第第頁2023年寧夏回族自治區(qū)中考數(shù)學模擬試卷（一）(含解析)2023年寧夏中考數(shù)學模擬試卷（一）

一、選擇題（共8小題24分）

1．（3分）計算（﹣a）6÷a3的結果是（）

A．﹣a2B．﹣a3C．a(chǎn)2D．a(chǎn)3

2．（3分）小欣同學用紙（如圖）折成了個正方體的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只憑觀察，選出墨水在哪個盒子中（）

A．B．C．D．

3．（3分）冉冉的媽媽在網(wǎng)上銷售裝飾品．最近一周，每天銷售某種裝飾品的個數(shù)為：11，10，11，13，11，13，15．關于這組數(shù)據(jù)，冉冉得出如下結果，其中錯誤的是（）

A．眾數(shù)是11B．平均數(shù)是12C．方差是D．中位數(shù)是13

4．（3分）如圖，△DEF與△ABC是位似圖形，點O是位似中心，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點，則△DEF與△ABC的面積比是（）

A．1：6B．1：5C．1：4D．1：2

5．（3分）從1，2，3，4，5這五個數(shù)中任選兩個數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（）

A．B．C．D．

6．（3分）已知關于x的分式方程﹣＝1的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（）

A．m＞4B．m＜4C．m＞4且m≠5D．m＜4且m≠1

7．（3分）我國古代數(shù)學名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為（）

A．B．

C．D．

8．（3分）中國古代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，用4個全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個銳角，則tanα＝（）

A．2B．C．D．

二、填空題（共8小題24分）

9．（3分）分解因式ax2﹣ax+a＝．

10．（3分）第七次全國人口普查結果顯示，我國具有大學文化程度的人口超218000000人．數(shù)據(jù)218000000用科學記數(shù)法表示為．

11．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是．

12．（3分）已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都是150°，則這個多邊形的邊數(shù)是．

13．（3分）已知實數(shù)a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的兩根，則+的值為．

14．（3分）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以A為圓心，AC的長為半徑畫弧，得，連接AC，AE，則圖中陰影部分的面積為．

15．（3分）如圖，矩形紙片ABCD中，E為BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接CF．若AB＝4，BC＝6，則CF的長為．

16．（3分）某校數(shù)學興趣小組開展“無人機測旗桿”的活動：已知無人機的飛行高度為30m，當無人機飛行至A處時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達B處，測得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為m．

（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，結果按四舍五入保留一位小數(shù)）

三、解答題（共10小題，72分，解答應寫出過程）

17．（6分）如圖，在11×11的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點△ABC（即三角形的頂點都在格點上）．

（1）在圖中作出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1；（要求A與A1，B與B1，C與C1相對應）

（2）作出△ABC繞點C順時針方向旋轉90°后得到的△A2B2C；

（3）在（2）的條件下直接寫出點B旋轉到B2所經(jīng)過的路徑的長．（結果保留π）

18．（6分）（1）下面是小明同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應任務．

解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6第一步

4x﹣2＞9x﹣6﹣6第二步

4x﹣9x＞﹣6﹣6+2第三步

﹣5x＞﹣10第四步

x＞2第五步

任務一：

填空：①以上解題過程中，第二步是依據(jù)（運算律）進行變形的．

②第步開始出現(xiàn)錯誤．這一步錯誤的原因是．

任務二：請直接寫出該不等式的正確解集．解集：．

19．（6分）先化簡，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣2．

20．（6分）吳忠三中開展主題為“交通與防溺水安全教育”的調(diào)查活動，抽取了部分學生進行調(diào)查，調(diào)查問卷設置了A：非常了解、B：比較了解、C：基本了解、D：不太了解四個等級，要求每個學生填且只能填其中的一個等級，采取隨機抽樣的方式，并根據(jù)調(diào)查結果繪制成如圖所示不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，根據(jù)以上信息回答下列問題：

等級頻數(shù)頻率

A200.4

B15b

C100.2

Da0.1

（1）頻數(shù)分布表中a＝，b＝，將頻數(shù)分布直方圖補充完整；

（2）若該校有學生4000人，請根據(jù)抽樣調(diào)查結果估算該?！胺浅Ａ私狻焙汀氨容^了解”交通和防溺水常識的學生共有多少人？

（3）在“非常了解”防溺水常識的學生中，某班有5個學生，其中3男2女，計劃在這5個學生中隨機抽選兩個加入防溺水志愿者宣傳隊，請用列表或畫樹狀圖的方法求所選兩個學生中至少有一個女生的概率．

