第第頁(yè)第七章平行線的證明單元復(fù)習(xí)題（含解析）2022--2023學(xué)年北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)第七章平行線的證明單元復(fù)習(xí)題

一、選擇題

1．如圖，直線，一直角三角板ABC(∠ACB=90°)放在平行線上，兩直角邊分別l1與l2、交于點(diǎn)D、E，現(xiàn)測(cè)得∠1=75°，則∠2的度數(shù)為（）

A．15°B．25°C．30°D．35°

2．對(duì)于命題“若a2＞b2，則a＞b”，下面四組關(guān)于a，b的值中，能說(shuō)明這個(gè)命題是假命題的是（）

A．a(chǎn)=﹣3，b=2B．a(chǎn)=3，b=2C．a(chǎn)=3，b=﹣1D．a(chǎn)=﹣1，b=3

3．如圖，下列條件中，一定能判斷的是（）

A．B．C．D．

4．下列命題中，是假命題的是（）

A．平面內(nèi)，若ab，a⊥c，那么b⊥c

B．兩直線平行，同位角相等

C．負(fù)數(shù)的平方根是負(fù)數(shù)

D．若，則a＝b

5．已知在中，，，則的度數(shù)是（）

A．B．C．D．

6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，，，，，…根據(jù)這個(gè)規(guī)律，點(diǎn)的坐標(biāo)是（）

A．B．C．D．

7．能說(shuō)明命題“一個(gè)鈍角與一個(gè)銳角的差一定是銳角”是假命題的反例是（）

A．B．

C．D．

8．如圖，給出下列條件.①；②；③，且；④其中，能推出的條作為（）

A．①②③B．①②④C．①③④D．②③④

9．如圖，，平分，D是的中點(diǎn)，，則（）

A．B．C．D．

10．已知等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為，那么這個(gè)等腰三角形的頂角等于（）

A．或B．C．D．或

二、填空題

11．如圖所示的“賈憲三角”告訴了我們二項(xiàng)式乘方展開(kāi)式的系數(shù)規(guī)律，如：第四行的四個(gè)數(shù)恰好對(duì)應(yīng)著的展開(kāi)式的系數(shù)；第五行的五個(gè)數(shù)恰好對(duì)應(yīng)著的展開(kāi)式的系數(shù)；根據(jù)數(shù)表中前五行的數(shù)字所反映的規(guī)律，則．

12．將“同角的補(bǔ)角相等”改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式為．

13．如圖，已知AE∥BD，∠1＝130°，∠2＝30°，則∠C＝．

14．等腰中，，平分，若，則．

三、解答題

15．如圖，已知，則，，之間的關(guān)系是：▲，請(qǐng)寫(xiě)出你的證明過(guò)程．

16．判斷下列命題的真假，若是假命題，請(qǐng)舉出反例；若是真命題，請(qǐng)給出證明．

若，則；

三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等．

17．如圖，在△ABC與△DEF中，如果AB=DE，BE=CF，∠ABC=∠DEF；求證：AC∥DF．

18．在中，，求的度數(shù)．

四、綜合題

19．如圖，已知四個(gè)關(guān)系式：①AC＝DC；②BC＝EC；③∠DCA＝∠ECB：④AB＝DE．

（1）從上面四個(gè)關(guān)系式中任取三個(gè)為條件，余下的一個(gè)為結(jié)論，組成一個(gè)命題．在組成的命題中真命題的個(gè)數(shù)是；

（2）從（1）中選擇一個(gè)真命題進(jìn)行證明

已知：

求證：

證明：

20．如圖，在中，D為上一點(diǎn)，E為中點(diǎn)，連接DE并延長(zhǎng)至點(diǎn)F，使得，連接．

（1）求證：；

（2）若，連接平分平分，求的度數(shù)．

21．一個(gè)角的余角的兩倍稱為這個(gè)角的倍余角.

（1）若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數(shù)為；若，∠2是∠1的倍余角，則∠2的度數(shù)為；（用的代數(shù)式表示）

（2）如圖1，在△ABC中，，在AC上截取，在AB上截取.求證：∠ABC是∠EDB的倍余角；

（3）如圖2，在（2）的情況下，作交AC于點(diǎn)F，將△BFC沿BF折疊得到，交AC于點(diǎn)P，若，設(shè)，求∠CPB的度數(shù).

