)說法正確的是()

I2>

A.奇函數(shù)B.偶函數(shù)

C.定義域為[0,+8)D.在(0,+/)單調(diào)遞減

6.已知/(g無一l]=2x+3,若/(f)=5,貝打=()

7.有一組實驗數(shù)據(jù)如下表所示:

t1.93.04.0516.1

V1.54.07.512.018.0

現(xiàn)準(zhǔn)備用下列函數(shù)中的一個近似地表示這些數(shù)據(jù)滿足的規(guī)律，其中最接近的一個是()

A.v=2^—2

C.v=log051D.v=log3f

&二喀1的定義域為()

A.(—l,+°o)B.[—l,+0o)

c.(-l,l)U(L+8)D.[-I,l)51,行)

9.已知函數(shù)/(x)=Asin(a)x+0)(A>O,69>O,[d<7i)的部分圖象如圖所示，則函數(shù)g(x)=Acos"x+。)圖象的一

個對稱中心可能為。

10.下列四個式子中是恒等式的是()

A.sin(a+〃)=sina+sin/?B.cos(a+尸)=cosccos尸+sinasin/?

/小tana-tanB

C.tan(a—J3)=------------D.sin(a+4)sin(a—尸)=sin2a-sin?尸

1—tanatan0

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11.不等式■?+8丁2；［)'(》+田對于任意的*,yGR恒成立，則實數(shù)上的取值范圍為

log(x+l),x>0

12.已知函數(shù)/)=<92c八若函數(shù)慮)=/)一〃1有3個零點，則實數(shù)/〃的取值范圍是_________.

—X—2x,x<()

13.將函數(shù)、的圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的■倍，再向右平移單位，所得到的函數(shù)

in(2x+》三

解析式是.

14.已知函數(shù)/(x)=ge2"+。的圖上存在一點p,函數(shù)g(x)=lnx的圖象上存在一點Q,恰好使P、。兩點關(guān)于直

線>=%對稱，則滿足上述要求的實數(shù)a的取值范圍是

15.已知水平放置的按"斜二測畫法”得到如圖所示的直觀圖，其中BO=CG=2,z■夕4。=90。，則原44%的

面積為______

16.下列說法中，所有正確說法的序號是

①終邊落在)'軸上角的集合是1a|a=殍/ezj；

②函數(shù)y=2cos圖象一個對稱中心是［-^,0J；

③函數(shù)y=lanx在第一象限是增函數(shù)；

④為了得到函數(shù)＞=sin(2x-的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移瑩個單位長度

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.已知圓0:一+丁=2,直線/:y=Ax-2.

7T

(1)若直線/與圓。交于不同的兩點AB,當(dāng)NAOB=一時，求攵的值.

2

(2)若左=’,尸是直線/上的動點，過P作圓。的兩條切線PC,PD,切點為C,。，探究：直線CD是否過定點;

2

(3)若為圓0:*2+丁=2的兩條相互垂直的弦，垂足為Ml,乎，求四邊形FGFH的面積的最大值.

18.已知集合4={目〃<%<“+3},B={x[x<-1或x>5}

(1)若403=0,求a取值范圍；

(2)若Ap|B=A,求a的取值范圍

19.如圖在三棱錐P-A3C中，O,E,E分別為棱PC,AC,A3的中點，已知PA，AC,PA=6,8C=8,0尸=5.

求證：(1)直線24//平面。跖；

(2)平面BOE_L平面ABC.

20.一片森林原來的面積為a,計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當(dāng)砍伐到面積的一半時，所用

16

時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的工，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的注.

42

(1)求每年砍伐面積的百分比;

(2)到今年為止，該森林已砍伐了多少年?

(3)今后最多還能砍伐多少年？

21.已知尸(4,3)為角a終邊上的一點

(1)求sina的值

(2)求sinja十二的值

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的

1、C

【解析】設(shè)出募函數(shù)的解析式，利用給定點求出解析式即可計算作答.

L1I

【詳解】依題意，設(shè)/(x)=6,則有/(3)=3。=6，解得a=5,于得〃幻=/,

所以"4)=2.