21．（6分）麥收時節(jié)，為確保小麥顆粒歸倉，某農(nóng)場安排A，B兩種型號的收割機進行小麥收割作業(yè)．已知一臺A型收割機比一臺B型收割機平均每天多收割2公頃小麥，一臺A型收割機收割15公頃小麥所用時間與一臺B型收割機收割9公頃小麥所用時間相同．

（1）一臺A型收割機和一臺B型收割機平均每天各收割小麥多少公頃？

（2）該農(nóng)場安排兩種型號的收割機共12臺同時進行小麥收割作業(yè)，為確保每天完成不少于50公頃的小麥收割任務，至少要安排多少臺A型收割機？

22．（6分）如圖，在ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F；再分別以點B、F為圓心，大于BF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF

（1）根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB＝2，AE＝2，求∠BAD的大小．

23．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，O點在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作BC的平行線，與AB的延長線相交于點P．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）求證：△PBD∽△DCA；

（3）當AB＝6，AC＝8時，求線段PB的長．

24．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝x+b的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點C，連接OC．已知點A（﹣4，0），AB＝2BC．

（1）求b、k的值；

（2）求△AOC的面積．

25．（10分）如圖拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點p，使△PBC的面積是△BCD面積的3倍，若存在，請直接寫出點p的坐標；若不存在，請說明理由．

26．（10分）同學們還記得嗎？圖①，圖②是人教版八年級下冊教材“實驗與探究”中我們研究過的兩個圖形．受這兩個圖形的啟發(fā)，數(shù)學興趣小組提出了以下三個問題，請你回答：

【問題一】如圖①，正方形ABCD的對角線相交于點O，點O又是正方形A1B1C1O的一個頂點，OA1交AB于點E，OC1交BC于點F，則AE與BF的數(shù)量關系為；

【問題二】受圖①啟發(fā)，興趣小組畫出了圖③：直線m、n經(jīng)過正方形ABCD的對稱中心O，直線m分別與AD、BC交于點E、F，直線n分別與AB、CD交于點G、H，且m⊥n，若正方形ABCD邊長為8，求四邊形OEAG的面積；

【問題三】受圖②啟發(fā)，興趣小組畫出了圖④：正方形CEFG的頂點G在正方形ABCD的邊CD上，頂點E在BC的延長線上，且BC＝6，CE＝2．在直線BE上是否存在點P，使△APF為直角三角形？若存在，求出BP的長度；若不存在，說明理由．

2023年寧夏中考數(shù)學模擬試卷（一）

參考答案與試題解析

一、選擇題（共8小題24分）

1．（3分）計算（﹣a）6÷a3的結果是（）

A．﹣a2B．﹣a3C．a(chǎn)2D．a(chǎn)3

【分析】利用同底數(shù)冪的除法的法則對式子進行求解即可．

【解答】解：（﹣a）6÷a3

＝a6÷a3

＝a3，

故選：D．

【點評】本題主要考查同底數(shù)冪的除法，解答的關鍵是對同底數(shù)冪的除法的法則的掌握．

2．（3分）小欣同學用紙（如圖）折成了個正方體的盒子，里面放了一瓶墨水，混放在下面的盒子里，只憑觀察，選出墨水在哪個盒子中（）

A．B．C．D．

【分析】在驗證立方體的展開圖時，要細心觀察每一個標志的位置是否一致，然后進行判斷．

【解答】解：根據(jù)展開圖中各種符號的特征和位置，可得墨水在B盒子里面．

故選：B．

【點評】本題考查正方體的表面展開圖及空間想象能力．易錯易混點：學生對相關圖的位置想象不準確，從而錯選，解決這類問題時，不妨動手實際操作一下，即可解決問題．

3．（3分）冉冉的媽媽在網(wǎng)上銷售裝飾品．最近一周，每天銷售某種裝飾品的個數(shù)為：11，10，11，13，11，13，15．關于這組數(shù)據(jù)，冉冉得出如下結果，其中錯誤的是（）

A．眾數(shù)是11B．平均數(shù)是12C．方差是D．中位數(shù)是13

【分析】根據(jù)平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差的計算方法分別計算這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)、方差，最后做出選擇．

