5.1.2弧度制【學(xué)習(xí)目標(biāo)】課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)科素養(yǎng)1.理解角度制與弧度制的概念，能對(duì)弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換．2.體會(huì)引入弧度制的必要性，建立角的集合與實(shí)數(shù)集一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．3.掌握并能應(yīng)用弧度制下的扇形、弧長(zhǎng)公式和面積公式.1.直觀想象2.數(shù)學(xué)運(yùn)算【自主學(xué)習(xí)】一．度量角的兩種單位制1.角度制：(1)定義：用作為單位來(lái)度量角的單位制．(2)1度的角：周角的.2.弧度制：(1)定義：以作為單位來(lái)度量角的單位制．(2)1弧度的角：長(zhǎng)度等于的圓弧所對(duì)的圓心角．3.弧度數(shù)一般地，正角的弧度數(shù)是一個(gè)，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)，零角的弧度數(shù)是.如果半徑為r的圓的圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)為l，那么，角α的弧度數(shù)的絕對(duì)值是|α|＝.這里，α的正負(fù)由角α的終邊的旋轉(zhuǎn)方向決定．思考1：比值eq\f(l,r)與所取的圓的半徑大小是否有關(guān)？4.弧度制與角度制的換算公式角度化弧度弧度化角度360°＝rad2πrad＝180°＝radπrad＝1°＝eq\f(π,180)rad≈0.01745rad1rad＝(eq\f(180,π))°≈57.30°5.一些特殊角與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系度0°30°45°60°90°120°135°150°180°270°360°弧度0eq\f(π,6)eq\f(π,4)eq\f(π,3)eq\f(π,2)eq\f(2π,3)eq\f(3π,4)eq\f(5π,6)πeq\f(3π,2)2π6.角的集合與實(shí)數(shù)集R的關(guān)系角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起的關(guān)系：每一個(gè)角都有的一個(gè)實(shí)數(shù)(等于這個(gè)角的弧度數(shù))與它對(duì)應(yīng)；反過(guò)來(lái)，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對(duì)應(yīng)，如圖．二．扇形的弧長(zhǎng)和面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長(zhǎng)為l，α(0＜α＜2π)為其圓心角，則1.弧長(zhǎng)公式：l＝.2.扇形面積公式：S＝＝.注意：(1)α為弧度制．(2)在運(yùn)用公式時(shí)，還應(yīng)熟練地掌握這兩個(gè)公式的變形運(yùn)用：①l＝|α|·r，|α|＝eq\f(l,r)，r＝eq\f(l,|α|)；②S＝eq\f(1,2)|α|r2，|α|＝eq\f(2S,r2).思考2：扇形的面積公式與哪個(gè)平面圖形的面積公式類似？對(duì)應(yīng)的圖形是否也類似？【小試牛刀】1.思辨解析(正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”)(1)1弧度的角大于1度的角.()(2)不管是以弧度還是以度為單位的角的大小，都是一個(gè)與半徑的大小無(wú)關(guān)的定值．()(3)1弧度的角是周角的eq\f(1,360).()(4)與45°終邊相同的角可以寫成α＝2kπ＋45°，k∈Z.()2.2rad的角的終邊在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限 D．第四象限3.半徑為2，圓心角為eq\f(π,6)的扇形的面積是________．【經(jīng)典例題】題型一角度制與弧度制的互化點(diǎn)撥：角度制與弧度制互化的關(guān)鍵與方法1.關(guān)鍵：抓住互化公式πrad＝180°是關(guān)鍵；2.方法：度數(shù)×eq\f(π,180)＝弧度數(shù)；弧度數(shù)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(180,π)))°＝度數(shù)；3.角度化弧度時(shí)，應(yīng)先將分、秒化成度，再化成弧度.例1將下列角度與弧度進(jìn)行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)eq\f(7π,12)；(4)－eq\f(11π,5).