22．定義：在任意中，如果一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的2倍與另一個(gè)內(nèi)角度數(shù)的和為，那么稱此三角形為“倍角互余三角形”.

（1）【基礎(chǔ)鞏固】若是“倍角互余三角形”，，，則；

（2）【嘗試應(yīng)用】如圖1，在中，，點(diǎn)為線段上一點(diǎn)，若與互余.求證：是“倍角互余三角形”；

（3）【拓展提高】如圖2，在中，，，，試問(wèn)在邊上是否存在點(diǎn)，使得是“倍角互余三角形”？若存在，請(qǐng)求出的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

答案解析部分

1．【答案】A

【解析】【解答】解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CF∥l1，

∵l1∥l2，

∴CF∥l1∥l2，

∴∠FCD=∠1=75°，∠BCF=∠2，

∵∠ACB=90°，

∴∠1+∠2=90°，

∴∠2=90°-75°=15°，

故答案為：A.

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF∥l1，根據(jù)平行公理得出CF∥l1∥l2，得出∠FCD=∠1=75°，∠BCF=∠2，再根據(jù)∠ACB=90°得出∠1+∠2=90°，即可得出∠2=90°-75°=15°.

2．【答案】A

【解析】【解答】解：A、a＝-3，b＝2，滿足a2＞b2，a＜b，能說(shuō)明命題是假命題；

B、a＝3，b＝2，滿足a2＞b2，a＞b，不能說(shuō)明命題是假命題；

C、a＝3，b＝1，滿足a2＞b2，a＞b，不能說(shuō)明命題是假命題；

D、a＝1，b＝3，不滿足a2＞b2，不能說(shuō)明命題是假命題．

故答案為：A.

【分析】通過(guò)計(jì)算判定，滿足a2＞b2，不滿足a＞b即可．

3．【答案】B

【解析】【解答】解：A、∠2與∠3不是兩條直線被第三條直線所截形成的角，所以即使相等也不能判斷AB∥CD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、∠1與∠2是AB、CD兩條直線被第三條直線所截形成的內(nèi)錯(cuò)角，根據(jù)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行，可得AB∥CD，故本選項(xiàng)正確；

C、∠4與∠5不是兩條直線被第三條直線所截形成的角，所以即使相等也不能判斷AB∥CD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、∠3與∠4是AB、CD兩條直線被第三條直線所截形成的同旁內(nèi)角，即使相等，也不能判斷AB∥CD，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．

故答案為：B.

【分析】?jī)蓷l直線被第三條直線所截形成同位角相等，兩直線平行；內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行，據(jù)此判斷.

4．【答案】C

【解析】【解答】解：A、平面內(nèi)，若a∥b，a⊥c，那么b⊥c，是真命題，不符合題意；

B、兩直線平行，同位角相等，是真命題，不符合題意；

C、負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根，故本說(shuō)法是假命題，符合題意；

D、若，則a＝b，是真命題，不符合題意.

故答案為：C.

【分析】根據(jù)二直線平行，同位角相等及垂直的定義即可判斷A；根據(jù)平行線的性質(zhì)，可判斷B；根據(jù)負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根可判斷C；根據(jù)算術(shù)平方根的雙重非負(fù)性可判斷D.

5．【答案】B

【解析】【解答】解：在中，，，

，

故答案為：B.

【分析】直接根據(jù)內(nèi)角和定理計(jì)算即可.

6．【答案】C

【解析】【解答】解：觀察圖形可知，橫坐標(biāo)依次為1、2、3、4、、n，縱坐標(biāo)依次為-2、0、2、0、，四個(gè)一循環(huán)，

∵，

∴點(diǎn)的坐標(biāo)是．

故答案為：C

【分析】先求出規(guī)律，再結(jié)合，即可得到點(diǎn)的坐標(biāo)是。

7．【答案】D

【解析】【解答】解：A、是銳角，不符合題意；

B、與是兩個(gè)銳角，不符合題意；

C、是銳角，不符合題意；

D、是鈍角，符合題意.

故答案為：D.

【分析】原命題為假命題時(shí)，應(yīng)滿足一個(gè)鈍角與一個(gè)銳角的差不是銳角，據(jù)此判斷.

