3.1.3函數(shù)的奇偶性第三章2021內(nèi)容索引0102課前篇自主預(yù)習(xí)課堂篇探究學(xué)習(xí)課標(biāo)闡釋1.結(jié)合具體函數(shù),了解函數(shù)的奇偶性的含義.(邏輯推理)2.能根據(jù)奇偶性的定義判斷和證明函數(shù)的奇偶性.(邏輯推理)3.能利用奇偶性來(lái)研究函數(shù)的定義域、值域、解析式、單調(diào)性及函數(shù)的圖像等.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)思維脈絡(luò)課前篇自主預(yù)習(xí)【激趣誘思】在我們的日常生活中,可以觀察到許多對(duì)稱現(xiàn)象,如圖,六角形的雪花晶體、建筑物和它在水中的倒影……上述材料中哪個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形?哪個(gè)圖形是中心對(duì)稱圖形?【知識(shí)點(diǎn)撥】

知識(shí)點(diǎn)一、奇偶函數(shù)的定義一般地,設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镈,如果對(duì)D內(nèi)的任意一個(gè)x,都有-x∈D,名師點(diǎn)析

對(duì)函數(shù)奇偶性定義的理解(1)函數(shù)的奇偶性是相對(duì)于定義域D內(nèi)的任意一個(gè)x而言的,而函數(shù)的單調(diào)性是相對(duì)于定義域內(nèi)的某個(gè)子集而言的,從這個(gè)意義上講,函數(shù)的單調(diào)性屬于“局部性質(zhì)”,而函數(shù)的奇偶性則屬于“整體性質(zhì)”.(2)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義域在數(shù)軸上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.微練習(xí)下列函數(shù)中,既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的為(

)A.y=x-1

B.y=3x2C.y=

D.y=-x|x|答案

D知識(shí)點(diǎn)二、奇偶函數(shù)的圖像特征(1)偶函數(shù)的圖像關(guān)于

y軸

對(duì)稱;反之,結(jié)論也成立,即圖像關(guān)于y軸對(duì)稱的函數(shù)一定是偶函數(shù).(2)奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;反之,結(jié)論也成立,即圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定是奇函數(shù).名師點(diǎn)析

奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同,偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反;若奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b](0<a<b)上有最大值M,最小值m,則f(x)在區(qū)間[-b,-a]上的最大值為-m,最小值為-M;偶函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b],[-b,-a](0<a<b)上有相同的最大(小)值.微思考

(1)如果f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且函數(shù)在x=0處有定義,那么f(0)為何值?提示

f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,即f(x)為奇函數(shù),故滿足f(-x)=-f(x).因?yàn)閒(x)在x=0處有定義,所以f(0)=-f(0),即f(0)=0.(2)若f(x)為奇函數(shù),且點(diǎn)(x,f(x))在其圖像上,則哪一個(gè)點(diǎn)一定在其圖像上?若f(x)為偶函數(shù)呢?提示

若f(x)為奇函數(shù),則點(diǎn)(-x,-f(x))一定在其圖像上;若f(x)為偶函數(shù),則點(diǎn)(-x,f(x))一定在其圖像上.課堂篇探究學(xué)習(xí)探究一判斷函數(shù)的奇偶性分析先求定義域,驗(yàn)證定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再看f(-x)與f(x)的關(guān)系,進(jìn)而做出判斷.(3)函數(shù)的定義域?yàn)閇-1,1],關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.∵f(-x)=(-x)2-2|-x|+1=x2-2|x|+1=f(x),∴f(x)是偶函數(shù).反思感悟

如何判斷函數(shù)的奇偶性1.判斷函數(shù)的奇偶性一般不用其定義,而是利用定義的等價(jià)形式,即考察f(-x)與f(x)的關(guān)系,具體步驟如下:(1)求f(x)的定義域;(2)若定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)f(x)不具有奇偶性,若定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,可再利用定義驗(yàn)證f(-x)與f(x)的關(guān)系.2.對(duì)于一些較復(fù)雜的函數(shù),也可以用如下性質(zhì)判斷函數(shù)的奇偶性:(1)偶函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為偶函數(shù);(2)奇函數(shù)的和、差仍為奇函數(shù);(3)奇(偶)數(shù)個(gè)奇函數(shù)的積、商(分母不為零)為奇(偶)函數(shù);(4)一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積為奇函數(shù).變式訓(xùn)練

1下列函數(shù)是偶函數(shù)的為(

)A.y=2|x|-1,x∈[-1,2]B.y=x3-x2C.y=x3D.y=x2,x∈[-1,0)∪(0,1]答案

D解析

選項(xiàng)A中,函數(shù)的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,則函數(shù)不是偶函數(shù);選項(xiàng)B中,f(-x)≠f(x),函數(shù)不是偶函數(shù);選項(xiàng)C中,f(-x)=-x3=-f(x),函數(shù)是奇函數(shù);選項(xiàng)D中,f(-x)=x2=f(x),且定義域也關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)是偶函數(shù).探究二由函數(shù)的奇偶性求函數(shù)的解析式例2已知f(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù),且當(dāng)x>0時(shí),f(x)=x|x-2|,求當(dāng)x<0時(shí),f(x)的表達(dá)式.分析已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù),可利用對(duì)稱性求對(duì)稱區(qū)間上的解析式.解

