第七節(jié)n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布熱點(diǎn)命題分析學(xué)科核心素養(yǎng)本節(jié)是高考的熱點(diǎn)，主要命題點(diǎn)有：(1)相互獨(dú)立事件的概率、條件概率，常以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)；(2)二項(xiàng)分布的概念、特征和相關(guān)計(jì)算，常以解答題的形式出現(xiàn).本節(jié)通過實(shí)際問題中二項(xiàng)分布的應(yīng)用考查考生的數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)運(yùn)算、數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng).授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第206頁知識(shí)點(diǎn)一條件概率條件概率的定義條件概率的性質(zhì)已知B發(fā)生的條件下，A發(fā)生的概率，稱為B發(fā)生時(shí)A發(fā)生的條件概率，記為P(A|B)．當(dāng)P(B)>0時(shí)，我們有P(A|B)＝eq\f(PA∩B,PB).(其中，A∩B也可以記成AB)類似地，當(dāng)P(A)>0時(shí)，A發(fā)生時(shí)B發(fā)生的條件概率為P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)(1)0≤P(B|A)≤1，(2)如果B和C是兩個(gè)互斥事件，則P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)?溫馨提醒?P(B|A)與P(A|B)易混淆為等同前者是在A發(fā)生的條件下B發(fā)生的概率，后者是在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率．1．某地區(qū)空氣質(zhì)量監(jiān)測(cè)資料表明，一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是0.75，連續(xù)兩天為優(yōu)良的概率是0.6，已知某天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良，則隨后一天的空氣質(zhì)量為優(yōu)良的概率是()答案：A2．已知盒中裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球、5個(gè)黑球，它們大小形狀完全相同，現(xiàn)需一個(gè)紅球，甲每次從中任取一個(gè)不放回，則在他第一次拿到白球的條件下，第二次拿到紅球的概率為________．答案：eq\f(1,3)知識(shí)點(diǎn)二相互獨(dú)立事件事件的相互獨(dú)立性(1)定義：設(shè)A，B為兩個(gè)事件，若P(AB)＝P(A)P(B)，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立．(2)性質(zhì)：①若事件A與B相互獨(dú)立，則P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)，P(AB)＝P(A)P(B)．②如果事件A與B相互獨(dú)立，那么A與eq\x\to(B)，eq\x\to(A)與B，eq\x\to(A)與eq\x\to(B)也相互獨(dú)立．?溫馨提醒?互斥事件強(qiáng)調(diào)兩事件不可能同時(shí)發(fā)生，即P(AB)＝0，相互獨(dú)立事件則強(qiáng)調(diào)一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一個(gè)事件發(fā)生的概率沒有影響．1．(2021·金華一中模擬)春節(jié)放假，甲回老家過節(jié)的概率為eq\f(1,3)，乙、丙回老家過節(jié)的概率分別為eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，假定三人的行動(dòng)相互之間沒有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少1人回老家過節(jié)的概率為()A.eq\f(59,60) B．eq\f(3,5)C.eq\f(1,2) D．eq\f(1,60)答案：B2．天氣預(yù)報(bào)監(jiān)測(cè)到在元旦假期甲地降雨概率是0.2，乙地降雨概率是0.3.假設(shè)在這段時(shí)間內(nèi)兩地是否降雨相互之間沒有影響，則這兩地中恰有一個(gè)地方降雨的概率為________．答案：知識(shí)點(diǎn)三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)二項(xiàng)分布定義在相同條件下重復(fù)做的n次試驗(yàn)稱為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，設(shè)每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X～B(n，p)，并稱p為成功概率計(jì)算公式Ai(i＝1,2，…，n)表示第i次試驗(yàn)結(jié)果，則P(A1A2A3…An)＝P(A1)P(A2)…P(在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,n)pk(1－p)n－k(k＝0,1,2，…，n)1．