【解答】解：數(shù)據(jù)11，10，11，13，11，13，15中，11出現(xiàn)的次數(shù)最多是3次，因此眾數(shù)是11，于是A選項不符合題意；

將這7個數(shù)據(jù)從小到大排列后，處在中間位置的一個數(shù)是11，因此中位數(shù)是11，于是D符合題意；

＝（11+10+11+13+11+13+15）÷7＝12，即平均數(shù)是12，于是選項B不符合題意；

S2＝[（10﹣12）2+（11﹣12）2×3+（13﹣12）2×2+（15﹣12）2]＝，因此方差為，于是選項C不符合題意；

故選：D．

【點評】本題考查平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義和計算方法，掌握計算方法是得出正確答案的前提．

4．（3分）如圖，△DEF與△ABC是位似圖形，點O是位似中心，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點，則△DEF與△ABC的面積比是（）

A．1：6B．1：5C．1：4D．1：2

【分析】根據(jù)兩三角形為位似圖形，且點O是位似中心，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點，求出兩三角形的位似比，根據(jù)面積之比等于位似比的平方即可求出面積之比．

【解答】解：∵△DEF與△ABC是位似圖形，點O是位似中心，D、E、F分別是OA、OB、OC的中點，

∴兩圖形的位似之比為1：2，

則△DEF與△ABC的面積比是1：4．

故選：C．

【點評】此題考查了位似變換，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其對應的面積比等于相似比的平方．

5．（3分）從1，2，3，4，5這五個數(shù)中任選兩個數(shù)，其和為偶數(shù)的概率為（）

A．B．C．D．

【分析】畫樹狀圖列出所有等可能的結果，再從中找出兩個數(shù)的和為偶數(shù)的結果，即可求出概率．

【解答】解：畫樹狀圖如圖：

∴共有20種等可能的結果，

其中兩個數(shù)的和為偶數(shù)的有（1，3），（1，5），（2，4），（3，1），（3，5），（4，2），（5，1），（5，3），共8種，

∴這五個數(shù)中任選兩個數(shù)的和為偶數(shù)的概率為．

故選：B．

【點評】本題考查列表法與樹狀圖法，熟練掌握列表法與樹狀圖法求概率是解題的關鍵．

6．（3分）已知關于x的分式方程﹣＝1的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（）

A．m＞4B．m＜4C．m＞4且m≠5D．m＜4且m≠1

【分析】先利用m表示出x的值，再由x為正數(shù)求出m的取值范圍即可．

【解答】解：方程兩邊同時乘以x﹣1得，2x﹣m+3＝x﹣1，

解得x＝m﹣4．

∵x為正數(shù)，

∴m﹣4＞0，解得m＞4，

∵x≠1，

∴m﹣4≠1，即m≠5，

∴m的取值范圍是m＞4且m≠5．

故選：C．

【點評】本題考查了分式方程的解，掌握求出使分式方程中令等號左右兩邊相等且分母不等于0的未知數(shù)的值，這個值叫方程的解是解題的關鍵．

7．（3分）我國古代數(shù)學名著《張邱建算經(jīng)》中記載：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，問清、醑酒各幾何？意思是：現(xiàn)在一斗清酒價值10斗谷子，一斗醑酒價值3斗谷子，現(xiàn)在拿30斗谷子，共換了5斗酒，問清、醑酒各幾斗？如果設清酒x斗，醑酒y斗，那么可列方程組為（）

A．B．

C．D．

【分析】設清酒x斗，醑酒y斗，根據(jù)“拿30斗谷子，共換了5斗酒”，即可得出關于x，y的二元一次方程組，此題得解．

【解答】解：設清酒x斗，醑酒y斗，

依題意得：．

故選：A．

【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組以及數(shù)學常識，找準等量關系，正確列出二元一次方程組是解題的關鍵．

8．（3分）中國古代數(shù)學家趙爽在為《周髀算經(jīng)》作注解時，用4個全等的直角三角形拼成正方形（如圖），并用它證明了勾股定理，這個圖被稱為“弦圖”．若“弦圖”中小正方形面積與每個直角三角形面積均為1，α為直角三角形中的一個銳角，則tanα＝（）