故選：C

2、D

【解析】由。o=l(a>0,awl),可得當(dāng)x+l=0時，可求得函數(shù)7=。川-1(a>0,〃彳1)所過定點.

【詳解】因為a°=l(a>0,axl),

所以當(dāng)x+l=0時有，a°=l,

即當(dāng)尤=—1時，?-|+1=a°=l,

1+1

則當(dāng)x=—l時，a--l=a0-l=O,

所以當(dāng)x=—l時，恒有函數(shù)值y=。.

所以函數(shù)。=爐+」1(a>0,a,l)恒過的定點(TO).

故選：D

【點睛】本題考查指數(shù)函數(shù)的圖像性質(zhì)，函數(shù)圖像過定點，還可以由圖像間的平移關(guān)系得到答案，屬于基礎(chǔ)題.

3、B

【解析】通過幾何體結(jié)合三視圖的畫圖方法，判斷選項即可

【詳解】解：幾何體的俯視圖，輪廓是矩形，幾何體的上部的棱都是可見線段，所以C、。不正確；幾何體的上部的

棱與正視圖方向垂直，所以A不正確，

故選3

【點睛】本題考查三視圖的畫法，幾何體的結(jié)構(gòu)特征是解題的關(guān)鍵

4、C

【解析】如圖所示，直線額傾斜角為故斜率為右，由點斜式得直線方程為y=V3(x-4).

5、D

【解析】

設(shè)出幕函數(shù)的解析式，將所過點坐標(biāo)代入，即可求出該函數(shù).再根據(jù)幕函數(shù)的性質(zhì)的結(jié)論，選出正確選項.

(向

【詳解】設(shè)幕函數(shù)為了(司=y。€凡因為函數(shù)過點2,3,

61I

所以2&=在=23，則。=一一，

22

所以/(%)=x^)

該函數(shù)定義域為(0,+8),則其既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，

且由一_1<0可知，該幕函數(shù)在(0,+8)單調(diào)遞減.

2

故選：D.

6、C

【解析】設(shè)gx—l=f,求出/⑴，再由/(。=5求出九

1（1A

【詳解】設(shè)1=，，因為/|萬8-1=2x+3

212J

所以/■⑴=4f+7,

又/（。=5,所以4r+7=5,

所以r=-工

2

故選：C.

7、B

【解析】先畫出實驗數(shù)據(jù)的散點圖，結(jié)合各選項中的函數(shù)特征可得的選項.

【詳解】實驗數(shù)據(jù)的散點圖如圖所示：

斗

18?

17

16

15

14

13

121?

0

9

8

7

6

5

4

3

2

1

0123456*

4個選項中的函數(shù)，只有B符合，

故選：B.

8、C

【解析】由對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及分式的性質(zhì)解不等式即可得解.

x+1>0

【詳解】由題意得,八，解得XG（-

x-1^0

所以二號字）的定義域為（T』）U（l,+8）.

故選：C.

【點睛】本題考查了具體函數(shù)定義域的求解，屬于基礎(chǔ)題.

9、C

【解析】先根據(jù)圖象求出得到g(x)=Acos(ex+⑷的解析式，再根據(jù)整體代換法求出其對稱中心，賦值即

可得出答案

【詳解】由圖可知，A=26，3=6—(—2),

:.T=16=—=>?=^,/(尤)=265山(?%+0］

33(兀3、

當(dāng)尤=6時，-7r-^(p=0,(p=--7r9即/(1)=譏

g(x)=2Gcos［-《7rx+/)=26cos(［萬工一］)

3Tc7i54

令一乃x----=——卜k兀，解得x=—+—

48263

當(dāng)左=-1時，可得函數(shù)g(x)=Acos"x+0)圖象的一個對稱中心為一；，。］

故選：C.