【跟蹤訓(xùn)練】1(1)已知α＝15°，β＝eq\f(π,10)，γ＝1，θ＝105°，φ＝eq\f(7,12)π，試比較它們的大?。?2)把－1480°寫成2kπ＋α(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π，并判斷它是第幾象限角？題型二用弧度制表示終邊相同的角點(diǎn)撥：1.弧度制下與角α終邊相同的角的表示在弧度制下，與角α的終邊相同的角可以表示為{β|β＝2kπ＋α，k∈Z}，即與角α終邊相同的角可以表示成α加上2π的整數(shù)倍．2.根據(jù)已知圖形寫出區(qū)域角的集合的步驟(1)仔細(xì)觀察圖形．(2)寫出區(qū)域邊界作為終邊時(shí)角的表示．(3)用不等式表示區(qū)域范圍內(nèi)的角．例2將－1125°寫成α＋2kπ(k∈Z)的形式，其中0≤α<2π.并判斷它是第幾象限角？【跟蹤訓(xùn)練】2用弧度制表示終邊落在如圖（右）所示陰影部分內(nèi)的角θ的集合.題型三弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式的應(yīng)用點(diǎn)撥：弧度制下解決扇形相關(guān)問(wèn)題的步驟1.明確弧長(zhǎng)公式和扇形的面積公式：l＝|α|r，S＝eq\f(1,2)αr2和S＝eq\f(1,2)lr.(這里α必須是弧度制下的角)2.分析題目的已知量和待求量，靈活選擇公式．3.根據(jù)條件列方程(組)或建立目標(biāo)函數(shù)求解．注意：看清角的度量制，恰當(dāng)選用公式．例3(1)求半徑為2，圓心角為eq\f(5π,3)的圓弧的長(zhǎng)度．(2)已知扇形的周長(zhǎng)為10cm，面積為4cm2，求扇形圓心角的弧度數(shù)．【跟蹤訓(xùn)練】3已知扇形AOB的周長(zhǎng)為10cm，求該扇形的面積的最大值及取得最大值時(shí)圓心角的大小及弧長(zhǎng)．【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.圓的半徑為r，該圓上長(zhǎng)為eq\f(3,2)r的弧所對(duì)的圓心角是()A.eq\f(2,3)radB．eq\f(3,2)radC.eq\f(2π,3)radD．eq\f(3π,2)rad2.(多選)下列與eq\f(9π,4)的終邊相同的角的表達(dá)式中，正確的是()A.2kπ＋45°(k∈Z)B.k·360°＋eq\f(9π,4)(k∈Z)C.k·360°－315°(k∈Z) D.2kπ＋eq\f(π,4)(k∈Z)3.－135°化為弧度為_(kāi)_____，eq\f(11π,3)化為角度為_(kāi)_______.4.已知扇形的周長(zhǎng)為8cm，圓心角為2，則扇形的面積為_(kāi)_______cm2.5.用弧度表示終邊落在如圖(1)(2)所示的陰影部分內(nèi)(不包括邊界)的角的集合．6.已知扇形OAB的周長(zhǎng)是60cm，求扇形OAB的最大面積及此時(shí)弧長(zhǎng)AB.【參考答案】【自主學(xué)習(xí)】一．1.度eq\f(1,360)2.弧度半徑長(zhǎng)3.正數(shù)負(fù)數(shù)0eq\f(l,r)思考1：一定大小的圓心角α所對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)與半徑的比值是唯一確定的，與半徑大小無(wú)關(guān)．4.2ππ360°180°6.一一對(duì)應(yīng)唯一唯一二．αReq\f(1,2)lReq\f(1,2)αR2思考2：扇形的面積公式與三角形的面積公式類似．實(shí)際上，扇形可看作是一個(gè)曲邊三角形，弧是底，半徑是底上的高【小試牛刀】1.(1)√(2)√(3)×(4)×2.B3.eq\f(π,3)解析：由已知得S扇＝eq\f(1,2)×eq\f(π,6)×22＝eq\f(π,3).【經(jīng)典例題】例1解：(1)20°＝eq\f(20π,180)＝eq\f(π,9).(2)－15°＝－eq\f(15π,180)＝－eq\f(π,12).(3)eq\f(7π,12)＝eq\f(7,12)×180°＝105°.(4)－eq\f(11π,5)＝－eq\f(11,5)×180°＝－396°.【跟蹤訓(xùn)練】1解析：(1)法一：(化為弧度)：α＝15°＝15×eq\f(π,180)＝eq\f(π,12)，θ＝105°＝105×eq\f(π,180)＝eq\f(7π,12)，顯然eq\f(π,12)＜eq\f(π,10)＜1＜eq\f(7π,12).故α＜β＜γ＜θ＝φ.法二：(化為角度)：β＝eq\f(π,10)＝eq\f(π,10)×(eq\f(180,π))°＝18°，γ＝1≈57.30°，φ＝eq\f(7π,12)×(eq\f(180,π))°＝105°.顯然，15°＜18°＜57.30°＜105°.故α＜β＜γ＜θ＝φ.(2)－1480°＝－1480×eq\f(π,180)＝－eq\f(74π,9)＝－10π＋eq\f(16π,9)，其中0≤eq\f(16π,9)<2π，因?yàn)閑q\f(16π,9)是第四象限角，所以－1480°是第四象限角．