A．2B．C．D．

【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，可以先求出大正方形的面積，然后設出小直角三角形的兩條直角邊，再根據(jù)勾股定理和兩直角邊的關系可求得直角三角形的兩條直角邊的長，然后即可求得tanα的值．

【解答】解：由已知可得，

大正方形的面積為1×4+1＝5，

設直角三角形的長直角邊為a，短直角邊為b，

則a2+b2＝5，a﹣b＝1，

解得a＝2，b＝1或a＝1，b＝﹣2（不合題意，舍去），

∴tanα＝＝＝2，

故選：A．

【點評】本題考查勾股定理的證明、解直角三角形，解答本題的關鍵是求出直角三角形的兩條直角邊長．

二、填空題（共8小題24分）

9．（3分）分解因式ax2﹣ax+a＝a（2x﹣1）2．

【分析】提公因式后再利用完全平方公式進行因式分解即可．

【解答】解：原式＝a（4x2﹣4x+1）

＝a（2x﹣1）2，

故答案為：a（2x﹣1）2．

【點評】本題考查因式分解，熟練掌握因式分解的方法是解題的關鍵．

10．（3分）第七次全國人口普查結果顯示，我國具有大學文化程度的人口超218000000人．數(shù)據(jù)218000000用科學記數(shù)法表示為2.18×108．

【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值≥10時，n是正整數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負整數(shù)．

【解答】解：218000000＝2.18×108．

故答案為：2.18×108．

【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．

11．（3分）在函數(shù)y＝中，自變量x的取值范圍是x＞0.5．

【分析】根據(jù)二次根式的被開方數(shù)是非負數(shù)，以及分母不等于0，就可以求出x的范圍．

【解答】解：根據(jù)題意得：2x﹣1＞0，

解得：x＞0.5．

故答案為：x＞0.5．

【點評】本題考查的是函數(shù)自變量取值范圍的求法．函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：

（1）當函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

（2）當函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

（3）當函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負．

12．（3分）已知一個多邊形的每一個內(nèi)角都是150°，則這個多邊形的邊數(shù)是12．

【分析】設這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的外角和是360°求出n的值即可．

【解答】解：∵多邊形的各個內(nèi)角都等于150°，

∴每個外角為30°，

設這個多邊形的邊數(shù)為n，則

30°×n＝360°，

解得n＝12．

故答案為：12．

【點評】本題考查的是多邊形的內(nèi)角與外角，解答此類問題時要找到不變量，即多邊形的外角是360°這一關鍵．

13．（3分）已知實數(shù)a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的兩根，則+的值為﹣3．

【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系可得出a+b＝1、ab＝﹣1，將其代入+＝中即可求出結論．

【解答】解：∵實數(shù)a，b是方程x2﹣x﹣1＝0的兩根，

∴a+b＝1，ab＝﹣1，

∴+＝＝＝＝﹣3．

故答案為：﹣3．

【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，牢記“兩根之和等于﹣，兩根之積等于”是解題的關鍵．

14．（3分）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，以A為圓心，AC的長為半徑畫弧，得，連接AC，AE，則圖中陰影部分的面積為2π．

【分析】由正六邊形ABCDEF的邊長為2，可得AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝120°，進而求出∠BAC＝30°，∠CAE＝60°，過B作BH⊥AC于H，由等腰三角形的性質(zhì)和含30°直角三角形的性質(zhì)得到AH＝CH，BH＝1，在Rt△ABH中，由勾股定理求得AH＝，得到AC＝2，根據(jù)扇形的面積公式即可得到陰影部分的面積．

【解答】解：∵正六邊形ABCDEF的邊長為2，

∴AB＝BC＝2，∠ABC＝∠BAF＝＝120°，

∵∠ABC+∠BAC+∠BCA＝180°，

∴∠BAC＝（180°﹣∠ABC）＝×（180°﹣120°）＝30°，

過B作BH⊥AC于H，

∴AH＝CH，BH＝AB＝×2＝1，

在Rt△ABH中，AH＝＝＝，

∴AC＝2，

同理可證，∠EAF＝30°，

∴∠CAE＝∠BAF﹣∠BAC﹣∠EAF＝120°﹣30°﹣30°＝60°，

∴S扇形CAE＝＝2π，

∴圖中陰影部分的面積為2π，

故答案為：2π．

【點評】本題考查的是正六邊形的性質(zhì)和扇形面積的計算、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理，掌握扇形面積公式是解題的關鍵．