【點睛】本題主要通過已知三角函數(shù)的圖像求解析式考查三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.利用利用圖象先求出周期，用

周期公式求出0,利用特殊點求出。，正確求④。是解題的關(guān)鍵.求解析式時，求參數(shù)*是確定函數(shù)解析式的關(guān)鍵，

由特殊點求。時，一定要分清特殊點是“五點法”的第幾個點，用五點法求e值時，往往以尋找“五點法”中的第一

個點為突破口，“第一點”(即圖象上升時與x軸的交點)時的+。=0；“第二點”(即圖象的“峰點”)時

71

cox+(p=-.“第三點”(即圖象下降時與X軸的交點)時5+0=萬；“第四點”(即圖象的“谷點”)時

3乃

CDX^Cp--“第五點”時8+0=2萬.

10、D

【解析】sin(a+夕)=sinacos/+cosasin4，故A錯誤

cos(cr+yff)=cosacos/3-sinasinP,故8錯誤

/小tana-tanS

tan(a-J3)=------------,故。錯誤

1+tanatan0

故選。

二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。

11、-8<2<4

【解析】根據(jù)給定條件將命題轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的一元二次不等式恒成立，再利用關(guān)于y的不等式恒成立即可計算作答.

【詳解】因為丁+8),2"(x+y)對于任意的X,yCR恒成立，

于是得關(guān)于X的一元二次不等式x2-Ayx+(S-A)y2>0對于任意的x,yGR恒成立，

因此，A=22/+4(2-8)/=/(A2+42-32)<0對于任意的yeR恒成立，

故有(4+8)(4-4)40,解得—8W4W4,

所以實數(shù)A的取值范圍為-8WXW4.

故答案為：—8WXW4

12、(0,1)

【解析】將方程的零點問題轉(zhuǎn)化成函數(shù)的交點問題，作出函數(shù)的圖象得到，”的范圍

【詳解】令g(x)=f(x)-m=0,

得m=f(x)

作出y=/(x)與>=，〃的圖象，

要使函數(shù)g(x)=f(x)有3個零點，

則y=/(x)與)="，的圖象有3個不同的交點，

所以O(shè)VwzVl,

故答案為(0,1)

【點睛】本題考查等價轉(zhuǎn)化的能力、利用數(shù)形結(jié)合思想解題的思想方法是重點，要重視

13、f{x}=sinx

【解析】利用三角函數(shù)圖象的平移和伸縮變換即可得正確答案.

【詳解】函數(shù)_的圖象上各點的縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍,

y=sin(2%+7)

得到.

y=sin(x+

再向右平移個單位，得到,、，

-y=sm--+-j=sinx

故最終所得到的函數(shù)解析式為：

故答案為：f(x)=sinx。

14sa<—

2

【解析】函數(shù)g(x)=/〃x的反函數(shù)為y=e',

若函數(shù)/U)的圖象上存在一點尸，函數(shù)g(x)=/〃x的圖象上存在一點。，恰好使產(chǎn)、。兩點關(guān)于直線y=x對稱，則函數(shù)

g(x)=lnx的反函數(shù)圖象與./U)圖象有交點，

即,e2x+a=e，在xe/?上有解，a=ev--e2v=--(ev-lV+-,

222V72

x

Ae>0,

1

；-■-(e'—1)H—<一，即.

2V7222

三、

15、8

【解析】根據(jù)“斜二測畫法”原理還原出△A3C,利用邊長對應(yīng)關(guān)系計算原△A3C的面積即可

詳解】根據(jù)“斜二測畫法”原理，還原出△ABC,如圖所示；

由B'O'=C'O'=2,N5/'C=90°,

：.O'A'=-B'C'=2,

2

...原△A5C的面積為S=L5CXQ4=2X4X4=8

22

故答案為8

【點睛】本題考查了斜二測畫法中原圖和直觀圖面積的計算問題，是基礎(chǔ)題

16、@@

【解析】當(dāng)左=2時，&=乃，終邊不在)'軸上，①錯誤；因為2cos(=-?卜0,所以圖象的一個對稱中心是[?,()],

IT

②正確；函數(shù)的單調(diào)性相對區(qū)間而言，不能說在象限內(nèi)單調(diào)，③錯誤；函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移二個單位長度,

6

得到y(tǒng)=sin2卜-=的圖象，④正確.故填②@

三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)k=±#);(2)直線CO過定點(；,一1)；(3)|

