帶不等式約束的平差問題的求解

0問題的建立在大多數(shù)情況下，應(yīng)根據(jù)首先經(jīng)驗(yàn)的知識配置參數(shù)。當(dāng)建立的限制是平等的時(shí)，就會(huì)形成由不平等限制形成的和平差異問題。如卡爾曼濾波、擬穩(wěn)平差等1觀測機(jī)構(gòu)及參數(shù)估計(jì)矩陣根據(jù)間接平差原理式中，觀測值系數(shù)矩陣A為m行n列，觀測值矩陣L為m行1列；觀測改正數(shù)矩陣V為m行1列；G為k行n列的系數(shù)矩陣且G為行滿秩矩陣；W為k行1列的常量。按照經(jīng)典最小二乘原理，上述模型的解可以在以下條件下求得：1.1虛擬觀測思想轉(zhuǎn)換按優(yōu)化計(jì)算方法中的罰函數(shù)方法，可以將式（2）轉(zhuǎn)換為一個(gè)無約束的優(yōu)化問題式中，φ（x)=V′因此，當(dāng)V′小于或等于零時(shí)，滿足不等式約束；當(dāng)V′大于零時(shí)，不滿足不等式約束。k為懲戒因子，由先驗(yàn)知識確定。采用虛擬觀測思想進(jìn)行轉(zhuǎn)換，可以得到如下無約束平差模型：因此按照最小二乘原理可以得出該式最優(yōu)解的表達(dá)式為：由于平差開始不知道哪些約束是滿足的，哪些約束是不滿足的，平差計(jì)算時(shí)應(yīng)該進(jìn)行迭代計(jì)算。迭代初始值選P′=0時(shí)，即不考慮約束條件時(shí)的最小二乘解。然后帶不等式約束條件，看是否滿足約束條件，然后根據(jù)式（4）進(jìn)行定權(quán)，定權(quán)后按（6）重新進(jìn)行計(jì)算。如此反復(fù)迭代，直到所有值都滿足約束條件時(shí)為止。1.2虛擬誤差方程法帶不等式約束的平差模型可以做如下變換為了去掉不等式約束中的不等號，在表達(dá)式中添加一個(gè)虛擬變量V′，可得如下表達(dá)式對于有效約束來說V′=0，對于無效約束來說V′<0。虛擬變量V′當(dāng)作是一個(gè)虛擬觀測值，因此有如下的新形式：由此得出誤差方程和法方程，根據(jù)經(jīng)典最小二乘算法，得出解的表達(dá)式；再將此表達(dá)式通過配湊消元，消掉系數(shù)陣部分，得出一個(gè)P′為虛擬觀測的權(quán)陣，按式（4）進(jìn)行定權(quán)。算法求解思路：將無約束時(shí)的最小二乘解1.3無約束條件下的最小二乘解在帶不等式約束的平差模型（1）中，令：由K-T條件知，在最優(yōu)解X處一定滿足如下條件：由式（13）知，要使λ≥0，λ將式（15）對X求偏導(dǎo)，并令偏導(dǎo)數(shù)等于零，再與GX=W聯(lián)立、消元得到λ的通解，最終得到方程的解為X珡為無約束時(shí)的最小二乘解。該方法關(guān)鍵在于求出滿足條件的λ，這里用過迭代來實(shí)現(xiàn)。2迭代終止條件的選取不符合迭代乘子法引用文獻(xiàn)所有計(jì)算過程采用Matlab編程實(shí)現(xiàn)計(jì)算，做出三種算法最優(yōu)解和迭代次數(shù)統(tǒng)計(jì)表，如表1所示。計(jì)算過程中懲戒因子取R=100000，虛擬誤差方程中ε=10從算法本身來說，簡單迭代算法中懲戒因子R的選取能夠明顯影響到函數(shù)的收斂速度。一般懲戒因子越大函數(shù)收斂越快。并且發(fā)現(xiàn)每次迭代時(shí)，最優(yōu)解的變化是一個(gè)很微小的量，由此可看出簡單迭代算的迭代終止條件不合理，有待改進(jìn)。虛擬誤差方程法中懲戒因子的選取對函數(shù)的最優(yōu)解有影響。當(dāng)懲戒因子在1到100之間，不能得出文獻(xiàn)中的答案。當(dāng)大于100時(shí)，則能得出最優(yōu)解。這里滿足罰函數(shù)的思想，當(dāng)解不在不等式范圍內(nèi)時(shí)，給予它一個(gè)很大的權(quán)值，將其約束到不等式范圍內(nèi)。其次迭代終止條件ε的選取能較為明顯影響到函數(shù)收斂速度，隨著ε越來越小，所需要的迭代次數(shù)快速增加。在迭代乘子法迭代初始值的選取中，一般將初始值選為零值，能夠準(zhǔn)確得出最優(yōu)解，因此先驗(yàn)知識對該算法幾乎沒有影響，抗差性好，容錯(cuò)率高。使得該方法能夠適用于更加廣泛的不等式平差計(jì)算當(dāng)中。對上述判斷：簡單迭代算的迭代終止條件不合理。做如下實(shí)驗(yàn)：在簡單迭代算法和虛擬誤差方程算法中都有懲戒因子和虛擬觀測權(quán)值；將簡單迭代算法的虛擬觀測權(quán)值換為同等條件下虛擬誤差方程中的權(quán)值，這種條件下能夠得出跟原來一致的最優(yōu)解，且迭代次數(shù)明顯減少。這里由實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得出這樣的結(jié)論：簡單迭代算法的迭代終止條件不合理，需要進(jìn)一步改進(jìn)。最簡單的改進(jìn)方式就是直接使用虛擬誤差方程法的迭代終止條件。2.1實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)分析以上實(shí)驗(yàn)由于數(shù)據(jù)本身是固定的，觀測誤差也是固定的，只能用不同的方法進(jìn)行一次處理，并不能反應(yīng)算法本身的穩(wěn)定性問題。所以本節(jié)將重新構(gòu)造出適用于重復(fù)計(jì)算的數(shù)據(jù)，采用蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)方法，對每個(gè)算法進(jìn)行120次重復(fù)計(jì)算，將每次計(jì)算結(jié)果與真值做差比較，做出差值平方和以及迭代次數(shù)的統(tǒng)計(jì)圖，依據(jù)此圖得出結(jié)論。實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下：其中A,G,W,P所表示的含義跟文中的相同字母含義相同；X由以下線性等式計(jì)算得到觀測值向量L:式子中的隨機(jī)數(shù)函數(shù)randn相當(dāng)于模擬出觀測值的測量誤差。最后將得出的最優(yōu)解X跟真值X將差值dx的平方和迭代次數(shù)進(jìn)行繪圖處理，得到的統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖1所示。計(jì)算過程中懲戒因子取R=100000。根據(jù)圖1的蒙特卡羅實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以看出：在給原始數(shù)據(jù)一個(gè)較小的觀測誤差后，三種方法所得出的最優(yōu)解是一致的。在每次的實(shí)驗(yàn)中，我們都能發(fā)現(xiàn)，迭代乘子法的迭代次數(shù)明顯小于其他兩種算法，運(yùn)算效率更高。但是在虛擬誤差方程中，迭代終止條件的選取能夠明顯地影響到運(yùn)算效率；精度要求越高，函數(shù)收斂越慢，隨著精度要求越高運(yùn)算次數(shù)會(huì)有跳躍式的增長；當(dāng)?shù)K止條件要求精度小于e3迭代終止條件不明確通過本文的計(jì)算比較與分析可知：簡單迭代算法理論基礎(chǔ)簡單，