15．（3分）如圖，矩形紙片ABCD中，E為BC的中點，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接CF．若AB＝4，BC＝6，則CF的長為．

【分析】連接BF，交AE于點O，由折疊可知：BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，AE垂直平分BF，再證AE∥CF，得到∠AGC＝90°，在Rt△ABE中，利用等積法求出BO的長，最后在Rt△BFC中，利用勾股定理即可求出答案．

【解答】解：連接BF，交AE于點O，

由折疊可知：

BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，AE⊥BF，OB＝OF，

∵點E為BC的中點，

∴BE＝CE＝EF＝3，

∴∠EFC＝∠ECF，

∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC，

∴∠AEB＝∠ECF，

∴AE∥CF，

∴∠BFC＝∠BOE＝90°，

在Rt△ABE中，由勾股定理得：

AE＝＝5，

∴BO＝＝＝，

∴BF＝2BO＝，

在Rt△BCF中，由勾股定理得：

CF＝＝＝，

故答案為：．

【點評】本題主要考查了翻折變換，矩形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的判定和性質(zhì)等內(nèi)容，熟練掌握翻折變換和勾股定理的應用是解題的關鍵．

16．（3分）某校數(shù)學興趣小組開展“無人機測旗桿”的活動：已知無人機的飛行高度為30m，當無人機飛行至A處時，觀測旗桿頂部的俯角為30°，繼續(xù)飛行20m到達B處，測得旗桿頂部的俯角為60°，則旗桿的高度約為12.7m．

（參考數(shù)據(jù)：≈1.732，結果按四舍五入保留一位小數(shù)）

【分析】設旗桿底部為點C，頂部為點D，過點D作DE⊥AB，交直線AB于點E．設DE＝xm，在Rt△BDE中，tan60°＝，解得BE＝x，則AE＝AB+BE＝（20+x）m，在Rt△ADE中，tan30°＝＝，解得x＝≈17.3，根據(jù)CD＝CE﹣DE可得出答案．

【解答】解：設旗桿底部為點C，頂部為點D，過點D作DE⊥AB，交直線AB于點E．

則CE＝30m，AB＝20m，∠EAD＝30°，∠EBD＝60°，

設DE＝xm，

在Rt△BDE中，tan60°＝，

解得BE＝x，

則AE＝AB+BE＝（20+x）m，

在Rt△ADE中，tan30°＝＝，

解得x＝≈17.3，

經(jīng)檢驗，x＝≈17.3是原方程的解，且符合題意，

∴CD＝CE﹣DE＝12.7m．

故答案為：12.7．

【點評】本題考查解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義是解答本題的關鍵．

三、解答題（共10小題，72分，解答應寫出過程）

17．（6分）如圖，在11×11的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都為1，網(wǎng)格中有一個格點△ABC（即三角形的頂點都在格點上）．

（1）在圖中作出△ABC關于直線l對稱的△A1B1C1；（要求A與A1，B與B1，C與C1相對應）

（2）作出△ABC繞點C順時針方向旋轉90°后得到的△A2B2C；

（3）在（2）的條件下直接寫出點B旋轉到B2所經(jīng)過的路徑的長．（結果保留π）

【分析】（1）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B、C關于直線l的對稱點A1、B1、C1的位置，然后順次連接即可；