有3位同學(xué)參加某項(xiàng)測(cè)試，假設(shè)每位同學(xué)能通過測(cè)試的概率都是eq\f(1,2)，且各人能否通過測(cè)試是相互獨(dú)立的，則至少有二位同學(xué)能通過測(cè)試的概率為()A.eq\f(1,8) B．eq\f(3,8)C.eq\f(1,2) D．eq\f(7,8)答案：C2．設(shè)隨機(jī)變量X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(1,2)))，則P(X＝3)＝________.答案：eq\f(5,16)授課提示：對(duì)應(yīng)學(xué)生用書第207頁題型一條件概率自主探究1．(2021·桂林調(diào)研)某盒中裝有10只乒乓球，其中6只新球、4只舊球，不放回地依次摸出2個(gè)球使用，在第一次摸出新球的條件下，第二次也取到新球的概率為()A.eq\f(3,5) B．eq\f(5,9)C.eq\f(1,10) D．eq\f(2,5)答案：B2．某個(gè)電路開關(guān)閉合后會(huì)出現(xiàn)紅燈或綠燈閃爍，已知開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,2)，兩次閉合后都出現(xiàn)紅燈的概率為eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合后出現(xiàn)紅燈的概率為()A.eq\f(1,10) B．eq\f(1,5)C.eq\f(2,5) D．eq\f(1,2)解析：設(shè)“開關(guān)第一次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件A，“第二次閉合后出現(xiàn)紅燈”為事件B，則由題意可得P(A)＝eq\f(1,2)，P(AB)＝eq\f(1,5)，則在第一次閉合后出現(xiàn)紅燈的條件下第二次閉合出現(xiàn)紅燈的概率是P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)＝eq\f(\f(1,5),\f(1,2))＝eq\f(2,5).答案：C條件概率的三種求法定義法先求P(A)和P(AB)，再由P(B|A)＝eq\f(PAB,PA)求P(B|A)基本事件法借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件數(shù)n(A)，再求事件AB所包含的基本事件數(shù)n(AB)，得P(B|A)＝eq\f(nAB,nA)縮樣法縮小樣本空間的方法，就是去掉第一次抽到的情況，只研究剩下的情況，用古典概型求解，它能化繁為簡題型二相互獨(dú)立事件的概率合作探究[例](2020·高考全國卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同學(xué)進(jìn)行羽毛球比賽，約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩人，另一人輪空；每場(chǎng)比賽的勝者與輪空者進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)者下一場(chǎng)輪空，直至有一人被淘汰；當(dāng)一人被淘汰后，剩余的兩人繼續(xù)比賽，直至其中一人被淘汰，另一人最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙首先比賽，丙輪空．設(shè)每場(chǎng)比賽雙方獲勝的概率都為eq\f(1,2).(1)求甲連勝四場(chǎng)的概率；(2)求需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率；(3)求丙最終獲勝的概率．[解析](1)甲連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16).(2)根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽．比賽四場(chǎng)結(jié)束，共有三種情況：甲連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16)；乙連勝四場(chǎng)的概率為eq\f(1,16)；丙上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)的概率為eq\f(1,8).所以需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為1－eq\f(1,16)－eq\f(1,16)－eq\f(1,8)＝eq\f(3,4).(3)丙最終獲勝，有兩種情況：比賽四場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)；比賽五場(chǎng)結(jié)束且丙最終獲勝，則從第二場(chǎng)開始的四場(chǎng)比賽按照丙的勝、負(fù)、輪空結(jié)果有三種情況：勝勝負(fù)勝，勝負(fù)空勝，負(fù)空勝勝，概率分別為eq\f(1,16)，eq\f(1,8)，eq\f(1,8).因此丙最終獲勝的概率為eq\f(1,8)＋eq\f(1,16)＋eq\f(1,8)＋eq\f(1,8)＝eq\f(7,16).相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的兩種求法(1)直接法：利用相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．(2)間接法：從對(duì)立事件入手計(jì)算.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練](2019·高考全國卷Ⅱ)11分制乒乓球比賽，每贏一球得1分，當(dāng)某局打成10∶10平后，每球交換發(fā)球權(quán)，先多得2分的一方獲勝，該局比賽結(jié)束．