【解析】(1)利用點到直線的距離公式，結(jié)合點。到/的距離d=Y2r，可求攵的值；

2

(2)由題意可知：。、P、C、。四點共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，。、。在圓?！?+'2=2上可得直線。，D

的方程，即可求得直線CO是否過定點；

(3)設(shè)圓心O到直線EE、GH的距離分別為4，d2.則I：+百30^12=5,表示出四邊形￡GF”的面積，利

用基本不等式，可求四邊形EGFH的面積最大值

【詳解】解：(1)?.?乙4。8=三，二點0至1|/的距離"=1「

22

\lk2+l2

k=+y/3

(2)由題意可知：0、P、C、。四點共圓且在以O(shè)P為直徑的圓上，

設(shè)P(f,gr-2),其方程為：x(x-f)+y(y-g+2)=0,

,,1

即X2―a+一(51-2)y=0,

又C、。在圓O:/+y?=2上

?e-lCD:比+(51-2)y-2=0,

即(x+1y-2y-2=0

2y+2=0[y=-l

直線CO過定點(g,-l))

(3)設(shè)圓心。到直線ER、GH的距離分別為4，d2

則42+4=|OM『=]

.JEF1=2y]2-d：,\GH\=2〃2_/=2小2-d；

S=!|即||G”|=2j(2一4)(2-4)<2-J,2+2-J；=4-|=|

當(dāng)且僅當(dāng)2-片=2-%即d=4=且時，取“=”

2

?.四邊形EGFH的面積的最大值為之

2

18、(1)[-1,2]

⑵(YO,fU(5,+oo)

【解析】（1）根據(jù)交集的定義，列出關(guān)于。的不等式組即可求解；

（2）由題意，A=8,根據(jù)集合的包含關(guān)系列出關(guān)于。的不等式組即可求解;

【小問1詳解】

解：：A={x|a4x〈a+3},3={x［x<-l或x>5},且4^3=0,

a>-\

解得一1<QK2,

。+3W5

.?.a的取值范圍為［一1,2］；

【小問2詳解】

解：TA={x|a<x<a+3},3={x|x<T或x>5},且403=4，

：.A^B,

工〃+3<-1或?！?,即。<-4或。>5,

的取值范圍是（-<2-4）U（5,48）.

19、（1）證明見解析；（2）證明見解析

【解析】（1）本題證明線面平行，根據(jù)其判定定理，需要在平面內(nèi)找到一條與期平行的直線，由于題中中點較

多，容易看出PA//DE,然后要交待P4在平面。砂外，￡>E在平面。所內(nèi)，即可證得結(jié)論；（2）要證兩平面垂

直，一般要證明一個平面內(nèi)有一條直線與另一個平面垂直，由（1）可得OE_LAC,因此考慮能否證明DE與平面ABC

內(nèi)的另一條與AC相交的直線垂直，由已知三條線段的長度，可用勾股定理證明。所，因此要找的兩條相交直

線就是AC,防，由此可得線面垂直.

【詳解】（1）由于。,E分別是PC,AC的中點，則有PA//OE,又PAZ平面DEu平面DEF,所以Q4//

平面DEF

（2）由（1）PA//DE,XR41AC,所以DELAC,又產(chǎn)是AB中點，所以。七=,幺=3,EF^-BC^4,

22

又DF=5,所以DE?+EF2=DP?，所以DELEF，E”AC是平面ABC內(nèi)兩條相交直線，所以平面

ABC,又DEu平面BDE,所以平面BOEJ_平面ABC

【考點】線面平行與面面垂直

,1

20、（1）1一寸：（2）5；（3）15.

【解析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于砍伐面積的百分比的方程，即可容易求得；

（2）到今年為止，森林剩余面積為原來的注，可列出關(guān)于，”的等式，解之即可.

2

（3）設(shè)從今年開始，最多還能砍伐〃年，列出相應(yīng)表達式有變。（1-x）"22a，解不等式求出〃的范圍即可

24

【詳解】（1）設(shè)每年砍伐的百分比為x（0<x<l）,則a（l—》尸=1。，即（1一%嚴(yán)=!，

22

???（1）=0+解得:尤