（2）根據(jù)網(wǎng)格結構找出點A、B繞點C順時針旋轉90°后的A2、B2的位置，然后順次連接即可；

（3）利用勾股定理列式求出BC的長，再根據(jù)弧長公式列式計算即可得解．

【解答】解：（1）△A1B1C1如圖所示；

（2）△A2B2C如圖所示；

（3）根據(jù)勾股定理，BC＝＝，

所以，點B旋轉到B2所經(jīng)過的路徑的長＝＝π．

【點評】本題考查了利用軸對稱變換作圖，利用旋轉變換作圖，以及弧長的計算，熟練掌握網(wǎng)格結構準確找出對應點的位置是解題的關鍵．

18．（6分）（1）下面是小明同學解不等式的過程，請認真閱讀并完成相應任務．

解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6第一步

4x﹣2＞9x﹣6﹣6第二步

4x﹣9x＞﹣6﹣6+2第三步

﹣5x＞﹣10第四步

x＞2第五步

任務一：

填空：①以上解題過程中，第二步是依據(jù)乘法分配律（或分配律）（運算律）進行變形的．

②第五步開始出現(xiàn)錯誤．這一步錯誤的原因是不等式兩邊都除以﹣5，不等號的方向沒有改變．

任務二：請直接寫出該不等式的正確解集．解集：x＜2．

【分析】去分母；去括號；移項；合并同類項；化系數(shù)為1，依此即可求解．

【解答】解：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，第一步

4x﹣2＞9x﹣6﹣6，第二步

4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，第三步

﹣5x＞﹣10，第四步

x＜2，第五步

任務一：填空：①以上解題過程中，第二步是依據(jù)乘法分配律（運算律）進行變形的；

②第五步開始出現(xiàn)錯誤，這一步錯誤的原因是不等式兩邊都除以﹣5，不等號的方向沒有改變；

故答案為：①乘法分配律（或分配律），②五，不等式兩邊都除以﹣5，不等號的方向沒有改變．

任務二：該不等式的正確解集是x＜2．

故答案為：x＜2．

【點評】本題考查了有理數(shù)的混合運算，有理數(shù)混合運算順序：先算乘方，再算乘除，最后算加減；同級運算，應按從左到右的順序進行計算；如果有括號，要先做括號內(nèi)的運算．進行有理數(shù)的混合運算時，注意各個運算律的運用，使運算過程得到簡化．同時考查了解一元一次不等式，步驟：①去分母；②去括號；③移項；④合并同類項；⑤化系數(shù)為1．

19．（6分）先化簡，再求值：1﹣÷，其中a＝﹣2．

【分析】根據(jù)分式的除法和減法可以化簡題目中的式子，然后將a的值代入化簡后的式子即可解答本題．

【解答】解：1﹣÷

＝1﹣

＝1﹣

＝

＝﹣，

當a＝﹣2時，原式＝﹣＝﹣．

【點評】本題考查分式的化簡求值、二次根式的混合運算，解答本題的關鍵是明確分式化簡求值的方法．

20．（6分）吳忠三中開展主題為“交通與防溺水安全教育”的調(diào)查活動，抽取了部分學生進行調(diào)查，調(diào)查問卷設置了A：非常了解、B：比較了解、C：基本了解、D：不太了解四個等級，要求每個學生填且只能填其中的一個等級，采取隨機抽樣的方式，并根據(jù)調(diào)查結果繪制成如圖所示不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖，根據(jù)以上信息回答下列問題：

等級頻數(shù)頻率

A200.4

B15b

C100.2

Da0.1

（1）頻數(shù)分布表中a＝5，b＝0.3，將頻數(shù)分布直方圖補充完整；

（2）若該校有學生4000人，請根據(jù)抽樣調(diào)查結果估算該?！胺浅Ａ私狻焙汀氨容^了解”交通和防溺水常識的學生共有多少人？

（3）在“非常了解”防溺水常識的學生中，某班有5個學生，其中3男2女，計劃在這5個學生中隨機抽選兩個加入防溺水志愿者宣傳隊，請用列表或畫樹狀圖的方法求所選兩個學生中至少有一個女生的概率．

【分析】（1）根據(jù)頻率＝可計算出得出總數(shù)，進而求出a、b的值，并補全頻數(shù)分布直方圖；

（2）根據(jù)樣本中“非常了解”“比較了解”所占的百分比估計總體4000人中“非常了解”“比較了解”的人數(shù)；

（3）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果情況，進而求出兩個學生中至少有一個女生的概率．

【解答】解：（1）20÷0.4＝50（人），

a＝50×0.1＝5（人），

b＝15÷50＝0.3，

故答案為：5，0.3；

（2）4000×（0.4+0.3）＝2800（人），

答：該校1000學生中“非常了解”和“比較了解”防疫常識的學生大約有2800人；

（3）用列表法表示所有可能出現(xiàn)的結果情況如下：

共有20種等可能出現(xiàn)的結果情況，其中兩人中至少有一名女生的有14種，

所以兩個學生中至少有一個女生的概率為＝．

答：兩個學生中至少有一個女生的概率為．

【點評】本題考查頻數(shù)分布直方圖、頻數(shù)分布表以及用列表法求簡單的隨機事件發(fā)生的概率，理解頻率＝，列舉出所有可能出現(xiàn)的結果情況是求概率的關鍵．