甲、乙兩位同學(xué)進(jìn)行單打比賽，假設(shè)甲發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.5，乙發(fā)球時(shí)甲得分的概率為0.4，各球的結(jié)果相互獨(dú)立．在某局雙方10∶10平后，甲先發(fā)球，兩人又打了X個(gè)球該局比賽結(jié)束．(1)求P(X＝2)；(2)求事件“X＝4且甲獲勝”的概率．解析：(1)X＝2就是10∶10平后，兩人又打了2個(gè)球該局比賽結(jié)束，則這2個(gè)球均由甲得分，或者均由乙得分．因此P(X×0.4＋(1－0.5)×(1－0.4)＝0.5.(2)X＝4且甲獲勝，就是10∶10平后，兩人又打了4個(gè)球該局比賽結(jié)束，且這4個(gè)球的得分情況為：前兩球是甲、乙各得1分，后兩球均為甲得分．因此所求概率為×(1－0.4)＋(1－0.5)×0.4]××0.4＝0.1.題型三獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布合作探究[例]某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對(duì)產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品．檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對(duì)余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)．設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1)，且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立．(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)，求f(p)的最大值點(diǎn)p0；(2)現(xiàn)對(duì)一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以(1)中確定的p0作為p的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對(duì)每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用．①若不對(duì)該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求E(X)；②以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對(duì)這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？[解析](1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)＝Ceq\o\al(2,20)p2(1－p)18.因此f′(p)＝Ceq\o\al(2,20)[2p(1－p)18－18p2(1－p)17]＝2Ceq\o\al(2,20)p(1－p)17(1－10p)．令f′(p)＝0，得pp∈(0,0.1)時(shí)，f′(p)>0；當(dāng)p∈(0.1,1)時(shí)，f′(p)<0.所以f(p)的最大值點(diǎn)為p0＝0.1.(2)由(1)知，p＝0.1.①令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知Y～B(180,0.1)，X＝20×2＋25Y，即X＝40＋25Y.所以E(X)＝E(40＋25Y)＝40＋25E(Y)＝490.②如果對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元．由于E(X)>400，故應(yīng)該對(duì)余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)．獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布問題的常見類型及解題策略(1)在求n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件恰好發(fā)生k次的概率時(shí)，首先要確定好n和k的值，再準(zhǔn)確利用公式求概率．(2)在根據(jù)獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)求二項(xiàng)分布的有關(guān)問題時(shí)，關(guān)鍵是理清事件與事件之間的關(guān)系，確定二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)n和變量的概率，繼而求得概率．[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]在某校教師趣味投籃比賽中，比賽規(guī)則是：每場(chǎng)投6個(gè)球，至少投進(jìn)4個(gè)球且最后2個(gè)球都投進(jìn)者獲獎(jiǎng)；否則不獲獎(jiǎng)．已知教師甲投進(jìn)每個(gè)球的概率都是eq\f(2,3).(1)記教師甲在每場(chǎng)的6次投球中投進(jìn)球的個(gè)數(shù)為X，求X的分布列；(2)求教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率．解析：(1)X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5,6.