8．【答案】C

【解析】【解答】解：①∵，

∴，正確，符合題意；

②∵，

∴，（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行），選項(xiàng)不符合題意；

③∵，，

∴，

∴，正確，符合題意；

④∵，

∴，由同位角相等，兩直線平行可得，正確，符合題意；

故能推出的條件為①③④.

故答案為：C.

【分析】?jī)蓷l直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么被截的兩直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯(cuò)角相等，那么被截的兩直線平行；兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么被截的兩直線平行；從而一一判斷即可得出答案.

9．【答案】B

【解析】【解答】解：∵CB平分∠ACE，∠ACE=110°

∴∠BCE=∠BCA=55°

∵CE//AB

∴∠BCE=∠B=55°

∴∠BCA=∠B=55°

∴AC=AB

∵D為BC中點(diǎn)

∴AD⊥BC，即∠ADB=90°

∴∠DAB=180°-∠B-∠ADB=180°-55°-90°=35°

故答案為：B.

【分析】根據(jù)角平分線的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)，可以得出∠BCA=∠B=55°，從而得到AB=AC，再由點(diǎn)D是BC中點(diǎn)，跟等腰三角形三線合一的性質(zhì)可知∠ADB=90°，最后根據(jù)∠DAB=180°-∠B-∠ADB，即可求解.

10．【答案】A

【解析】【解答】解：

如圖(1)，當(dāng)是銳角三角形時(shí)，

，，

，

，

；

如圖(2)，當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，

，，

，

，

，；

綜上所述，它的頂角度數(shù)為：或，

故答案為：A．

【分析】分兩種情況：①當(dāng)是銳角三角形時(shí)，②當(dāng)是鈍角三角形時(shí)，再分別畫(huà)出圖象并利用三角形的內(nèi)角和及等腰三角形的性質(zhì)求解即可。

11．【答案】a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5

【解析】【解答】由圖形可得

（a＋b）5＝a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5；

∴答案為：a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5.

【分析】觀察圖表尋找規(guī)律：三角形是一個(gè)由數(shù)字排列成的三角形數(shù)表，它的兩條斜邊都是數(shù)字1組成，而其余的數(shù)則是等于它“肩”上的兩個(gè)數(shù)之和．

12．【答案】如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等

【解析】【解答】解：將“同角的補(bǔ)角相等”改寫(xiě)成“如果……那么……”的形式為

如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等.

故答案為：如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角相等

【分析】要將一個(gè)命題寫(xiě)成“如果……那么……”的形式，就要分清命題的題設(shè)和結(jié)論，如果后面是題設(shè)，那么的后面是結(jié)論，即可求解.

13．【答案】20°

【解析】【解答】解：過(guò)點(diǎn)C作CF∥AE，

∵AE∥BD，

∴AE∥BD∥CF，

∴∠2=∠DCF=30°，∠EAC+∠ACF=180°，

∵∠1=∠EAC=130°，

∴∠ACF=∠ACE+∠DCF=180°-130°=50°，

∴∠ACE=50°-30°=20°.

故答案為：20°

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CF∥AE，利用同平行與一條直線的兩直線平行，可證得AE∥BD∥CF，利用平行線的性質(zhì)可求出∠DCF的度數(shù)，同時(shí)可證得∠EAC+∠ACF=180°，由此可求出∠ACF的度數(shù)，即可求出∠ACE的度數(shù).

14．【答案】100°

【解析】【解答】解：如圖所示，

∵AB＝AC，

∴∠C＝∠ABC，

又∵BD平分∠ABC，

∴∠1＝∠2＝∠ABC，

∴∠C＝2∠1，

∵∠2+∠C＝180°-∠BDC，且∠BDC＝120°，

∴3∠1＝60°，即∠1＝∠2＝20°，

又∵∠BDC＝∠A+∠1，

∴∠A＝∠BDC-∠1＝120°-20°＝100°．

故答案為：100°．

【分析】由AB＝AC，根據(jù)等邊對(duì)等角，可得∠ABC＝∠C，又由BD平分∠ABC，∠BDC＝120°，可求得∠1的度數(shù)，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，即可求得∠A的度數(shù)．

15．【答案】結(jié)論：∠APC=∠A+∠C.