21．（6分）麥收時節(jié)，為確保小麥顆粒歸倉，某農(nóng)場安排A，B兩種型號的收割機進行小麥收割作業(yè)．已知一臺A型收割機比一臺B型收割機平均每天多收割2公頃小麥，一臺A型收割機收割15公頃小麥所用時間與一臺B型收割機收割9公頃小麥所用時間相同．

（1）一臺A型收割機和一臺B型收割機平均每天各收割小麥多少公頃？

（2）該農(nóng)場安排兩種型號的收割機共12臺同時進行小麥收割作業(yè)，為確保每天完成不少于50公頃的小麥收割任務，至少要安排多少臺A型收割機？

【分析】（1）設一臺B型收割機平均每天收割小麥x公頃，則一臺A型收割機平均每天收割小麥（x+2）公頃，利用工作時間＝工作總量÷工作效率，結合一臺A型收割機收割15公頃小麥所用時間與一臺B型收割機收割9公頃小麥所用時間相同，即可得出關于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗后即可得出結論；

（2）設安排m臺A型收割機，則安排（12﹣m）臺B型收割機，根據(jù)要確保每天完成不少于50公頃的小麥收割任務，即可得出關于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結論．

【解答】解：（1）設一臺B型收割機平均每天收割小麥x公頃，則一臺A型收割機平均每天收割小麥（x+2）公頃，

依題意得：＝，

解得：x＝3，

經(jīng)檢驗，x＝3是原方程的解，且符合題意，

∴x+2＝3+2＝5．

答：一臺A型收割機平均每天收割小麥5公頃，一臺B型收割機平均每天收割小麥3公頃．

（2）設安排m臺A型收割機，則安排（12﹣m）臺B型收割機，

依題意得：5m+3（12﹣m）≥50，

解得：m≥7．

答：至少要安排7臺A型收割機．

【點評】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關系，正確列出一元一次不等式．

22．（6分）如圖，在ABCD中，以點A為圓心，AB長為半徑畫弧交AD于點F；再分別以點B、F為圓心，大于BF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P；連接AP并延長交BC于點E，連接EF

（1）根據(jù)以上尺規(guī)作圖的過程，求證：四邊形ABEF是菱形；

（2）若AB＝2，AE＝2，求∠BAD的大?。?/p>

【分析】（1）先證明△AEB≌△AEF，推出∠EAB＝∠EAF，由AD∥BC，推出∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，得到BE＝AB＝AF，由此即可證明；

（2）連接BF，只要證明∠ABE＝30°即可解決問題；

【解答】解：（1）在△AEB和△AEF中，

，

∴△AEB≌△AEF，

∴∠EAB＝∠EAF，

∵AD∥BC，

∴∠EAF＝∠AEB＝∠EAB，

∴BE＝AB＝AF．

∵AF∥BE，

∴四邊形ABEF是平行四邊形，

∵AB＝BE，

∴四邊形ABEF是菱形；

（2）連接BF，交AE于G．

∵AB＝AF＝2，

∴GA＝AE＝×2＝，

在Rt△AGB中，cos∠BAE＝＝，

∴∠BAG＝30°，

∴∠BAF＝2∠BAG＝60°，

【點評】本題考查菱形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)、作圖﹣基本作圖等知識，解題的關鍵是全等三角形的證明，解直角三角形，屬于中考常考題型．

23．（8分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，O點在BC邊上，∠BAC的平分線交⊙O于點D，連接BD、CD，過點D作BC的平行線，與AB的延長線相交于點P．

（1）求證：PD是⊙O的切線；

（2）求證：△PBD∽△DCA；

（3）當AB＝6，AC＝8時，求線段PB的長．

【分析】（1）由直徑所對的圓周角為直角得到∠BAC為直角，再由AD為角平分線，得到一對角相等，根據(jù)同弧所對的圓心角等于圓周角的2倍及等量代換確定出∠DOC為直角，與平行線中的一條垂直，與另一條也垂直得到OD與PD垂直，即可得證；

（2）由PD與BC平行，得到一對同位角相等，再由同弧所對的圓周角相等及等量代換得到∠P＝∠ACD，根據(jù)同角的補角相等得到一對角相等，利用兩對角相等的三角形相似即可得證；