例2解：－1125°＝－1125×eq\f(π,180)＝－eq\f(25π,4)＝－8π＋eq\f(7π,4).其中eq\f(3π,2)<eq\f(7π,4)<2π，因?yàn)閑q\f(7π,4)是第四象限角，所以－1125°是第四象限角.【跟蹤訓(xùn)練】2解：終邊落在射線OA上的角為θ＝135°＋k·360°，k∈Z，即θ＝eq\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z.終邊落在射線OB上的角為θ＝－30°＋k·360°，k∈Z，即θ＝－eq\f(π,6)＋2kπ，k∈Z，故終邊落在陰影部分的角θ的集合為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(θ\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(π,6)＋2kπ≤θ≤\f(3π,4)＋2kπ，k∈Z))))例3解：(1)∵半徑R＝2，圓心角α＝eq\f(5π,3)，∴弧長(zhǎng)l＝|α|·R＝eq\f(10π,3).(2)設(shè)扇形的半徑為r，弧長(zhǎng)為l，所對(duì)圓心角為α(0<α<2π)．則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2r＋l＝10，,\f(1,2)rl＝4，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝1，,l＝8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(r＝4，,l＝2.))當(dāng)r＝1時(shí)，l＝8，此時(shí)α＝eq\f(l,r)＝8(rad)>2π，不符合，舍去；當(dāng)r＝4時(shí)，l＝2，此時(shí)α＝eq\f(l,r)＝eq\f(2,4)＝eq\f(1,2)(rad)．∴所求圓心角的弧度數(shù)為eq\f(1,2)rad.【跟蹤訓(xùn)練】3解：設(shè)扇形圓心角的弧度數(shù)為θ(0<θ<2π)，弧長(zhǎng)為l，半徑為r，面積為S，由l＋2r＝10得l＝10－2r，S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)(10－2r)·r＝5r－r2＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(r－\f(5,2)))2＋eq\f(25,4)，0<r<5.當(dāng)r＝eq\f(5,2)時(shí)，S取得最大值eq\f(25,4)，這時(shí)l＝10－2×eq\f(5,2)＝5，∴θ＝eq\f(l,r)＝eq\f(5,\f(5,2))＝2.故該扇形的面積的最大值為eq\f(25,4)cm2，取得最大值時(shí)圓心角為2rad，弧長(zhǎng)為5cm.【當(dāng)堂達(dá)標(biāo)】1.B解析：由弧度數(shù)公式α＝eq\f(l,r)，得α＝eq\f(\f(3,2)r,r)＝eq\f(3,2)，因此圓弧所對(duì)的圓心角是eq\f(3,2)rad.2.CD解析：A、B中弧度與角度混用，不正確；eq\f(9π,4)＝2π＋eq\f(π,4)，所以eq\f(9π,4)與eq\f(π,4)終邊相同.－315°＝－360°＋45°，所以－315°也與45°終邊相同，即與eq\f(9π,4)終邊相同.3.－eq\f(3π,4)660°解析：－135°＝－135×eq\f(π,180)＝－eq\f(3π,4)；eq\f(11π,3)＝eq\f(11,3)×180°＝660°.4.4解析：設(shè)扇形的半徑為rcm，弧長(zhǎng)為lcm，由圓心角為2rad，依據(jù)弧長(zhǎng)公式可得l＝2r，從而扇形的周長(zhǎng)為l＋2r＝4r＝8，解得r＝2，則l＝4.故扇形的面積S＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×4×2＝4cm2.5.解：對(duì)于題圖(1)，225°角的終邊可以看作是－135°角的終邊，化為弧度，即－eq\f(3π,4)，60°角的終邊即eq\f(π,3)的終邊，∴所求集合eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3π,4)＜α＜2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).對(duì)于題圖(2)，同理可得，所求集合為eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋\f(π,2)，k∈Z))))∪eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(2kπ＋π＋\f(π,6)＜α≤2kπ＋π＋\f(π,2)，k∈Z))))＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c