令x<0,則-x>0.∴f(-x)=-x|-x-2|=-x|x+2|.∵f(x)為奇函數(shù),∴f(-x)=-f(x).∴f(x)=x|x+2|.故當(dāng)x<0時(shí),f(x)的表達(dá)式為f(x)=x|x+2|.反思感悟

由函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的解題策略1.函數(shù)具有奇偶性,若只給出了部分區(qū)間上的解析式,則可以利用函數(shù)的奇偶性求出對(duì)稱區(qū)間上的解析式,其解題理論為函數(shù)奇偶性的定義.正用定義可以判斷函數(shù)的奇偶性,逆用可以求出函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的解析式.2.結(jié)論:(1)若f(x)是奇函數(shù),且已知x>0時(shí)的解析式,則x<0時(shí)的解析式只需將原函數(shù)式y(tǒng)=f(x)中的x,y分別替換為-x,-y,然后解出y即可.(2)若f(x)是偶函數(shù),且已知x>0時(shí)的解析式,則x<0時(shí)的解析式只需將原函數(shù)式y(tǒng)=f(x)中的x替換為-x,y不變,即得x<0時(shí)的解析式.延伸探究若本例題中題干不變,如何求當(dāng)x≤0時(shí),f(x)的表達(dá)式?解

只需將f(0)單獨(dú)求出.因?yàn)閒(x)是奇函數(shù),且在x=0處有定義,所以f(0)=0.又因?yàn)閒(x)=x|x+2|,x<0,所以f(x)=x|x+2|,x≤0.探究三奇、偶函數(shù)圖像的應(yīng)用例3若函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且在(-∞,0]上是增函數(shù),若f(2)=0,則使f(x)<0的x的取值范圍是(

)A.(-∞,2) B.(-2,2)C.(-∞,-2)∪(2,+∞) D.(2,+∞)答案

C解析

由偶函數(shù)f(x)在(-∞,0]上為增函數(shù),且f(2)=0,可知函數(shù)f(x)在[0,+∞)上為減函數(shù),且f(-2)=f(2)=0.于是可得出如圖的草圖.由圖可知使f(x)<0的x的取值范圍是(-∞,-2)∪(2,+∞),故選C.反思感悟

函數(shù)奇偶性的應(yīng)用1.研究函數(shù)圖像時(shí),要注意對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究,這樣可避免作圖的盲目性和復(fù)雜性.2.利用函數(shù)的奇偶性作圖,其依據(jù)是奇函數(shù)圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,偶函數(shù)圖像關(guān)于y軸對(duì)稱.因此在研究這類函數(shù)的性質(zhì)(或圖像)時(shí),可通過(guò)研究函數(shù)在y軸一側(cè)的性質(zhì)(或圖像),便可推斷出函數(shù)在整個(gè)定義域上的性質(zhì)(或圖像).變式訓(xùn)練

2奇函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇-5,5],它在y軸右側(cè)的圖像如圖所示,則f(x)<0的x的取值集合為

.

答案

{x|-2<x<0或2<x<5}解析

奇函數(shù)f(x)在[-5,5]上的圖像如圖所示,由圖像可知,x∈(2,5)時(shí),f(x)<0;x∈(0,2)時(shí),f(x)>0.因?yàn)槠鋱D像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以x∈(-5,-2)時(shí),f(x)>0;x∈(-2,0)時(shí),f(x)<0,所以使f(x)<0的x的取值集合為{x|-2<x<0或2<x<5}.

素養(yǎng)形成利用函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性解不等式典例

設(shè)定義在[-2,2]上的奇函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,2]上是減函數(shù),若f(1-m)<f(m),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.方法點(diǎn)睛

利用函數(shù)奇偶性和單調(diào)性解不等式解決此類問(wèn)題時(shí)一定要充分利用已知的條件,把已知不等式轉(zhuǎn)化成f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式,再根據(jù)奇函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性一致,偶函數(shù)在對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反,列出不等式(組),同時(shí)不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響.

當(dāng)堂檢測(cè)1.下列函數(shù)中是奇函數(shù)的為(

)A.y=x3-x2 B.y=|x-1|C.y=-3x3+x D.y=答案

C2.有下列說(shuō)法:①偶函數(shù)的圖像一定與y軸相交;②若y=f(x)是奇函數(shù),則由f(-x)=-f(x)可知f(0)=0;③既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)的函數(shù)一定是f(x)=0,x∈R;④若一個(gè)圖形關(guān)于y軸成軸對(duì)稱,則該圖形一定是偶函數(shù)的圖像.其中不正確的是(

)A.①②

B.①④C.①②④ D.①②③④答案

D解析

①中可舉反例f(x)=x2+2,x∈(-∞,-2)∪(2,+∞);②中f(x)在x=0處可能無(wú)定義;③中也可以是f(x)=0,x∈A(A為關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的數(shù)集);④中該圖形可能不是函數(shù)的圖像.故①②③④均錯(cuò)誤.3.已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x∈(-∞,0)時(shí),f(x)=x-x4;當(dāng)x∈(0,+∞)時(shí),f(x)=

.

答案

-x-x4解析

(方法一)由于是填空題,故可采用直接代換法,將x用-x代替,即答案為-x-x4.(方法二)設(shè)x∈(0,+∞),則-x∈(-∞,0),則