（3）由三角形ABC為直角三角形，利用勾股定理求出BC的長，再由OD垂直平分BC，得到DB＝DC，根據(jù)（2）的相似，得比例，求出所求即可．

【解答】（1）證明：∵圓心O在BC上，

∴BC是圓O的直徑，

∴∠BAC＝90°，

連接OD，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAC＝2∠DAC，

∵∠DOC＝2∠DAC，

∴∠DOC＝∠BAC＝90°，即OD⊥BC，

∵PD∥BC，

∴OD⊥PD，

∵OD為圓O的半徑，

∴PD是圓O的切線；

（2）證明：∵PD∥BC，

∴∠P＝∠ABC，

∵∠ABC＝∠ADC，

∴∠P＝∠ADC，

∵∠PBD+∠ABD＝180°，∠ACD+∠ABD＝180°，

∴∠PBD＝∠ACD，

∴△PBD∽△DCA；

（3）解：∵△ABC為直角三角形，

∴BC2＝AB2+AC2＝62+82＝100，

∴BC＝10，

∵OD垂直平分BC，

∴DB＝DC，

∵BC為圓O的直徑，

∴∠BDC＝90°，

在Rt△DBC中，DB2+DC2＝BC2，即2DC2＝BC2＝100，

∴DC＝DB＝5，

∵△PBD∽△DCA，

∴＝，

則PB＝＝＝．

【點評】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，切線的判定與性質(zhì)，熟練掌握各自的判定與性質(zhì)是解本題的關鍵．

24．（8分）如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數(shù)y＝x+b的圖象分別與x軸、y軸交于點A、B，與反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象交于點C，連接OC．已知點A（﹣4，0），AB＝2BC．

（1）求b、k的值；

（2）求△AOC的面積．

【分析】（1）由點A（﹣4，0）在一次函數(shù)y＝x+b的圖象上，代入求得b＝2，作CD⊥y軸于D，則△ABO∽△CBD，得出C的橫坐標為2，代入直線關系式即可求出C的坐標，從而求出k的值；

（2）根據(jù)三角形的面積公式代入計算即可．

【解答】解：（1）作CD⊥y軸于D，

則△ABO∽△CBD，

∴，

∵AB＝2BC，

∴AO＝2CD，

∵點A（﹣4，0），

∴OA＝4，

∴CD＝2，

∵點A（﹣4，0）在一次函數(shù)y＝x+b的圖象上，

∴b＝2，

∴，

當x＝2時，y＝3，

∴C（2，3），

∵點C在反比例函數(shù)y＝（x＞0）的圖象上，

∴k＝2×3＝6；

（2）作CE⊥x軸于E，

S△AOC＝．

【點評】本題考查了一次函數(shù)與反比例函數(shù)的交點問題，以及三角形相似的判定與性質(zhì)，求出C的坐標是解題的關鍵．

25．（10分）如圖拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），與y軸交于點C，拋物線的頂點為D．

（1）求拋物線的解析式；

（2）拋物線上是否存在點p，使△PBC的面積是△BCD面積的3倍，若存在，請直接寫出點p的坐標；若不存在，請說明理由．

【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可；

（2）設拋物線上的點P坐標為（m，m2﹣2m﹣3），結合方程思想和三角形面積公式列方程求解．

【解答】解：（1）∵拋物線y＝x2+bx+c經(jīng)過點A（﹣1，0），點B（2，﹣3），

∴，

解得b＝﹣2，c＝﹣3，

∴拋物線的解析式：y＝x2﹣2x﹣3；

（2）存在，理由如下：

∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，

∴D點坐標為（1，﹣4），

令x＝0，則y＝x2﹣2x﹣3＝﹣3，

∴C點坐標為（0，﹣3），

又∵B點坐標為（2，﹣3），

∴BC∥x軸，

∴S△BCD＝×2×1＝1，

設拋物線上的點P坐標為（m，m2﹣2m﹣3），

∴S△PBC＝×2×|m2﹣2m﹣3﹣（﹣3）|＝|m2﹣2m|，

當|m2﹣2m|＝3×1時，

解得m＝1±2，

當m＝1+2＝3時，m2﹣2m﹣3＝0，

當m＝1﹣2＝﹣1時，m2﹣2m﹣3＝0，

綜上，P點坐標為（3，0）或（