證明：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A=∠APE，∠C=∠CPE，

∵∠APC=∠APE+∠CPE，

∴∠APC=∠A+∠C.

【解析】【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，利用在同一個(gè)平面內(nèi)，同平行于一條直線的兩直線平行，可證得PE∥AB∥CD，利用平行線的性質(zhì)可推出∠A=∠APE，∠C=∠CPE；然后根據(jù)∠APC=∠APE+∠CPE，可得到∠A，∠C，∠APC之間的關(guān)系.

16．【答案】解：若，則是假命題，

例如：，，

，但；

三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等是假命題，

例如：兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形不全等．

【解析】【分析】（1）可以用特殊值法：取，進(jìn)行判斷即可.（2）可以舉反例說(shuō)明，例如：兩個(gè)邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形不全等．

17．【答案】證明：∵BE=CF，

∴BE+EC=CF+EC，

即BC=EF，

在和中，

，

∴，

∴，

∴AC∥DF.

【解析】【分析】根據(jù)BE=CF以及線段的和差關(guān)系可得BC=EF，由已知條件可知AB=DE，∠ABC=∠DEF，利用SAS證明△ABC≌△DEF，得到∠ACB=∠F，然后根據(jù)平行線的判定定理進(jìn)行證明.

18．【答案】解：設(shè)，則，

∵，

∴，

解得，

∴．

【解析】【分析】設(shè)，則，利用三角形的內(nèi)角和可得，再求出x的值即可。

19．【答案】（1）2

（2）解：若選①②③為條件，④為結(jié)論，

已知：AC＝DC，BC＝EC，∠DCA＝∠ECB．

求證：AB＝DE．

證明：∵∠DCA＝∠ECB，

∴∠DCA+∠ACE=∠BCE+∠ACE，即∠ACB=∠DCE，

在△ACB和△DCE中，

，

∴△ACB≌△DCE（SAS），

∴AB＝DE．

【解析】【解答】解：（1）若①②③為條件，④為結(jié)論，

則可利用SAS證明△ACB≌△DCE，可得④；

若①②④為條件，③為結(jié)論，

則可利用SSS證明△ACB≌△DCE，可得③；

若①③④為條件，②為結(jié)論，

無(wú)法證明△ACB≌△DCE，則不可得②；

若②③④為條件，①為結(jié)論，

無(wú)法證明△ACB≌△DCE，則不可得①；

∴真命題的個(gè)數(shù)是2；

【分析】（1）根據(jù)真命題的定義求解即可；

（2）結(jié)合（1）的條件，利用“SAS”證明△ACB≌△DCE，即可得到AB=DE。

20．【答案】（1）證明：∵E為中點(diǎn)，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴；

（2）解：由（1）得：，

∵平分，

∴，

∴，

∵，

∴

【解析】【分析】（1）根據(jù)SAS證明△ADE≌△CFE，可得∠A=∠ECF，根據(jù)平行線的判定即證；

（2）由（1）知∠A=∠ECF，由角平分線的定義可得，利用等量代換即可求解.

21．【答案】（1）120°；

（2）解：設(shè)，

∵CD＝CB，AE＝AD

∴，

∴，

，

∴即∠ABC是∠EDB的倍余角.

（3）解：由（2）得，

∵，

∴，

∵，

∴，

∴，

∴，.

【解析】【解答】解：（1）∵∠1＝30°，∠2是∠1的倍余角，

∴∠2＝2（90°30°）＝120°；

∵∠1＝α，∠2是∠1的倍余角，

∴∠2＝2（90°α）＝180°2α.

故答案為：120°；180°2α.

【分析】（1）根據(jù)∠2是∠1的倍余角可得∠2=2×(90°-∠1)，據(jù)此解答；

（2）設(shè)∠AED=a，∠CBD=b，由等腰三角形的性質(zhì)可得∠AED=∠ADE=a，∠DBC=∠BDC=b，由內(nèi)角和定理可得∠EDB=180°-a-b，∠ABC=180°-(180°-2a)-(180°-2b)=2a+2b+180°，甲車(chē)證明；

（3）由（2）得∠EDB=45°，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDB=∠DBF=45°，根據(jù)