依條件可知X～Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(6，\f(2,3))).P(X＝k)＝Ceq\o\al(k,6)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))k·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))6－k(k＝0,1,2,3,4,5,6)X的分布列為：X0123456Peq\f(1,729)eq\f(12,729)eq\f(60,729)eq\f(160,729)eq\f(240,729)eq\f(192,729)eq\f(64,729)(2)設(shè)教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)為事件A，則P(A)＝Ceq\o\al(2,4)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))4＋Ceq\o\al(1,4)×eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)))6＝eq\f(32,81).所以教師甲在一場(chǎng)比賽中獲獎(jiǎng)的概率為eq\f(32,81).二項(xiàng)分布應(yīng)用中的核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)建?！?xiàng)分布的優(yōu)化決策應(yīng)用[例](2021·太原模擬)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)．抽獎(jiǎng)規(guī)則如下：1．抽獎(jiǎng)方案有以下兩種：方案a：從裝有2個(gè)紅球、3個(gè)白球(僅顏色不同)的甲袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，若都是紅球，則獲得獎(jiǎng)金30元；否則，沒有獎(jiǎng)金，兌獎(jiǎng)后將摸出的球放回甲袋中；方案b：從裝有3個(gè)紅球、2個(gè)白球(僅顏色不同)的乙袋中隨機(jī)摸出2個(gè)球，若都是紅球，則獲得獎(jiǎng)金15元；否則，沒有獎(jiǎng)金，兌獎(jiǎng)后將摸出的球放回乙袋中．2．抽獎(jiǎng)條件：顧客購買商品的金額滿100元，可根據(jù)方案a抽獎(jiǎng)一次；滿150元，可根據(jù)方案b抽獎(jiǎng)一次(例如某顧客購買商品的金額為260元，則該顧客可以根據(jù)方案a抽獎(jiǎng)兩次或方案b抽獎(jiǎng)一次或方案a，b各抽獎(jiǎng)一次)．已知顧客A在該商場(chǎng)購買商品的金額為350元．(1)若顧客A只選擇方案a進(jìn)行抽獎(jiǎng)，求其所獲獎(jiǎng)金的期望；(2)要使所獲獎(jiǎng)金的期望值最大，顧客A應(yīng)如何抽獎(jiǎng)？[解析](1)按方案a抽獎(jiǎng)一次，獲得獎(jiǎng)金的概率P＝eq\f(C\o\al(2,2),C\o\al(2,5))＝eq\f(1,10).顧客A只選擇方案a進(jìn)行抽獎(jiǎng)，則其可以按方案a抽獎(jiǎng)三次．此時(shí)中獎(jiǎng)次數(shù)服從二項(xiàng)分布Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(1,10))).設(shè)所得獎(jiǎng)金為w1元，則E(w1)＝3×eq\f(1,10)×30＝9.即顧客A所獲獎(jiǎng)金的期望為9元．(2)按方案b抽獎(jiǎng)一次，獲得獎(jiǎng)金的概率P1＝eq\f(C\o\al(2,3),C\o\al(2,5))＝eq\f(3,10).若顧客A按方案a抽獎(jiǎng)兩次，按方案b抽獎(jiǎng)一次，則由方案a中獎(jiǎng)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(1,10)))，由方案b中獎(jiǎng)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(3,10)))，設(shè)所得獎(jiǎng)金為w2元，則E(w2)＝2×eq\f(1,10)×30＋1×eq\f(3,10)×15＝10.5.若顧客A按方案b抽獎(jiǎng)兩次，則中獎(jiǎng)的次數(shù)服從二項(xiàng)分布B3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(3,10))).設(shè)所得獎(jiǎng)金為w3元，則E(w3)＝2×eq\f(3,10)×15＝9.結(jié)合(1)可知，E(w1)＝E(w3)<E(w2)．所以顧客A應(yīng)該按方案a抽獎(jiǎng)兩次，按方案b抽獎(jiǎng)一次.求解二項(xiàng)分布與統(tǒng)計(jì)的交匯問題關(guān)鍵在于事件的分析與統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確使用.[對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練]空氣質(zhì)量指數(shù)(AirQualityIndex，簡稱AQI)是定量描述空氣質(zhì)量狀況的指數(shù)，空氣質(zhì)量按照AQI大小分為六級(jí)：0～50為優(yōu)；51～100為良；101～150為輕度污染；151～200為中度污染；201～300為重度污染；300以上為嚴(yán)重污染．一環(huán)保人士記錄去年某地六月10天的AQI的莖葉圖如圖所示．(1)利用該樣本估計(jì)該地六月空氣